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离散数学第五章现在学习的是第1页，共72页代数系统代数系统第五章第五章代代 数数 结结 构构1代数系统的引入代数系统的引入2运算及其性质运算及其性质3半群半群4群与子群群与子群5阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群7*陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理8同态与同构同态与同构9环与域环与域现在学习的是第2页，共72页1代数系统的引入举例：举例：在一个集合上的运算：在一个集合上的运算：将实数集合将实数集合 R 上的每一数上的每一数 a 0 映射成它的倒映射成它的倒数数1/a，就可以将该映射称为在集合，就可以将该映射称为在集合R 上的一元运上的一元运算；算；在集合在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法和乘上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法，都是在集合法，都是在集合R上的二元运算。上的二元运算。对于集合对于集合R上的任意三个数的运算，就是集合上的任意三个数的运算，就是集合R上的三元运算。上的三元运算。现在学习的是第3页，共72页1 代数系统的引入定义定义:设设Z是一个集合是一个集合,f是一个函数是一个函数,f：ZnZ,则称则称f为为Z中的中的n元运算元运算,整数整数n称为运算的阶（元称为运算的阶（元,次）。次）。若若n=1,则称则称f：ZZ为一元运算；为一元运算；若若n=2,则则f：Z2Z为二元运算。为二元运算。本章主要讨论一元运算和二元运算。本章主要讨论一元运算和二元运算。例：（例：（1）在整数）在整数I和实数和实数R中中,+,-,均为二元运算均为二元运算,而对而对而言就而言就不是二元运算不是二元运算;（2）在集合）在集合Z的幂集的幂集(z)中中,均为二元运算均为二元运算,而而“”是一元运算；是一元运算；现在学习的是第4页，共72页定义定义:一个非空集合一个非空集合S S连同若干个定义在该集合上的连同若干个定义在该集合上的运算运算f f1 1,f,f2 2,.,f,.,fk k所组成的系统就称为一个代数系统，所组成的系统就称为一个代数系统，记作记作S,f。一个代数系统需要满足以下条件：一个代数系统需要满足以下条件：有一个非空集合有一个非空集合S；有一些建立在集合有一些建立在集合S上的运算；上的运算；1代数系统的引入现在学习的是第5页，共72页定义定义:设设*是集合是集合S上的二元运算上的二元运算,对任一对任一x,y S有有x yS则则称称 运算在运算在S上是封闭的。上是封闭的。在在f f：Z Z2 2Z Z二元运算的定义中二元运算的定义中,本身要求满足运算是封闭的。本身要求满足运算是封闭的。例：（例：（1 1）在集合在集合A=1，2，3，4，5，1/2，1/3，1/4，1/5，做任，做任意元素的倒数运算；可以看作是：将集合意元素的倒数运算；可以看作是：将集合A上的每一数上的每一数a映射映射成他的倒数成他的倒数1/a；（2 2）在前例中）在前例中,R,I,R,I集合中集合中+,-,+,-,运算；运算；(z)(z)的元素中的元素中,运算等均为封闭的。运算等均为封闭的。(3)在正整偶数的集合在正整偶数的集合E E中中,对对,+,+运算是封闭的运算是封闭的,在正整奇数在正整奇数的集合中的集合中,对对运算是封闭的运算是封闭的,而对而对+运算不是封闭的。运算不是封闭的。2运算及其性质现在学习的是第6页，共72页在整数集合在整数集合 I 上定义上定义 如下：如下：其中的其中的+，分别表示数的加法和乘法。分别表示数的加法和乘法。那么那么 是一个从是一个从 I2 到到 I 的函数，的函数，在集合在集合 I 上是封闭的，（上是封闭的，（I，）就是一个代数系就是一个代数系统。统。