辽宁省实验中学2022-2023学年高三上学期期中阶段测试数学试题含答案.pdf

高三数学试卷 第 1 页 共 4 页 辽宁省实验中学 2022-2023 学年度上学期期中阶段测试 高三数学试卷 考试时间：120 分钟 试题满分：150 分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.若复数(1 2)()zi a i在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是A.1,22B.12,2C.1,22D.1(,2),2 2.已知,m n为两条不同的直线，,为三个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若,mn，则mn B.若,，且m，则m C.若,mnmn，则 D.若,mn，则mn 3.某科技研发公司 2021 年全年投入的研发资金为 300 万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 600 万元的年份是(注：lg20.301,lg30.477,lg50.699,lg11 1.041)A.2027 年B.2028 年 C.2029 年D.2030 年4.已知函数222,(),xmxmxmf xxm xm，若2(4)(3)f afa，则实数a的取值范围是 A.(1,4)B.(,1)(4,)C.(4,1)D.(,4)(4,)5.甲箱中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则由乙箱中取出的是红球的概率为A.913 B.910 C.911 D.9226.数学家欧拉于 1765 年在其著作三角形的几何学中首次提出：ABC的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若4,2ABAC，则下列各式中不正确的是 A.40AG BCB.2GOGH C.60AO BCD.OHOA OBOC高三数学试卷 第 2 页 共 4 页 7.已知等差数列 na，nS是数列 na的前n项和，对任意的*nN，均有6nSS恒成立，则107aa不可能的值为 A.3B.4C.5D.68.已知实数12,x x满足131xx ee，622ln3xxe，则12x x A.2eB.5eC.6eD.7e二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分分.9.已知,0 x y，260 xyxy，则 A.,x y的最大值为2B.2xy的最小值为 4 C.xy的最小值为4 23D.22(2)(1)xy的最小值为 110.已知函数()sin,(0)3f xx在0,上有且只有三个零点，则下列说法正确的是 A.在(0,)上存在12,x x，使得122f xf xB.的取值范围为7 10,33C.()f x在0,4上单调递增 D.()f x在(0,)上有且只有一个最大值点 11.函数()f x的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()yf x为奇函数，该结论可以推广为：函数()yf x的图象关于点(,)P a b成中心对称图形的充要条件是函数()yf xab为奇函数已知函数2()(0)2xg xmm A.若1m，则函数()1yg x为奇函数B.若1m，则(10)(9)(9)(10)20ggggC.函数()g x的图象必有对称中心D.222,log(2)log(2)xgmxgmxmR 高三数学试卷 第 3 页 共 4 页 12.已知正四面体ABCD的棱长为 3，其外接球的球心为O.点E满足AEAB(01)，过点E作平面平行于AC和BD，设分别与该正四面体的棱,BC CD DA相交于点,F G H，则 A.四边形EFGH的周长为定值B.当12时，四边形EFGH为正方形C.当13时，截球O所得的截面的周长为134D.四棱锥AEFGH体积的最大值为223三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.13.若212nxx展开式的二项式系数之和为 64，则展开式中3x项的系数为_.14.已知三棱锥PABC的棱,AP AB AC两两垂直，2 3APABAC，以顶点P为球心，4 为半径做一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长为_.15.在锐角三角形ABC中，若sin2sinsinABC，则tantantanABC的最小值是_.16.若函数(),()f x g x在R上可导，且()()f xg x，则()()f xg x.英国数学家泰勒发现了一个恒等式22012xnneaa xa xa x，则0a _，1011nnnana_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且1c，coscos2aCA.