湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二上学期期中联考数学试卷含答案.pdf

1武汉市部分重点中学20222023 学年度上学期期中联考武汉市部分重点中学20222023 学年度上学期期中联考高二数学试卷高二数学试卷考试时间：2022 年 11 月 9 日下午 15:0017:00试卷满分：150 分 祝考试顺利 注意事项：考试时间：2022 年 11 月 9 日下午 15:0017:00试卷满分：150 分 祝考试顺利 注意事项：1答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.2选择题的作答：选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效.4考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线220 xy在x轴上的截距是A.1B.1C.2D.22.双曲线22:14xCy的焦点坐标是A.(3,0)B.(0,3)C.(5,0)D.(0,5)3已知(1,0,1)a，(2,1,1)b，则向量a与b的夹角为A.6B.3C.23D.564.若曲线221:650Cxyx与曲线2:()0Cy ymxm有四个不同的交点，则实数m的取值范围是A.33(,)33B.33(,0)(0,)33C.33,33D.33(,)(,)33 25.对于直线,m n和平面,，的一个充分条件是A.mn，m，nB.mn，m，nC.mn，m，nD.mn，n，m6.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12FF，过1F的直线与C的两条渐近线分别交于AB，两点，若A为线段1BF的中点，且12BFBF，则C的离心率为A.3B.2C.31D.37.已知点P在直线2yx上运动，点E是圆221xy上的动点，点F是圆2(6)x2(5)9y 上的动点，则PFPE的最大值为A.6B.7C.8D.98.在正四面体DABC中，点E在棱AB上，满足2AEEB，点F为线段AC上的动点，则A.存在某个位置，使得DEBFB.存在某个位置，使得4FDBC.存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为714D.存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为32二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.方程222+210 xyaxaya 表示圆，则实数a的可能取值为A.4B.2C.0D.2 10.若直线m被两平行直线1:330lxy与2:33 30lxy所截得的线段长为6，则直线m的倾斜角可以是A.30B.75C.135D.165311.已知椭圆2212516xy，12,F F分别为它的左、右焦点，,A B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有A.12PFPF 的最小值为 8B.12cosFPF的最小值为725C.若123FPF，则21PFF的面积为16 33D.直线PA与直线PB斜率乘积为定值162512.如图，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，点M为棱AB的中点，点P在侧面11BCC B及其边界上运动，则下列选项中正确的是A.存在点P满足15PMPDB.存在点P满足12D PMC.满足1APD M的点P的轨迹长度为32D.满足1MPD M的点P的轨迹长度为24三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.若方程222xky表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是.14.过点(4,3)P做圆22:4O xy的两条切线，切点分别为,M N，则MN.15.两条异面直线,a b所成角为60，在直线,a b上分别取点,A E和点,A F，使AAa，且AAb.已知2AE，3AF，5EF，则线段AA的长为.16.城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行进.在平面直角坐标系中，定义1122(,),(,)P x yQ xy之间的“出租车距离”为1212(,)d P Qxxyy.已知(6,1),(3,3),(2,1)ABC，则到点,A B“距离”相等的点的轨迹方程为，到,A B C三点“距离”相等的点的坐标为.4三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为33yx.(1)求C的标准方程；(2)若直线1:12l yx与双曲线C交于,A B两点，求AB.18.（12 分）已知ABC的顶点(5,1)A，重心(3,3)G.(1)求线段BC的中点坐标；(2)记ABC的垂心为H，若BH、都在直线yx 上，求H的坐标.19.（12 分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，90BAD，222PDDCBCPAAB，PDCD.(1)求证：PA 平面ABCD；(2)求直线BD与平面BPC所成角的正弦值.20.（12 分）如图，已知圆22:1O xy，点P为直线23 50 xy上一动点，过点P作圆O的切线，切点分别为,M N，且两条切线,PM PN与x轴分别交于,A B两点.(1)当P在直线yx上时，求PAPB的值；(2)当P运动时，直线MN是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.521.（12 分）已知正四棱柱1111ABCDABC D中，1AB，13AA，E点为棱11AB中点.(1)求二面角1AECC的余弦值；(2)连接EC，若P点为直线EC上一动点，求当P点到直线1BB距离最短时，线段EP的长度.22.（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点3(3,)2，过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于,A B两点，且3AB.