2运算及其性质现在学习的是第7页，共72页 不不封封闭闭的的例例子子：一一架架自自动动售售货货机机，能能接接受受五五角角硬硬币币和和一一元元硬硬币币，而而所所对对应应的的商商品品是是桔桔子子水水、可可乐乐和和冰冰淇淇凌凌。当当投投入入上上述述硬硬币币的的任任何两枚时，自动售货机将按照表中供应相应的产品：何两枚时，自动售货机将按照表中供应相应的产品：表表格格左左上上角角的的记记号号 *可可以以理理解解为为一一个个二二元元运运算算的的运运算算符符。这这个个例例子子中中的的二二元元运运算算 *不不是是集集合合 五五角角硬硬币币 ，一一元元硬硬币币 上的封闭运算。上的封闭运算。*五角硬币 一元硬币五角硬币桔子水可口可乐一元硬币可口可乐冰淇凌现在学习的是第8页，共72页2运算及其性质定义定义:设设*是集合是集合S S上的二元运算上的二元运算,对任一对任一x,yx,y S S有有x x y=y y=y x,x,则称则称 运算在运算在S S上是可交换上是可交换的（或者说的（或者说 在在S S上满足交换律）。上满足交换律）。例：例：在整合集合在整合集合 I 上定义运算上定义运算 ：对任何对任何其中的其中的+，分别表示数的加法和乘法。分别表示数的加法和乘法。那么那么 可以满足交换律？可以满足交换律？现在学习的是第9页，共72页2运算及其性质定义定义:设设*是集合是集合S上的二元运算上的二元运算,对任一对任一x,y,z S都有都有（x y）z=x （y z）,则称则称 运算在运算在S上是可结合的上是可结合的（或者说（或者说*在在S上满足结合律）。上满足结合律）。EX：设设A是一个非空集合，是一个非空集合，是是A上的二元运算，对于任意上的二元运算，对于任意a，b A，有，有ab=b，证明：，证明：是满足结合律的。是满足结合律的。证：证：对于任意的对于任意的a，b，c A，（a b）c=b c=c而而a（bc）=a c=c，（ab）c=a（bc）是满足结合律的是满足结合律的现在学习的是第10页，共72页例：例：代数系统（代数系统（N，+，）。其中）。其中+，分别代表数的加法分别代表数的加法和乘法。和乘法。对对+是满足分配律的是满足分配律的.定义定义:设设 和和 是集合是集合S上的二个二元运算上的二个二元运算,对任一对任一x,y,z S有有 x （y z）=（x y）（x z）；）；（y z）x=（y x）（z x）,则称运算则称运算 对对 是可分是可分配的（或称配的（或称 对对 满足分配律）。满足分配律）。2运算及其性质现在学习的是第11页，共72页2运算及其性质定义定义:设设*是是S上的二元运算上的二元运算,若对任一若对任一x S有有x x=x,则称则称 满足等幂满足等幂律。律。讨论定义：讨论定义：1)S上每一个元素均满足上每一个元素均满足x x=x,才称才称 在在S上满足幂等律；上满足幂等律；2)若在若在S上存在元素某一元素上存在元素某一元素x S有有x x=x,则称则称x为为S上的幂等元素；上的幂等元素；3)由此定义由此定义,若若x是幂等元素是幂等元素,则有则有x x=x和和xn=x成立。成立。定义定义:设设，是定义在集合是定义在集合S上的两个可交换二元运算，上的两个可交换二元运算，如果对于任意的如果对于任意的x,y S，都有：，都有：x (x y)=x；x (x y)=x则称运算则称运算 和运算和运算 满足吸收律。满足吸收律。现在学习的是第12页，共72页2运算及其性质例：（例：（1）在实数集合）在实数集合R中中,+,是可交换是可交换,可结合的可结合的,对对+是满足分配是满足分配律的律的,“0”对对+是等幂元素是等幂元素,而其它不为等幂元素而其它不为等幂元素,在实数集合在实数集合R中中,“-”法是不可交换法是不可交换,不可结合的；不可结合的；（2）在）在(z)中中,均是可交换均是可交换,可结合的可结合的,对对,对对 均是可分均是可分配的；配的；(z)中任一元素中任一元素,对对,均是等幂元素。均是等幂元素。满足等幂律；满足等幂律；而而(z)中中,对称差对称差 是可交换是可交换,可结合的。除可结合的。除(s)=以外不满足等幂以外不满足等幂律。