“定积分的概念”教案.docx

“定积分的概念”教案一、教学内容教学内容：高等数学第五章第一节定积分的概念教学对象：小学教育（全科教师）专业一年级学生教学学时：1学时教学内容的特点与作用：定积分的概念蕴涵了高等数学最核心的数学思想。通过对曲边梯形面积的探究过程，使学生体会定积分“无限分割、无限求和”的极限方法，通过曲直转化、变与不变的转化，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。同时，曲边梯形的面积问题适合学生进行探究式、研讨式学习，教学过程中可充分利用信息技术手段，是学生动手操作、主动发现知识的良好教学素材。此外，2011年版义务教育数学课程标准中，在图形与几何领域第二学段的教学目标要求：“会用方格纸估计不规则图形的面积”，正是应用了本节课中“分割越细密，精确程度越高”的思想，所以，本节课内容是小学数学知识的生长点，有利于学生从高观点下理解初等数学。二、教学目标1.知识目标：理解定积分概念，掌握“分割、近似、求和、取极限”思想方法。2.能力目标：能够用“分割、近似、求和、取极限”思想分析解决实际问题。 3.素质目标：培养逻辑思维能力、分析应用能力，增强数学修养和创新意识。三、学情分析学生之前已经掌握了极限理论和微分学等相关知识，已具备基本的函数和极限思想，但抽象思维和逻辑理解能力比较欠缺，不喜欢抽象枯燥的理论学习，但思维活跃，喜欢动手操作，热衷于网络、手机等现代智能科技。针对学生的这些特点，在教学过程中应充分挖掘学生的兴趣点，利用信息技术手段，增强教学的直观性和可操作性，让学生在自己动手解决问题的过程中突破教学难点，潜移默化地获取知识和思维方法。四、教学重点与难点教学重点：曲边梯形面积的解决过程，定积分的概念教学难点：曲直转化、“无限分割、无限求和”思想的理解五、教学方法与策略主要采用引导发现法和直观演示法相结合的教学方法，学生则采用自主探究和分组讨论的学习方法。课前用微信群提前推送视频资料，拓展教学时空；教学过程以“鸡蛋灌饼”为载体展开，吸引学生兴趣；根据学生特点开展不同的课堂合作探究活动让学生动起来，实现差异化教学，提升学生学习参与度；用多媒体技术及数学软件演示让知识动起来，实现教学内容的具象化、动态化和可视化，突破教学难点；通过课堂学习报告实时掌握学生的学习情况，及时了解目标的实现程度。六、教学过程教学环节教师活动课前准备在班级微信群里推送视频：数学之史：微积分的发明变量数学的巨人之争.来源：科普中国微信公众号.1. 新课引入(5)多媒体课件播放鸡蛋灌饼的制作视频，提问：我们要以数学的眼光观察生活，那么由鸡蛋灌饼可以提出什么数学问题？假设鸡蛋灌饼做成了一个不规则图形，如何计算其面积？引导学生通过分割将不规则图形转化为曲边梯形和曲边三角形的组合（曲边三角形是曲边梯形的特殊情形），故鸡蛋灌饼面积的问题归结为“曲边梯形的面积计算”。这就是我们今天要探讨的定积分问题。（板书：定积分的概念 一、引例：1.曲边梯形的面积）2. 合作交流、探究发现(15)如何计算曲边梯形的面积？如果无法直接计算出其面积，能否进行近似计算？通过播放切割鸡蛋灌饼视频引导学生将曲边梯形分割为若干小曲边梯形，每个小曲边梯形可近似看作长方形，分别计算出这些小长方形的面积，加起来即为曲边梯形面积的近似值。学生分组探究。请建模组同学上台操作几何画板软件，制作用若干长方形近似表示曲边梯形的过程（需要演示出不同程度的分割分别显示出的效果），测量组的同学利用曲边梯形学具进行分割、测量并记录，合作探究计算曲边梯形面积的近似值，填写实验报告单。（教师巡视指导）请测量组代表上台展示将曲边梯形分割为不同数量的长方形近似计算出的曲边梯形面积所得结果，引导学生思考：有没有发现什么结论？请建模组同学演示几何画板软件，展示分割细密程度不同时，长方形组合与曲边梯形的拟合动画效果，引导学生发现探究过程中的重要结论：分割越细，近似程度越高。但是，在有限的过程中，所得到的永远都是曲边梯形面积的近似值，如何得到精确结果？引导学生思考由“近似”转化为“精确”的关键取极限：让分割无限细密，则可得到曲边梯形的精确面积。（注：通过无限分割，使得曲转化为直，通过无限求和，又使得直转化为曲，体会曲直转化的辩证思想。通过学生动手探究，几何画板软件演示动画，实现教学内容具象化、动态化，突破教学难点。）结合多媒体课件引导学生将曲边梯形面积的解决过程用数学语言进行描述：分割在区间a,b内任意插入n-1个分点，把区间a,b分割成n个小区间，小区间的长度为，相应地把曲边梯形分割成n个窄曲边梯形. 近似在小区间上任取一点，以为高，以为底的小矩形面积作为窄曲边梯形面积的近似值 .求和把所有小矩形面积相加，得整个曲边梯形面积A的近似值，即.取极限记最大的小区间长度为，并令，取上述和式极限，得到曲边梯形的面积.（总结并板书：分割、近似、求和、取极限）3. 类比探究、归纳概念(15)解决完鸡蛋灌饼的问题后，坐公交车回家。由于汽车经历的是变速直线运动，引出下一个问题：变速直线运动的路程：设某物体作直线运动，已知速度，求在时间段上内物体所走的路程。（板书：2. 变速直线运动的路程）引导学生独立思考，类比曲边梯形面积的求法，探究变速直线运动的路程问题。思考后由学生代表陈述。在很短的一段时间内可以近似地看作匀速直线运动。把细分为n个小时间段；并在每个小时间段内任取某时刻，在此时间段内经过的路程就近似等于，从而整个路程记最长的小时间段长度为，并令，取上述和式极限，得到曲边梯形的面积.归纳总结两个问题的共性：都是通过“分割、近似、求和、取极限”得到一个相同结构的式子。还有很多问题如变力做功、立体体积、液体的侧压力等，都可以通过类似的过程，得到这样的结果。抽象得出定积分概念。（板书：二、定积分的定义）定义1 设f(x)为定义在区间a,b上的有界函数，在a,b中任意插入n-1个分点，将区间a,b分为n个小区间，小区间的长度为， 在小区间上任取一点，作和式，若当时，上述和式极限存在，则称此极限为函数在区间a,b上的定积分，记为,即.其中，称为被积函数，x称为积分变量，称为被积表达式，a,b称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限，“”称为积分号。结合鸡蛋灌饼的制作过程理解定积分定义：由面粉经过和面、擀面、烙制、灌鸡蛋等工序得到的食品就称为鸡蛋灌饼；类似地，由函数经过分割、近似、求和、取极限之后得到的极限式就称为定积分。4. 回顾整理、反思评价(5)多媒体课件展示本节课主要内容：由鸡蛋灌饼曲边梯形的面积变速直线运动的路程定积分概念鸡蛋灌饼的面积更多不规则图形的面积其它定积分可以解决的问题。学生填写课堂学习报告，对自己本节课学习了哪些知识、体会到了什么数学思想、还有哪些疑问等进行总结，教师收集学生信息，课后对学生的疑问进行反馈解答。课后作业：练习题5.1；阅读书籍用数学的语言看世界（日大栗博司著，人民邮电出版社）。生活之中处处皆有数学。要学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维解决问题！ 5