(1)求b的值；(2)若AD平分BAC，且交BC于点D，49AD，求ABC的面积.18.如图 1，在平面四边形ABCD中，已知ABDC，142ADDCCBAB，E是AB的中点.将BCE沿CE翻折至PCE，使得2DP，如图 2 所示.(1)证明：；(2)求直线DE与平面PAD所成角的正弦值.图 1 图 2 DPCEBCDAECADPE高三数学试卷 第 4 页 共 4 页 19.已知数列 na满足11a，且13,2,3nnna naa n为正奇数为正偶数，(1)求 na的通项公式；(2)若数列 nb满足1nnnbaa，求 nb的前2n项和2nS.20.如图，在五面体ABCDE中，已知AC 平面BCD，EDAC，且22ACBCED，DBDC.(1)求证：平面ABE 平面ABC；(2)求二面角ABEC的平面角的取值范围.21.学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B类解答”为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分 12 分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表：教师评分（满分 12 分）11 10 9 各分数所占比例 153515某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于 1 分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于 1 分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.(假设本次考试阅卷老师对满分为 12 分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响).(1)本次数学考试中甲同学某题(满分 12 分)的解答属于“B类解答”，求甲同学此题得分X的分布列及数学期望E X；(2)本次数学考试有6个解答题，每题满分12分，同学乙6个题的解答均为“B类解答”.同学丙的前四题均为满分，第 5 题为“B类解答”，第 6 题得 6 分.以乙、丙两位同学解答题总分均值为依据，谈谈你对“B类解答”的认识.22.已知函数 2cosxf xexax.(1)若1a ，判断函数 f x有几个零点，并证明；(2)若0 x 不是函数 g xf xx的极值点，求实数a的值.第 1 页 共 4 页 辽宁省实验中学 2022-2023 学年度上学期期中阶段测试 高三数学试卷 参考答案 1-8.BBCBD AAC 9.BC 10.ABC 11.ACD 12.ABD 13.-192 14.43p 15.8 16.1，2011 17.解法一：因为1,coscos2caCA，所以coscos2aCcAc，由正弦定理得sincossincos2sinACCAC，sinsin()2sinBA CC，由正弦定理得22bc.解法二：在ABC中，由余弦定理得222221cos22abcabCabab，222221cos22bcabaAbcb，代入coscos2aCA，得222211222abbaaabb，所以2b.(2)设20BAC，因为,ABDACDACSSSAD平分BAC，所以111sinsinsin2222c ADb ADc b ，因为41,2,9cbAD，所以4sin2sin24sincos3，因为sin0，所以1cos3，所以22sin2 1 cos4 2sin2339，所以ABC的面积114 24 2sin22 12299Sbc .18.解：(1)取CE的中点F，连接,PF DF，由题易知,PCEDCE都是等边三角形，所以,DFCE PFCE，又DFPFF，所以CE 平面DPF.又DP 平面DPF，所以DPCE.(2)解法一：由题易知四边形AECD是平行四边形，所以ADCE，又AD 平面PAD，所以CE平面PAD，所以点E与点F到平面PAD的距离相等.由(1)知CE 平面DPF，所以AD 平面DPF.又AD 平面PAD，所以平面PAD 平面DPF.过F作FHPD交PD于H，则FH 平面PAD.2 3,2DFPFDP，故点F到平面PAD的距离222 3111FH.设直线DE与平面PAD所成的角为，则sin114FHDE，所以直线DE与平面PAD所成角的正弦值为114.解法二：由题易知四边形AECD是平行四边形，所以ADCE，由(1)知CE 平面DPF，所以AD 平面DPF.如图，以D为坐标原点，,DA DF所在直线分别为,x y轴，第 2 页 共 4 页 过D且垂直于平面AECD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(4,0,0),2,2 3,0DAE，设0,0,0Pa bab.易知2 3,2DFPFDP，故22222 3124abab，3330,33P，所以333(4,0,0),0,2,2 3,033DADPDE，设平面PAD的法向量为(,)x y zn，则00DADPnn，得0110 xyz，令11y，得1z ，所以(0,11,1)n.