律。=,而除而除 以外的以外的A (z)有有A AA。现在学习的是第13页，共72页2运算及其性质下面定义特殊元素：幺元下面定义特殊元素：幺元,零元和逆元。零元和逆元。定义定义：设：设*是集合是集合Z中的二元运算中的二元运算,(1)若有一元素若有一元素el Z,对任一对任一x Z有有el*x=x；则称；则称el为为Z中对于中对于*的左的左幺元；幺元；(2)若有一元素若有一元素er Z,对任一对任一x Z有有x*er=x；则称则称er为为Z中对于中对于*的右的右幺元。幺元。(3)如果如果Z中的一个元素中的一个元素 e,它既是左幺元它既是左幺元,又是右幺元又是右幺元,则称则称e为为Z中中关于运算关于运算*的幺元的幺元.即对于任意即对于任意x Z,有有e*x=x*e.定理定理：若：若el和和er分别是分别是Z中对于中对于*的左幺元和右幺元的左幺元和右幺元,则则el=er=e，且且e Z是唯一的。是唯一的。现在学习的是第14页，共72页2运算及其性质 el和和er分别是对分别是对*的左的左,右左元，右左元，则有则有el*er=er=el 有有el=er=e成立。成立。再证明幺元再证明幺元e是唯一的。用反证法：假设有二个不同的幺元是唯一的。用反证法：假设有二个不同的幺元e1和和e2,则有则有e1*e2=e2=e1,这和假设相矛盾。这和假设相矛盾。若存在幺元的话一定是唯一的。若存在幺元的话一定是唯一的。例：例：（1）在实数集合）在实数集合R中中,对对+而言而言,e+=0；对；对而言而言,e*=1；（2）在）在(E)中中,对对 而言而言,e =E（全集合）；对（全集合）；对 而言而言,e =（空集）；（空集）；（3）命题逻辑命题逻辑中，对中，对而言，而言，e =F（永假式）；（永假式）；对对而言，而言，e =T（永真式）。（永真式）。现在学习的是第15页，共72页例：例：设代数系统（设代数系统（N，*），），*的定义为：的定义为：对对那么，（那么，（N，*）有没有幺元？左幺元？右幺元？）有没有幺元？左幺元？右幺元？2运算及其性质解：解：对任何对任何 ，因此，因此 1 是是右幺元。右幺元。但但 1 不是左幺元，因为不是左幺元，因为所以（所以（N，*）没有左幺元，）没有左幺元，当然也就没有幺元。当然也就没有幺元。现在学习的是第16页，共72页定义：设定义：设*是对集合是对集合Z中的二元运算，中的二元运算，（1）若有一元素）若有一元素l Z，且对每一个且对每一个x Z有有 l*x=l，则称，则称l 为为Z中对于中对于*的左零元；的左零元；（2）若有一元素）若有一元素r Z，且对每一个且对每一个x Z有有 x*r=r，则称则称r为为Z中对于中对于*的右零元。的右零元。(3)如果如果Z中的一个元素中的一个元素,它既是左零元它既是左零元,又是右零元又是右零元,则称则称为为Z中关于运算中关于运算*的零元的零元.对于任意对于任意xZ,有有*x=x*=2运算及其性质下面介绍左零元，右零元，零元下面介绍左零元，右零元，零元现在学习的是第17页，共72页2运算及其性质定理定理：若若l和和r分别是分别是Z中对于中对于*的左零元和右的左零元和右零元，则零元，则l=r=，且，且 Z是唯一的是唯一的.证明：方法同幺元。证明：方法同幺元。例：例：（1）在实数集合）在实数集合R中，对中，对而言而言,，L=r=0（2）在）在(E)中，对中，对 而言，而言，=；对对 而言，而言，=E；（3）命题逻辑命题逻辑中，对中，对而言，而言，=T；对对而言，而言，=F。现在学习的是第18页，共72页2运算及其性质定义定义：设：设*是是Z中的二元运算，且中的二元运算，且Z中含幺元中含幺元e，令令x Z，（1）若存在一）若存在一xl Z，能使，能使xl*x=e，则称，则称xL是是x的左逆元的左逆元,并且称并且称x是左可逆的；是左可逆的；（3）若元素）若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，则称既是左可逆的，又是右可逆的，则称x是可是可逆的，且逆的，且x的逆元用的逆元用x-1表示。