山东省烟台市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题含答案.pdf
高二数学试题答案（第 1 1 页，共 5 5 页）ABCDPQ2022202320222023 学年度第一学期期中学业水平诊断 高二数学参考答案 一、选择题 一、选择题 B A D D A C C B 二、选择题 二、选择题 9.AC10.ACD 11.ABD 12.ACD 三、填空题 三、填空题 13.1 14.2 15.54 16.34四、解答题四、解答题 17.解：（1）由题知，所求圆的圆心M为线段AB的垂直平分线和直线220 xy的交点.线段AB的中点坐标为(0,1)，直线AB的斜率2011(1)k，1 分 所以，AB的垂直平分线的方程为0(1)yx 即1yx.2 分 联立得21010 xyxy ，解得圆心(0,1)M.3 分 半径22(1 0)(2 1)2rAM.4 分 所以，圆M的标准方程为22(1)2xy.5 分（2）由题意知圆心M到直线的距离为22()12CDdr，6 分 当直线l斜率存在时，设直线方程为3(1)yk x，即30kxyk.所以，2211+kdk，解得34k 7 分 所以，直线l的方程为3490 xy.8 分 当直线l斜率不存在时，直线方程为1x，符合题意.9 分 所以，直线l的方程为3490 xy或1x.10 分 18.解：（1）证明：连接BD，因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.1 分 又因为PD 平面ABCD，AC 平面ABCD,所以ACPD.2 分 因为BDPDD，所以，AC 平面PDBQ.3 分 高二数学试题答案（第 2 2 页，共 5 5 页）FzyxABCDPEMOzyxABCDPQ因为PQ平面PDBQ，所以，PQAC.4 分（2）设ACBDO，取PQ的中点M，则/OMPD，由（1）知，ACBD，ACOM.以O为坐标原点，分别以,OA OB OM所在直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系，5 分 则(3,0,0)A，(0,1,0)D，(0,1,2)P，(0,1,1)Q.所以，(3,1,0)AD ，(3,1,2)AP ，(3,1,1)AQ .7 分 设平面PAQ的一个法向量(,)x y zn，则 00APAQnn，所以32030 xyzxyz，所以23zyxy，取(3,1,2)n.9 分 设直线AD与平面PAQ夹角为，所以，|3 1 0|2sin|cos(,)|2|4 2|ADADAD nnn.11 分 所以，直线AD与平面PAQ夹角的大小为4.12 分 19.解：（1）连接AC交BD于点F，连接EF.因为E是PC的中点，所以，/EFPA.因为PA平面BDE，EF 平面BDE，所以/PA平面BDE.所以P点到平面BDE的距离即为直线PA到平面BDE的距离.2 分 由题知，,DP DA DC两两垂直，所以，以D为坐标原点，分别以,DA DC DP所在的直线为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.3 分 则(0,0,0)D，(1,0,0)A，(0,0,2)P，(1,2,0)B，(0,2,0)C，(0,1,1)E.所以，(1,2,0)DB，(0,1,1)DE.4 分 设面BDE的一个法向量(,)x y zn，则00DBDEnn，即200 xyyz，所以2xyzy ，取(2,1,1)n6 分 又(0,0,2)DP，所以，P点到平面BDE的距离为|(0,0,2)(2,1,1)|6|36DPnn.高二数学试题答案（第 3 3 页，共 5 5 页）即直线PA到平面BDE的距离为63.7 分（2）由（1）知，平面BDE的一个法向量(2,1,1)n.又(1,0,2)PA,(1,2,2)PB，设平面PAB的一个法向量面(,)x y zm，则 00PAPBmm，即20220 xzxyz，所以20 xzy，取(2,0,1)m.9 分 设平面BDE与平面BCE的夹角为，则|(2,1,1)(2,0,1)|30cos|cos,|665|n mn mnm.11分 所以，平面BDE与平面PAB夹角的余弦值为306.12 分 20.解：（1）圆C的方程可化为：22(1)(2)5xym，所以，50m，即5m.2 分 方程22812360 xyxy可化为：22(4)(6)16xy，因为两圆外切，所以12drr，3 分 即22(4 1)(62)554dm，4 分 解得，=4m.符合题意.6 分（2）由题意可知四边形PACB外接圆是以PC中点为圆心，2PC为半径的圆.7 分 设,4)P a a（，则圆的方程为)(1)(4)(2)0 xa xyay（，8 分 整理得：22(1)(6)380 xyaxaya，式子可化为：2268(3)0 xyxya xy .联立方程2268=030 xyxyxy，整理得：2210 xx，10 分 解得，1x 或12x .11 分 所以，外接圆恒过定点(1,2)和1 7(,)2 2.12 分 21.解：（1）证明：因为四边形11BAAB为正方形，所以11/AABB，因为1AA 平面1BBC，1BB 平面1BBC，所以1/AA平面1BBC.2 分 高二数学试题答案（第 4 4 页，共 5 5 页）zyxABCA1C1B1又因为1AA 平面1AAC，平面11AAC平面1BBCl，所以1/lAA.4 分（2）由题知，以A为坐标原点，分别以1,AB AC AA所在直线为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.5 分 由（1）知，可设(1,1,)Pa，且1(1,1,1)C，(1,0,0)B，(0,1,0)C.所以(0,1,)BPa，(1,1,0)BC ，(1,1,)APa.6 分 设平面BPC的一个法向量(,)x y zn，则00BPBCnn，即00 xazxy，所以xazxy，取(,1)aa n.8 分 设直线AP与平面BPC所成的角为，则22|(1,1,)(,1)|sin|cos,|221AP|aaaAPAPaannn 4222|113225225aaaaa，10 分 当且仅当2222aa，即1a 时，等号成立.所以，直线AP与平面BPC所成角的正弦值的最大值为13.12 分 22.解：（1）当点B坐标为(1,2)时，直线AB的斜率为2，因为CDAB，所以CD的斜率为12.2 分 所以，直线CD的方程为10(1)2yx，即+210 xy.3 分（2）证明：设11(,)A x y，22(,)B x y,11(,)F xy 由题意可知，直线AB斜率存在且不为零，所以，可设直线AB方程为ykx（0k）.联立方程2223=0 xyxykx，消y得，22(1)+230kxx，4 分 由韦达定理可得，1222+1xxk，12231x xk.又直线BF的方程121121()yyyyxxxx，高二数学试题答案（第 5 5 页，共 5 5 页）令=0y，得121112()y xxxxyy.5 分 又由1122,ykx ykx可得，1211211211121212()()2=3y xxx xxx xxxxyyxxxx，6 分 所以，直线BF恒过x轴上一定点(3,0).7 分（3）当直线AB斜率不存在时，=2 3AB,=4CD，1=2SAB CD=4 3.8 分 当直线AB斜率存在时，可设直线AB的方程为ykx（0k），所以，圆心M到直线AB的距离为21kdk，所以，2221=2 4-2 311kABkk.9 分 直线CD的方程可设为1(1)yxk 整理得10 xky，圆心M到直线CD的距离为221dk，所以，2241=2 4-4 1-11CDkk.所以，1=2SAB CD 22114 3111kk，10 分 令21(0,1)1tk，所以，上式可化为：2=43)(1)423,(0,1)Sttttt（，所以，(0,4 3)S.11 分 综上，S的取值范围是(0,4 3.12 分
