广西北海市2023届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题含答案.pdf

2023 届北海市高三第一次模拟考试届北海市高三第一次模拟考试数学（理科）数学（理科）全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前答卷前，考生务必将自己的姓名考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.回答非选择题时回答非选择题时，将答案写在答题卡上将答案写在答题卡上.写在本试卷上无写在本试卷上无效效.3.回答选考题时，考生须按照题目要求作答，并用回答选考题时，考生须按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.5.本卷主要考查内容：高考范围本卷主要考查内容：高考范围.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合23Axx，集合2,1,2,3B ，则AB等于（）A.1,2,3B.1,2,2C.2,1D.1,22.已知复数 z 满足 293 i,zaaa b R，若 z 为纯虚数，则a（）A.-3B.3C.3D.03.在等差数列 na中，38a，712a，则12a（）A.19B.18C.17D.204.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为 v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q，研究发现ln0100Qvkk.当0.5m/sv 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为 800.当1.5m/sv 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（）A.12800B.24800C.25600D.512005.如图所示几何体是底面直径为 2，高为 3 的圆柱的上底面挖去半个球，则该几何体的表面积为（）A.8B.9C.10D.116.如右图所示，阴影部分由四个全等的三角形组成，每个三角形是腰长等于圆的半径，顶角为02（北京）股份有限的等腰三角形.如果在圆内随机取一点，那么该点落到阴影部分内的概率为1，则（）A.6B.4C.3D.5127.已知角满足1tan43，则sin2（）A.45B.45C.79D.498.已知奇函数 f x的定义域为 R，且 f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减.若 20f，则 0f x 的解集为（）A.2,2B.,20,2 C.2,02,D.,202,9.已知1x，2,xm+，若12xx，121112xxxx恒成立，则正数 m 的最小值是（）A.1eB.1C.11eD.e10.已知函数 1cos032f xx，将 f x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数 g x的图象，已知 g x在0,上恰有 5 个零点，则的取值范围是（）A.82,3B.72,3C.82,3D.72,311.已知数列 na的前 n 项和为nS，且满足112nnSan，则数列nna的前 81 项的和为（）A.1640B.1660C.1680D.170012.已知抛物线2:20C ypx p的焦点为 F，抛物线上的任意一点 P 到焦点 F 的距离比到直线2x -的距离少32，过焦点 F 的直线1l与抛物线 C 交于 A，B 两点，直线AO，BO与直线23l yx:-分别相交于 M，N两点，O 为坐标原点，若24MN，则直线1l的斜率为（）（北京）股份有限A.1 或3117B.1 或 2C.13或 2D.12二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量a是单位向量，向量2,2b，且 26abab，则a与b的夹角为_.14.24211xx的展开式中4x的系数为_.15.如图，已知双曲线2222:10,0 xyMabab的左，右焦点分别为1F，2F，正六边形21ABF CDF的一边1AF的中点恰好在双曲线 M 上，则双曲线 M 的离心率是_.16.如图，在体积为43的三棱锥PABC中，ACBC，ADBD，PD 底面ABC，则三棱锥PABC外接球体积的最小值为_.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答、第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分、17.（本小题满分 12 分）已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且3sincos3cBabC.（1）求角 B 的大小；（北京）股份有限（2）若2 3b，求ABC周长的最大值.18.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，E 为1AA的中点，F 为BC的中点.（1）证明：EF平面11ABC；（2）若12ACBCCC，求平面11ABC与平面AEF所成二面角的正弦值.19.（本小题满分 12 分）某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，学生完成数学作业的时间的范围是0,100.其统计数据分组区间为0,20，20,40，40,60，60,80，80,100.