表示。（2）若存在一）若存在一xr Z，能使，能使x*xr=e，则称，则称xr是是x的的右逆元，并且称右逆元，并且称x是右可逆的；是右可逆的；下面介绍左逆元，右逆元，逆元下面介绍左逆元，右逆元，逆元现在学习的是第19页，共72页因此，关于逆元，下述结论是正确的：因此，关于逆元，下述结论是正确的：(1)只有当幺元存在时，才考虑逆元。只有当幺元存在时，才考虑逆元。(2)逆元是逆元是“局部局部”的，也就是说，逆元是针对具体元的，也就是说，逆元是针对具体元素而定的，有些元素可能有逆元，有些元素则可能素而定的，有些元素可能有逆元，有些元素则可能没有逆元。如果没有逆元。如果 a 和和 b 都有逆元且都有逆元且 a b，则，则 a-1 和和 b-1 也不相同。也不相同。(3)设设 e 为幺元，只有当为幺元，只有当 a b=e 和和 b a=e 同同时成立成立时，b才能是才能是 a 的逆元，如果只有一个成立，的逆元，如果只有一个成立，b 也不是也不是 a 的逆元。的逆元。2运算及其性质现在学习的是第20页，共72页2运算及其性质证明：证明：（1）先证左逆元）先证左逆元=右逆元：右逆元：设设xL和和xr分别是分别是x Z的左逆元和右逆元，的左逆元和右逆元，x是可逆的和是可逆的和*是可结合的（条件给出）是可结合的（条件给出）xl*x=x*xr=e xl*x*xr=（xl*x）*xr=e*xr=xr；xl*x*xr=xl*(x*xr)=xl*e=xl xr=xl定理定理：设：设Z是集合，并含有幺元是集合，并含有幺元e。*是定义在是定义在Z上的上的一个二元运算，并且是可结合的。若一个二元运算，并且是可结合的。若x Z是可逆的，则是可逆的，则它的左逆元等于右逆元，且逆元是唯一的。它的左逆元等于右逆元，且逆元是唯一的。现在学习的是第21页，共72页2运算及其性质（2 2）证明逆元是唯一的（若有的话）：）证明逆元是唯一的（若有的话）：假设假设x1-1和和x2-1均是均是x的二个不同的逆元，则的二个不同的逆元，则x1-1=x1-1*e=x1-1*（x*x2-1）=（x1-1*x）*x2-1=e*x2-1=x2-1，这和假设相矛盾。这和假设相矛盾。x若存在逆元的话一定是唯一的。若存在逆元的话一定是唯一的。推论推论(x-1)-1=x,e-1=e例：（例：（1）在实数集合）在实数集合R中，对中，对“+”运算，对任一运算，对任一x R有有 x-1=-x，x+（-x）=0，因为加法幺元为，因为加法幺元为0.现在学习的是第22页，共72页2运算及其性质 对对“”运算，乘法幺元为运算，乘法幺元为1，则对任一，则对任一x R有有x-1=1 x（x 0）x 1 x=1定理：设定理：设是一个代数系统是一个代数系统,且集合且集合A中的元素个数大中的元素个数大于于1,如果该代数系统中存在幺元如果该代数系统中存在幺元e和零元和零元，则，则 e。所以若所以若是一个代数系统是一个代数系统,且且|A|1,如果该代数系统有如果该代数系统有零元，则零元一定不存在逆元。零元，则零元一定不存在逆元。*x=x*=。现在学习的是第23页，共72页EX：设集合设集合S=，定义在，定义在S上的一个二元运算如下上的一个二元运算如下表所示，试指出代数系统（表所示，试指出代数系统（S，）中各个元素的左、右逆）中各个元素的左、右逆元情况。元情况。解：解：是幺元，是幺元，是是 的左逆元的左逆元，是是 的右逆元的右逆元；是是 、的左逆元，的左逆元，、是是 右逆元右逆元；是是 的左逆元的左逆元，是是 的右逆元；的右逆元；是是 的左逆元，的左逆元，是是 的右逆元。的右逆元。现在学习的是第24页，共72页3 半群半群定义定义：一个代数系统：一个代数系统，S为非空集合，为非空集合，是是S上的上的二元运算，如果运算二元运算，如果运算 是封闭的，则称代数系统是封闭的，则称代数系统为为广群。广群。定义定义：设：设是一代数系统，是一代数系统，S为非空集合，为非空集合，是是S上的二元运算，若上的二元运算，若(1)运算是封闭的。运算是封闭的。(2)运算满足结合律，则称运算满足结合律，则称为半群。