牛顿柯特斯公式优秀PPT.ppt
牛顿柯特斯公式你现在浏览的是第一页，共15页你现在浏览的是第二页，共15页二、二、Newton-CotesNewton-Cotes公式的代数精度公式的代数精度 所以I=S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项式准确成立，用同样的方法可以验证对于f(x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。你现在浏览的是第三页，共15页 上式中被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，故积分值为0，即：所以所以2 2n n阶阶N-CN-C公式至少具有公式至少具有2 2n n+1+1次代数精度。次代数精度。你现在浏览的是第四页，共15页三、几种低阶三、几种低阶Newton-CotesNewton-Cotes求积公式的余项求积公式的余项 证明：证明：证明：证明：这里被积函数中的因子这里被积函数中的因子这里被积函数中的因子这里被积函数中的因子(x x x xa a a a)()()()(x x x xb b b b)在区间在区间在区间在区间 a a a a,b b b b 上不上不上不上不变号（非正），故由积分中值定理，在变号（非正），故由积分中值定理，在变号（非正），故由积分中值定理，在变号（非正），故由积分中值定理，在 a a a a,b b b b 内至少存在一点内至少存在一点内至少存在一点内至少存在一点 ，使：使：使：使：你现在浏览的是第五页，共15页证明：在证明：在 a a,b b 区间上构造三次多项式区间上构造三次多项式H H(x x)，让让H H(x x)满足插值条满足插值条 件（带导数插值）：件（带导数插值）：而辛卜生公式至少具有三次代数精度，因此对上述三次多项式而辛卜生公式至少具有三次代数精度，因此对上述三次多项式H H(x x)应准确成立，即有：应准确成立，即有：其插值余项为：其插值余项为：你现在浏览的是第六页，共15页因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分：因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分：你现在浏览的是第七页，共15页 四四 复化求积公式复化求积公式 在实验计算中常用的就是以上三种低阶的在实验计算中常用的就是以上三种低阶的N-CN-C公式，但若积分区间公式，但若积分区间比较大，直接使用这些求积公式，则精度难以保证；比较大，直接使用这些求积公式，则精度难以保证；若增加节点，若增加节点，就要使用高阶的就要使用高阶的N-CN-C公式，然而前面已指出，当公式，然而前面已指出，当n n 8 8时，由于时，由于N-CN-C公公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此不能采用高阶的公式，式的收敛性和稳定性得不到保证，因此不能采用高阶的公式，事实上，事实上，增加节点，从插值的角度出发，必然会提高插值多项式的次数，增加节点，从插值的角度出发，必然会提高插值多项式的次数，RungeRunge现象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高阶现象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高阶N-CN-C公式，为提高精度，公式，为提高精度，当增加求积节点时，考虑对被积函数用分段低次多项式近似，由此导当增加求积节点时，考虑对被积函数用分段低次多项式近似，由此导出出复化求积公式复化求积公式。你现在浏览的是第八页，共15页1 1、复化梯形公式、复化梯形公式你现在浏览的是第九页，共15页2 2、复化辛普森公式、复化辛普森公式步长步长h h越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可以证明，越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可以证明，当当n n 时，用时，用复化复化SimpsonSimpson公式公式所求得的所求得的近似值收敛于积分值近似值收敛于积分值，而且，而且算法算法具有数值稳定性。具有数值稳定性。你现在浏览的是第十页，共15页 xi 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f(xi)1 0.9973978 0.8414709你现在浏览的是第十一页，共15页你现在浏览的是第十二页，共15页若用复化求积若用复化求积公式计算积分公式计算积分:的近似值，要求计算结果有的近似值，要求计算结果有四位有效数字，四位有效数字，n n应取多大？应取多大？例例例例2 2 2 2 解解解解 因为当因为当因为当因为当0000 x x x x1111时有时有时有时有0.30.30.30.3e e e e-1-1-1-1eeee-x x x x1111于是：于是：于是：于是：要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过10101010-4-4-4-4/2/2/2/2。又。又。又。又因为因为因为因为:因此若用复化梯形公式求积分，因此若用复化梯形公式求积分，因此若用复化梯形公式求积分，因此若用复化梯形公式求积分，n n n n应等于应等于应等于应等于41414141才能达到精度。才能达到精度。才能达到精度。才能达到精度。由复化梯形公式误差估计式：由复化梯形公式误差估计式：由复化梯形公式误差估计式：由复化梯形公式误差估计式：你现在浏览的是第十三页，共15页若用复化若用复化SimpsonSimpson公式公式即得即得n n 1.61.6。故应取故应取n n=2=2。a a,b b 分成分成n n 等分，分点为：等分，分点为：在每个小区间：在每个小区间：上，共三个点：上，共三个点：所以这里在所以这里在00,1,1上实际上共有上实际上共有5 5个分点。个分点。注意这里是将区间注意这里是将区间你现在浏览的是第十四页，共15页 例例2 2的计算结果表明，为达到相同的精度，用复化的计算结果表明，为达到相同的精度，用复化SimpsonSimpson公式所需的计算量比复化梯形公式少，这也说明了复公式所需的计算量比复化梯形公式少，这也说明了复化化SimpsonSimpson公式的精度较高，实际计算时多采用复化公式的精度较高，实际计算时多采用复化SimpsonSimpson公公式。式。复化求积方法又称为复化求积方法又称为定步长定步长方法，要应用复化求积公式，方法，要应用复化求积公式，必须根据预先给定的精度估计出合适的步长或必须根据预先给定的精度估计出合适的步长或n n，进而确定对进而确定对积分区间的等分数，如同例积分区间的等分数，如同例2 2一样。然而当被积函数稍复杂一样。然而当被积函数稍复杂一些，要由误差估计式给出合适的步长，就要估计被积函一些，要由误差估计式给出合适的步长，就要估计被积函数导数的上界值，而这一点是相当困难的。数导数的上界值，而这一点是相当困难的。若若一一个个积积分分公公式式的的误误差差满满足足 且且C C 0 0，则则称该公式是称该公式是 p p 阶收敛阶收敛的。的。你现在浏览的是第十五页，共15页