（1）求直方图中 x 的值；（2）以直方图中的频率作为概率，从该校学生中任选 4 人，这 4 名学生中完成数学作业所需时间少于 20 分钟的人数记为 X，求 X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，点31,2在椭圆 C 上，且椭圆 C（北京）股份有限的离心率为32.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）相互垂直且斜率存在的直线1l，2l都过点1,0B，直线1l与椭圆相交于 P、Q 两点，直线2l与椭圆相交于 M、N 两点，点 D 为线段PQ的中点，点 E 为线段MN的中点，证明：直线DE过定点.21.（本小题满分 12 分）已知函数 eln e0 xf xaaa.（1）当1a 时，求过点2,0-且和曲线 yf x相切的直线方程；（2）若对任意实数1x，不等式 ln1f xx恒成立，求实数 a 的取值范围.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为cos1sinxy，（为参数）.以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为cossin20.（1）求曲线 C 的标准方程与直线 l 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 A，B 两点的极坐标.23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数|2|f xxax.（1）若1a，求不等式 5f x 的解集；（2）若 2f xa，求实数 a 的取值范围.2023 届北海市高三第一次模拟考试届北海市高三第一次模拟考试数学（理科）数学（理科）参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则1.D23Axx，1,2AB .2.C由290a 且30a，可知3a.3.C 由1277354aaaa，有121251284a，可得1217a.4.D因为0.5m/sv 时，800Q，故8000.5ln3 ln2100kk，（北京）股份有限所以16ln2k，故1.5m/sv 时，11.5ln6ln2100Q，即51200Q.故选 D.5.B几何体的表面积为2221 31219 .6.A设圆的半径为R，圆的面积为2R，四个三角形的面积为2214sin2sin2RR，有222sin1RR，解得1sin2，可得6.7.A由tan11tan41tan3，得tan2，2222sin cos2tan4sin2sincostan15，故选 A.8.B作出图象，可知解集为,20,2.9.B由121112xxxx，即121112lnlnxxxx，即11221ln1lnxxxx.令 1lnf xxx，则 11lnln1xfxxxxx ，令 1ln1u xxx，则 2110uxxx 在0,上恒成立，所以 u x在0,上单调递减，又 10u，所以当0,1x时，0u x，当1,x时，0u x.即 f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减.所以1m.故选 B.10.D 1cos 232g xx，令23tx，由题意 g x在0,上恰有 5 个零点，即1cos2t 在,233t 上恰有 5 个不相等的实根，由cosyt的性质可得11132333，解得723.故选 D.11.A由111111111122222nnnnnnnaSSananaa，有11nnaa.又 由11112aSa，可得10a，可得0,1,nnan为奇数为偶数则数列nna的前 81 项的和为246801640.12.A因为抛物线2:20C ypx p的焦点为F，抛物线上的任意一点P到焦点F的距离比到直线2x 的距离少32，所以抛物线上的任意一点P到焦点F的距离与到直线12x 的距离相等，由抛物线的定义知122p，即1p，所以抛物线C的方程为22yx.1,02F，设1l的方程为12xty，11,A x y，2212,B xyxx.（北京）股份有限联立方程组22,1,2yxxty整理得2210yty，由韦达定理知122yyt，121y y .直线AO的方程为11yyxx，联立方程组11,3,yyxxyx所以11111133,xyMyxyx，因为2112yx，所以M点的坐标为11136,22yyy，同理，22236,22yNyy.所以2221122112126 246 2666 244222344332yyy yyytMNyyttyy212 2143tt，又由24MN，有212 43tt，解得1t 或1731，故直线1l的斜率为 1 或3117.故选 A.13.3由题意可知1a，2b，2222186ababaa bba b ，cos,2cos,1a baba ba b ，故1cos,2a b ，,60a b ，即a和b的夹角为3.14.924249(21)(1)441(1)xxxxx，展开式中4x的系数为2344444C4C1C9.15.1313设1AF的中点为P，连接OP，2PF，易得1POAF，160PFO，所以1OFc，112PFc，在12PFF中，由余弦定理得22222222112112121132cos444PFPFFFPFFFPFFcccc，所以2132PFc，所以21131222aPFPFcc，所以双曲线M的离心率221312313122cceacc.（北京）股份有限15.92如图，设ABP外接圆的圆心为O，ABP外接圆的半径为R，ABc，ACb，BCa，PDh，由11143263P ABCVabhabh，有8abh，由ADCDBD可知，O为三棱锥PABC外接球的球心，有2221()4RchR，解得2222222222281244422242888442hhchchabhabhabhhRhhhhhhh322223344442hhhhhh（当且仅当2abh时取等号），故三棱锥PABC外接球体积的最小值为3439322.17.