甘肃省兰州第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试理科数学试题含答案.pdf

兰州一中 2022兰州一中 20222023-1 学期期中考试试题2023-1 学期期中考试试题高三数学（理）说明：本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间 120分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第卷第卷(选择题选择题)一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分)1已知集合 3,1,0,2,4U ，1,0A，0,2B，则()UAB()A 3,1B 3,4C 3,1,2,4D 1,0,22已知aR，13ai ii，(i 为虚数单位)，则a()A1B1C3D33 已知 fx是R上的偶函数，g x是R上的奇函数，它们的部分图像如图，则 f xg x的图像大致是()ABCD4已知等差数列 na的前n项和为nS，且918S，71a，则1a()A4B2C12D15已知 x、y 都是实数，那么“xy”的充分必要条件是()AlglgxyB22xyC11xyD22xy6我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为 2 的一个半圆，则该几何体的体积为()A3B32C33D367设 x，y 满足约束条件23250yxxy，则zxy 的最小值为()A2B1C2D38已知函数()f x是定义在R上的偶函数，当0 x 时，()xf xex，则32(2)af，2(log 9)bf，(5)cf的大小关系为()AabcBacbCbcaDbac9设函数 fx定义域为 R，1f x为奇函数，1f x为偶函数，当1,1x 时，21f xx，则下列结论错误的是()A7324f B7f x为奇函数C fx在6,8上为减函数D fx的一个周期为 810 已知函数222,2,()366,2,xaxxf xxa xx若()f x的最小值为(2)f，则实数a 的取值范围为()A2,5B2,)C2,6D(,511已知双曲线2221xya（0a）的左右焦点分别为1F，2F，过点2F作一条渐近线的垂线，垂足为 P 若12PFF的面积为2 2，则该双曲线的离心率为()A2 33B3 24C3D14312已知函数3()5()Rf xxx x，若不等式22(4)0fmmtft对任意实数2t 恒成立，则实数m的取值范围为（）A2,2B4,3 C,22,D,2 第卷第卷(非选择题非选择题)二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分)13有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需 1 人承担，丙需 2 人承担且至少 1 人是男生，现有 2 男 2 女共 4 名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是_（用数字作答）14已知1,2a，1,1b，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围为_15已知 fx是R上的奇函数，g x是在R上无零点的偶函数，20f，当0 x 时，0fx g xf x gx，则使得lg0lgfxgx的解集是_16已知0 x，0y，且24xy，则112xyy最小值为_.三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分)（一）必考题：共五小题，每题（一）必考题：共五小题，每题 12 分，共分，共 60 分。分。17已知函数 22324fxsinxcos x.（1）求 f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数 f（x）的图象向右平移6个单位，得到函数 g（x）的图象，求 g（x）在区间4 4，上的值域.18在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3bcos A2ca.（1）求角B；（2）若ABC的面积为2 3，BC边上的高1AH，求b，c.19某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本 2 万元，每生产x万件，需另投入流动成本 C x万元，当年产量小于7万件时，2123C xxx(万元)；当年产量不小于7万件时，36ln17eC xxxx（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润 P x（万元）关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(取320e).20已知函数 2 ln1exfxx.（1）求曲线 yf x在点(1，1f)处的切线方程；（2）求函数 f x的单调区间；（3）已如函数 32321g xxax，若1x，21,ex，不等式 12f xg x恒成立，求实数a的取值范围.21已知函数 ln xafxx.（1）若函数 fx的图象在1x 处的切线为1y，求 fx的极值；（2）若 21xfxex恒成立，求实数a的取值范围.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分。22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：12cos2sinxy （为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin24.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点(2,0)P，直线l交曲线C于A，B两点，求11|PAPB的值.23已知函数()|1|f xxxa.（1）当2a 时，求不等式()5f x 的解集；（2）若()2f x 的解集为 R，求a的取值范围.兰州一中 2022兰州一中 20222023-1 学期期中考试试题答案高三数学（理）2023-1 学期期中考试试题答案高三数学（理）参考答案：BCCAB CCDCA BB参考答案：BCCAB CCDCA BB1B解：因为 3,1,0,2,4U ，1,0A ，0,2B，所以1,0,2AB 所以 U3,4AB 故选：B2C213ai ii aiiaaii +=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3aa .