(1)求椭圆C的方程；(2)若矩形MNPQ满足各边均与椭圆C相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由.1 武汉市部分重点中学武汉市部分重点中学2022202220232023 学年度上学期期中联考学年度上学期期中联考 高二数学试卷参考答案及评分标准高二数学试卷参考答案及评分标准 一、二选择题：本题共一、二选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B D B D C AD BD ABC ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.(0,1)14.4 215 15.6或3 2 16.5,627,6321,32xyxxx=（2 分）；31(,)22（3 分）四、解答题：共四、解答题：共 7070 分分.解答题：解答题：17.（10 分）解：（1）因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为22221(0,0)xyabab=，由题意得24c=，2c=又双曲线C的一条渐近线为33yx=，33ba=联立上述式子解得3a=，1b=，故所求方程为2213xy=；4 分（2）设11(,)A x y，22(,)B xy，联立2211213yxxy=，整理得213604xx+=，由2134()(6)1504=，所以1212xx+=，1224x x=，即2222121211()41()(12)4(24)10 32ABkxxx x=+=+=.10 分 18.（12 分）解：（1）设(,)B m n，且,m nR，由重心定义得3333ABCGABCGxxxxyyyy+=+=，解得48CCxmyn=，2 记线段BC的中点为M，则2242BCMBCMxxxyyy+=+=，即(2,4)M；4 分（2）设(,)B aa，由（1）得(4,8)Caa+，BHAC，1711CAACBHCAyyakkxxa+=，解得4a=，即(4,4)B，(8,4)C，:4BCly=,BCAH，5HAxx=，即(5,5)H.12 分 19.（12 分）解：（1）由于AB CD，90BAD=，所以CDAD，由于PDCD，PDADD=，,PD ADPAD 平面，所以CDPAD平面，所以ABPAD平面，由PAPAD平面，得ABPA.取CD的中点为E，连接BE，因为底面ABCD是直角梯形，DEAB，且222DCDEAB=，所以四边形ABED为正方形，所以BEAD，BEAD=，在Rt BEC中，222(2 1)3BE=，故3ADBE=，所以在PAD中，222ADPAPD+=，即PAAD，由于ADABA=，,AB ADABCD 平面，所以PAABCD平面；4 分（2）由（1）可知,AB AD PA两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(2,3,0),(0,3,0),(0,0,1)ABCDP，(1,3,0)(1,0,1)(2,3,1)BDPBPC=，设平面BPC的法向量为(,)nx y z=，则00n PBn PC=，即0230 xzxyz=+=，令3x=，可得(3,1,3)n=，设直线BD与平面BPC的夹角为，2 321sincos,=727BD nBD nBDn=，所以直线BD与平面BPC所成角的正弦值为217.12 分 20.（12 分）解：3（1）联立两条直线方程，解得(55)P，设切线方程为:(5)5l yk x=+，则圆心到切线的距离25511kdk=+解得1212,2kk=，所以:2(5)51:(5)52PNPMlyxlyx=+=+，令0y=，解得53 5,2ABxx=，则222255()()()()522APAPBPBPPAPBxxyyxxyy=+=；4 分（2）分析知,M N在以P为圆心，PM为半径的圆上，设(3 52,)Pt t，222(3 52)OPtt=+，21OM=，22222(3 52)1PMPOOMtt=+，即在圆2222:(3 52)()(3 52)1Pxtyttt+=+上，联立222222(3 52)()(3 52)11xtytttxy+=+=，得(23 5)10txty+=，所以:(23 5)10MNltxty+=过定点5 2 5(,)1515.12 分 21.（12 分）解：（1）以1D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则 1111(1,0,3),(1,0),(0,1,3),(0,1,3),(1,1,3),(1,1,0)211(0,3)(1,0),(0,0,3)22AECCBBAEECCC=，设平面1AEC的法向量为111(,)mx y z=，则100m AEm EC=，即11111302102yzxy=+=，令11z=，得(3,2 3,1)m=，4 设平面1EC C的法向量为222(,)nxyz=，则1100n CCn EC=，即22230102zxy=+=，令21x=，得(1,2,0)n=，设二面角1AECC的平面角为，则115coscos4m nAECCmn=.5 分 （2）设=(-,3)2EPEC=，则1(1,3)2P+，1(,3)2BP=，令11(0,0,1)B BuB B=，设点P到直线1B B的距离为d，则2222222111()()()(3)(3)2dB PB P u=+，整理得222511511()424455d=+=+，15175410dEPEC=当时，取得最小值，此时.12 分 22.（12 分）解：（1）由题意：椭圆过点3(,)2c，又过点3(3,)2，有22222941 3341 cabab+=+=，变形22294bba=：，得223ba=代入，得23112aa+=，即2260aa=，0a，解得2a=，则3b=，所以椭圆方程22:143xyC+=；4 分（2）当 MN的斜率为 0 或不存在时，此时228 3MNPQSMNPQab=，当 MN的斜率存在且不为 0 时，设直线 MN：ykxt=+，联立223412ykxtxy=+=消去 y 得()2223484120kxktxt+=，()()2 22264163430k ttk=+=，化简得2243kt+=，所以两平行线 MN和 PQ的距离2121222 4311ttkdNPkk+=+，以1k代替 k，两平行线 MQ 和 NP 的距离2222212 4()32 4311()1kkdMNkk+=+，5 所以矩形 MNPQ的对角线2222224334|22 711kkMPNQMNMQkk+=+=+=+，根据基本不等式2221422MNPQMNNPMPSMNNP+=，148 3,所以当=14MNNP，即1k=，矩形 MNPQ面积的最大值为14.12 分