设直线DE与平面PAD所成的角为，则11sincos,4DEDEDEnnn，故直线DE与平面PAD所成角的正弦值为114.19.解：(1)2122121223233nnnnaaaa且11a，数列21na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，1212nna.当n为奇数时，122nna，当n为偶数时，22133 2nnnaa 综上，12222,3 2,nnnnan为正奇数为正偶数.(2)当n为偶数时，2222213 225 2nnnnnnbaa ；当n为奇数时，111222123 22nnnnnnbaa，21321242nnnSbbbbbb21 251 27 371 21 2nnn 20.(1)证明：取BC中点M，AB中点N，连接,.DM MN EN/MNAC且12MNAC，又1,/2DEAC DEAC，/DEMN，且DEMN所以四边形MNED是平行四边形，/ENDM且ENDM，又AC 平面BCD，AC 平面ABC，平面ABC平面BCD，,DCDBDMBC，又平面ABC 平面BCDBC，DM平面BCD，第 3 页 共 4 页 DM平面ABC，EN平面ABC，又EN 平面ABE，所以平面ABE 平面ABC.(2)由(1)知，ACBC，/ENDM且ENDM，EN 平面ABC，平面ABE 平面ABC 以C为原点，,CA CB所在直线为,x y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A，(0,2,0)B，(1,1,0)N，(1,1,),0Et t，则(0,2,0)CB，(1,1,0)CN，(1,1,)CEt，设平面BCE的一个法向量为(,)x y zn，则00CECB nn，即020 xytzy，取1z，则0 xty，(,0,1)t n 又ACBC，则CNAB 又平面ABC 平面ABEAB，CN 平面ABC，所以CN 平面ABE，即CN为平面ABE的一个法向量，2212cos,0,21122 1CNtCNCNtt nnn.二面角ABEC的取值范围是,4 2.21.(1)根据题意，随机变量X的取值为 9，9.5，10，10.5，11 设一评、二评、仲裁所打的分数分别是,x y z(9)(9,9)(9,11,9)(11,9,9)P XP xyP xyzP xyz 1 11 1 1725 55 5 5125，1 31 36(9.5)(9,10)(10,9)5 55 525P XP xyP xy，9(10)(10,10)25P XP xy(10.5)(10,11)(11,10)(9,11,10)P XP xyP xyP xyz 1 31 1 336(11,9,10)225 55 5 5125P xyz ，(11)(11,11)(9,11,11)(11,9,11)P XP xyP xyzP xyz 1 11 1 1725 55 5 5125，故X的分布列为 X 9 9.5 10 10.5 11 P 7125 625 925 36125 7125 7693671253()99.51010.5111252525125125125E X (2)由题意可知：乙同学得分的均值为125375186()6125125E X ，丙同学得分的均值为：125380034 126125125.丙同学得分均值更高，所以“会而不对”和不会做一样都会丢分，在做题过程中要规范作答，尽量避免“B类解答”的出现.第 4 页 共 4 页 22.(1)1a 时，2cosxf xexx，sin2xfxexx，令()h xfx，则()cos20 xh xex，故 fx在R上是增函数，又 010f ，11sin1 20fe，所以存在0(1,0)x ，使得00fx，f x在0,x单调递减，在0,x 单调递增，00f，000f xf，11cos1 10fe，f x有两个零点.(2)2cosxexaxxg x，sin21xeaxxxg，00g.令()m xgx，则()cos2xm xexa，令()n xm x，则()sinxn xex，当,02x 时，sin0 xex；当0,2x时，1sinxex 又(0)10n，故当,2 2x 时，()0n x即()m x在,2 2 上是增函数.若(0)0m，即1a，则 当,02x 时，()0m x；当0,2x时，()0m x.故 gx在,02上是增函数，在0,2上是减函数，当,2 2x 时，00gxg，g x在,2 2 上是增函数，0 x 不是函数 g x的极值点.若1a，则(0)0m，此时若02m，存在10,2x，使1()0m x；若02m，取12x，则当1,2xx 时，()0m x.故 gx在1,2x上是减函数，gx和 g x的变化情况如下：,020 10,x gx+0-g x增函数 极大值 减函数 若0 x 是函数 g x的极大值点，不符合题意.若1a，同理可证0 x 是函数 g x的极小值点，不符合题意.综上可知1a.