故选：C.3C【详解】又 f x是R上的偶函数，g x是R上的奇函数，()()fxf x，()()gxg x，()()()()fxgxf x g x 函数 f xg x为奇函数，其图象关于原点对称，A,B 错，由图可得当0 x 时，()0f x，()0g x，()()0f xg x，D 错，故选：C.4A【详解】因为199599182aaSa，所以52a；又因为752aad，所以1 2122d.所以51142aada，解得14a.故选：A5B【详解】对于 A，lglg0 xyxyQ，故“lglgxy”是“xy”的充分不必要条件，不符合题意；对于 B，22 Qxyxy，即“22xy”是“xy”的充要条件，符合题意；对于 C，由11xy得，0 xy或0 xy，0 xy，不能推出xy，由xy也不能推出11xy，所以“11xy”是“xy”的既不充分也不必要条件，不符合题意；对于 D，由22xyxy，不能推出xy，由xy也不能推出22xy，故“22xy”是“xy”的既不充分也不必要条件，不符合题意；故选：B.6C【详解】圆锥底面周长为12222，所以圆锥的底面半径1r，圆锥的高22213h，所以圆锥的体积为211313333VSh，由祖暅原理，该几何体的体积也为33.故选：C7C【详解】作出可行域，如图所示，目标函数zxy 的几何意义是直线y=x+z在y轴上的截距，zxy 转化为y=x+z，令0z，则0 xy，作出直线0 xy并平移使它经过可行域的点，经过A时，所以3250 xxy，解得31xy，所以3,1A.此时z取得最小值，即min3 12z 故选：C.8D【详解】依题意得3322(2)(2)aff，3222582 223log 8log 9，当0 x 时，()xf xex，因为1e，所以xye在R上单调递增，又yx在R上单调递增，所以()f x在0,)上单调递增，322(log 9)(2)(5)fff，即bac，故选：D9C【详解】由题设，(1)(1)fxf x，则 fx关于(1,0)对称，所以(1)1(1 1)fxf x ，即()(2)fxf x，则(2)(22)fxf x，即(2)(4)fxf x，由(1)(1)fxf x，则 fx关于1x 对称，所以(1)1(1 1)fxf x，即(2)()fxf x，综上，()(4)f xf x，则(4)(44)(8)f xf xf x ，故()(8)f xf x，即()(8)f xf x易知 fx的周期为 8，D 正确；773113(2)()(1)(1)()22222412ffffff ，A 正确；由(1)(7)f xf x，而1f x为奇函数，故7f x为奇函数，B 正确；由1,0 x 时 21f xx递增，则7,8x时 fx递增，显然 C 错误.故选：C10A【详解】当2x 时，3636626126xaxaaxx，当且仅当6x 时，等号成立，即当2x 时，函数()f x的最小值为126a；当2x 时，2()22f xxax，要使得函数()f x的最小值为(2)f，则满足2,(2)24126,afaa解得25a故选：A11B【详解】解：设过右焦点2,0F c且与渐近线0 xay垂直的直线为 l，则直线 l 的方程为ya xc.由1,()yxaya xc，得2axc，ayc，即2,aaPcc.则12PFF的面积为1212 22PaFFycc，2 2a，22218 19ca，33 242 2e.故选：B12B【详解】解：函数3()5f xxx的定义域为R，且 3355fxxxxxf x ，所以()f x为奇函数，又3yx与yx在定义域R上单调递增，所以()f x在定义域R上单调递增，若不等式22(4)0fmmtft对任意实数2t 恒成立，则2244fmmtftft，即224mmtt 对任意实数2t 恒成立，所以242tmt 对于任意实数2t 恒成立，即42mtt 任意实数2t 恒成立，因为函数 2g ttt 在2,上单调递增，所以 min23g tg，则42tt有最小值43，若42mtt 对任意实数2t 恒成立，所以43m 即m的取值范围为4,3 故选：B1310【详解】丙选择一名男生和一名女生：1112228C C A.丙选择两名男子：22222C A.所以不同的安排方法种数是：10 种.故答案为：10.145,00,3【详解】解：因为1,2a，1,1b，所以1,2ab，因为a与ab的夹角为锐角，所以0aab，且a与ab不共线，所以12 20且2 12，解得53 且0，所以的取值范围为5,00,3，故答案为：5,00,315【详解】令 ()f xh xg x，则 2()()fx g xfx gxh xg x，当0 x 时，()0h x，故()h x在0,上单调递减，又 f x是奇函数，g x是偶函数，故()h x是奇函数，()h x在,0上单调递减，又 20,(0)0ff，可得(2)0,(2)0,(0)0hhh，故()h x在2,0,(2,)上小于 0，由lg(lg)0lgfxhxgx，得2lg0 x或lg2x，解得11100 x或100 x.故答案为：11(100,)100,.1632 28【详解】解：因为0 x，0y，且24xy，即4xyy，所以11111242xyyxyyxyy131332 224224228yxyyxyxyyxyy，当且仅当2yxyxyy，即421y，421y、4 32 2x 时取等号；故答案为：32 2817（）最小正周期，51212kk，（kZ）（）0，3【详解】（）函数 22324f xsinxcos x1cos（2x2）3232212216cos xcos xsin xcosx 所以函数的最小正周期为22T，令2226kxk（kZ），整理得1212kxk（kZ），所以函数的单调递减区间为51212kk，（kZ）（）将函数 f（x）的图象向右平移6个单位，得到函数 g（x）2cos（2x36）+12216cosx的图象，由于 x4 4，所以22363x，故12126cosx，所以 0g（x）3，故函数的值域为0，318（1）6；（2）2 7b，2c.【详解】解：（1）因为3cos2bAca，所以222322bcabcabc，所以222223bcacac，即2223cabac.由余弦定理可得2223cos22cabBac，因为(0,)B，所以6B.（2）由正弦定理可得sinsin22sinsin6AHAHAHBcB.因为ABC的面积为2 3，所以11sin2 322acBa，解得4 3a.由余弦定理可得2222cosbacacB3484224 3282，则2 7b.19（1）23142,07315ln,7xxxP xexxx；（2）当年产量320 xe万件时，年利润最大，最大年利润为11万元.