解：（1）由3sincos3cBabC及正弦定理得3sin sinsinsin cos3CBABC，因为sinsinsinsin coscos sinABCBCBCBC，3 分所以3sin sincos sin3CBBC，因为sin0C，所以3sincos3BB，tan3B，5 分又0B，解得3B；6 分（2）2 3b，2221cos22acbBac，即2()123acac，8 分所以223()123()4acacac，当且仅当ac时等号成立，10 分所以4 3ac，当且仅当2 3ac时等号成立.所以ABC周长的最大值为6 3.12 分18.（1）证明：取1BC的中点 O，连接OF，1AO，1 分（北京）股份有限1BOOC，BFCF，1OFCC且112OFCC，2 分1112AEAA，11AACC，1OFAE，且1AEOF3 分四边形1OFEA是平行四边形，1EFOA，4 分1EFOA，EF 平面11ABC，1AO 平面11ABC，EF平面11ABC；5 分（2）解：由AC，BC，1CC两两垂直，以点C为坐标原点，AC，BC，1CC分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下0,0,0C，2,0,0A，0,1,0F，2,0,1E，0,2,0B，10,0,2C，12,0,2A，6 分设平面AEF的法向量为,mx y z，由0,0,1AE ，2,1,0AF ，有0,20,AE mzAF mxy 取1x，2y，0z，可得平面AEF的一个法向量为1,2,0m，8 分设平面11ABC的法向量为,na b c，由112,0,0C A，10,2,2BC ，有11120,220,C A naBC nbc 取0a，1b，1c，可得平面11ABC的一个法向量为0,1,1n，10 分有2m n，5m，2n，可得22cos,525m n ，故平面11ABC与平面AEF的二面角的正弦值为215155.12 分19.解：（1）由直方图可得200.025 200.0065 200.003 2 201x，解得0.0125x；3 分（2）X 的可能取值为 0，1，2，3，4.4 分（北京）股份有限由直方图可知，每位学生完成数学作业所需时间少于 20 分钟的概率为14，5 分438104256P X，6 分31413271C4464P X，7 分222413272C44128P X ，8 分3341333C4464P X ，9 分444114C4256P X.10 分所以X的分布列为X01234P81256276427128364125611 分1414E Xnp.12 分20.（1）解：设点1F，2F的坐标分别为,0c、,0c，由题意有22222131,4,3,2abcabca解得2,1,3,abc3 分故椭圆C的标准方程为2214xy；4 分（2）证明:设直线1l的斜率为0k k，可得直线2l的斜率为1k，设点D的坐标为11,x y，点E的坐标为22,xy，直线1l的方程为1yk x，联立方程221,41,xyyk x消除y后有2222418440kxk xk，有2128241kxk，可得212441kxk，（北京）股份有限2122414141kkykkk，6 分同理222244441kxkk，2221441kkykk，8 分由对称性可知直线DE所过的定点 T 必定在 x 轴上，设点 T 的坐标为,0t，9 分有2121yyxtxt，有2222244144441kkkkkttkk，化简得225544ktk，解得45t，故直线DE过定点4,05.12 分21.解：（1）当1a 时，e1xf x，exfx，因为点2,0没有在曲线上，故不是切点，设切点为00,e1xx，直线斜率为00exfx，1 分则切线方程为00e1exxyxx，又因为该直线过点2,0，所以0000e1e2xxx，即000ee1xxx，3 分记 eexxu xx，当1x 时，0u x，当1x 时，2 e0 xuxx，u x在1,上单调递增，又 01u，00 x，故切线方程为2yx；4 分（2）当1x 时，由 ln1f xx可得lneln1ln1xaax，即lnln(1)eln1 ln1eln1xaxxaxxx，8 分构造函数 exg xx，其中Rx，则 e10 xgx ，所以函数 g x在 R 上为增函数，由lnln(1)elneln1xaxxax可得lnln1g xagx，（北京）股份有限所以lnln1xax，即lnln1axx，其中1x，10 分令 ln1h xxx，其中1x，则 12111xhxxx.当12x时，0hx，函数 h x单调递增，当2x 时，0h x，函数 h x单调递减，所以 maxln22ah xh，即21ea.12 分22.解：（1）曲线 C 的参数方程为1cossinxy（为参数），转换为标准方程为2211xy，3 分直线 l 的极坐标方程为cossin20，转换为直角坐标方程为20 xy；5 分（2）联立方程2211,20,xyxy6 分解得1,1xy 或2,0,xy8 分故点 A，B 的直角坐标分别为1,1，2,0，可得点 A 的极坐标为2,4，点 B 的极坐标为2,0.10 分23.解：（1）当1a 时，125f xxx，当2x 时，不等式化为125xx ，3x ，此时32x ；1 分当21x 时，不等式化为1235xx ，恒成立，此时21x；2 分当1x 时，不等式化为12215xxx ，2x，此时12x，3 分综上所述，不等式的解集为3,2；4 分（2）222f xxaxxaxa，6 分若 f xa，则22aa，7 分当0a 时，不等式恒成立；8 分当0a 时，不等式22aa，两边平方可得22444aaa，解得223a，02a，9 分综上可得，a 的取值范围是,2.10 分