【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元，由题意可得，当07x时，2211626224233P xxC xxxxxx；当7x 时，336266ln17215lneeP xxC xxxxxxx；所以 23142,07315ln,7xxxP xexxx；（2）由（1）可得，当07x，2211426101033P xxxx ，当且仅当6x 时，等号成立；当7x 时，315lneP xxx，则 33221eexP xxxx，所以，当37xe时，0P x，即函数 315lneP xxx单调递增；当3xe时，0P x，即函数 315lneP xxx单调递减；所以当3xe时，315lneP xxx取得最大值 333315ln11eP eee；综上，当320 xe时，P x取得最大值11万元；即当年产量为320 xe时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是11万元.20（）2210exye；（）f x在（0，e）递增，在,e 递减；（）3,2.【详解】（）2 ln1exfxx，定义域是0,，11f，222 lneexfxx，12fe，故切线方程为121ye x，即2210exye；（）由（）222 lneexfxx，令 0fx，解得0 xe，令 0fx，解得xe，故 f x在（0，e）递增，在,e 递减；（）由（）得 f x的极大值是 2 lne11ef ee，即 f x的最大值是 1f e，32321g xxax，294gxxax，令 0gx，解得0 x 或49ax ，若1x，21,ex，不等式 12f xg x恒成立，则1,xe时，maxminf xg x恒成立，当419a即94a 时，g x在1,e上单调递增，此时 min142g xga，令421a，得32a ；当419ae 时，即9944ea 时，g x在41,9a递减，在4,9ae递增，此时 3min43219243aag xg，令3321 1243a，解得0a，不符合题意；当49ee即94ea 时，g x在1,e递减，故 32min321g xg eeae，令323211eae，解得32ae，不符合题意综上，实数a的取值范围是3,221（1）f x的极大值为1，不存在极小值；（2）3a.【详解】（1）21lnaxfxx，由题意可得：2110afx，解得：1a 此时函数 11fa，函数 f x的图象在1x 处的切线为1y 成立所以 ln1xf xx，2ln xfxx，由 0fx可得01x，由 0fx可得1x，所以 f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减.所以 f x的极大值为 11f，不存在极小值.2由 21xfxex可得ln21xxaexx分离a可得：1ln2xax ex0 x 令 1ln2,0 xF xx exx 111111,0 xxxxxFxexeexxexxxx 1,0.xh xexx令 210 xhxex所以 h x在0,上单调递增 120,110,2hehe 存在唯一的01,12x，使得00010 xh xex当00 xx时，0h x，即 0Fx，当0 xx时，0h x，即 0Fx，故 F x在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增.0000000min12ln2xxF xxelnxx exx，由于00010 xh xex，得001xx e，再对001xx e两边取对数可得：00ln0 xx所以 0000minln21 023xF xx exx ，所以3a 即实数a的取值范围3a【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法22（1）曲线C的普通方程22(1)4xy，l的直角坐标方程20 xy（2）143【详解】(1)已知曲线C:12cos2sinxy (为参数),则曲线C的普通方程22(1)4xy,直线l的极坐标方程为sin24,则l的直角坐标方程20 xy;(2)直线l的参数方程为22222xtyt (t为参数)代入曲线C:22(1)4xy,化简得2230tt,设A,B对应的参数分别为1t,2t,则122tt,1 23t t ,所以121212121 21111|ttttPAPBttt tt t2121 21 24143ttt tt t.【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查直线参数方程的应用,难度不大.23（1）-2,3（）；（2）13aa 或【分析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式可得min()1f xa，从而得12a 或12a ，进而可得解.【详解】（1）当2a 时，原不等式可化为1-12212535215xxxxx 或或解得2,3x 所以不等式的解集为2,3（2）由题意可得min()2f x,1(1)()1xxaxxaa 当(1)()0 xxa时取等号.min()1f xa12a 或12a ，即1a 或3a 【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及绝对值三角不等式求最值，属于基础题.请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2022-2023-1 高三期中考试题理科数学答题卡姓名：班级：请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 A B C D2 A B C D3 A B C D4 A B C D5 A B C D6 A B C D7 A B C D8 A B C D9 A B C D10 A B C D11 A B C D12 A B C D二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13_14_15_16_三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共 60 分。17（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！19（12 分）20（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！准考证号0123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789贴条形码区注意事项1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。2选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。5正确填涂缺考标记请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。我所选择的题号是 22 23 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！