为半群。例：例：,均为半群均为半群定义定义：对于：对于*运算，拥有幺元的半群运算，拥有幺元的半群称为独异点称为独异点.例：例：,均为独异点均为独异点 而而就不为独异点。就不为独异点。现在学习的是第25页，共72页3 半群半群例：设例：设S S为非空集合，为非空集合，(S)(S)是是S S的幂集，的幂集，则则 ,S均为均为独异点独异点。而。而I,max，其中，其中max(xmax(x1 1,x,x2 2)取二者之大值；取二者之大值；，其中，其中minmin(x(x1 1,x,x2 2)取二者之小值，均不为取二者之小值，均不为独异点独异点（不存在幺元）。（不存在幺元）。N,max则为则为独异点独异点，其中，其中 e=0e=0定义定义：设：设是一半群，是一半群，T S，且，且*在在T上是封闭上是封闭的，那么的，那么也是半群，称也是半群，称是是 的子半群。的子半群。现在学习的是第26页，共72页3 半群半群讨论定义：讨论定义：（1）因为）因为*在在S上是可结合的，而上是可结合的，而T S且且*在在T上是封闭的，所以上是封闭的，所以*在在T上也是可结合的。上也是可结合的。（2）由定义可知，）由定义可知，S S，也是也是的子半群的子半群,为了和其它子半群相互区别，为了和其它子半群相互区别，称称是是S的的“平凡子半群平凡子半群”;现在学习的是第27页，共72页定义定义：设：设*是是S上的二元运算上的二元运算,对任一对任一x S,则：则：x1=x,x2=x*x,xn=xn-1*x定理定理：设：设*是是S上的二元运算上的二元运算,且且x S,对任一对任一m,n I+有有 （1）xm xn=xm+n （2）(xm)n=xm n3 半群半群 定理定理：设：设 是独异点，则在关于运算是独异点，则在关于运算*的的运算表中一定没有相同的行和列。运算表中一定没有相同的行和列。现在学习的是第28页，共72页证明：（1）xmxn=(xm x)x x=(xm+1 x)x x n n-1 =.=xm+n（2）(xm)n=xm xm=xm+m xm xm=xmn n n-13 半群半群现在学习的是第29页，共72页3 半群半群证明：因证明：因是半群，对任意的是半群，对任意的b S，由由*的封闭性，的封闭性，b*b S，b3 S，b4 S，由于由于S是有限集，必有是有限集，必有ij，使，使bi=bj设：设：p=j i，则，则bj=bp*bi，即：，即：bi=bp*bi当当qi时，bq=bp*bq，又因又因p1，总可以找到可以找到k1，使，使kpi，对S中的中的bkp有有bkp=bp*bkp=bp*(bp*bkp)=b2p*bkp =b2p*(bp*bkp)=b3p*bkp=.=bkp*bkp令令a=bkp，则a*a=a。定理定理：如果半群：如果半群的集合的集合S为有限集，为有限集，则必有则必有a S，使，使a*a=a。现在学习的是第30页，共72页3 半群半群定理定理：设：设是独异点，对于任意是独异点，对于任意a，b S，且，且a，b均有逆元，则均有逆元，则a)(a-1)-1=ab)a*b有逆元，且有逆元，且(a*b)-1=b-1*a-1证明：证明：a)因为因为a-1是是a的逆元，即的逆元，即a*a-1=a-1*a=e 所以所以 (a-1)-1=a b)因为因为(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e 同理可证：同理可证：(b-1*a-1)*(a*b)=e 所以所以 (a*b)-1=b-1*a-1现在学习的是第31页，共72页4 群与子群群与子群1.群的定义群的定义定义定义设设是一代数系统，是一代数系统，S是非空集合，是非空集合，*为为S上的二元运算，上的二元运算，它满足以下四个条件时，则称它满足以下四个条件时，则称为群为群（1）*运算是封闭的；运算是封闭的；（2）*运算是可结合的；运算是可结合的；（3）存在幺元）存在幺元e；（4）S中每一个元素均有逆元。中每一个元素均有逆元。例：例：,等均为群等均为群（其中（其中Z2 =0,1,Z3=0,1,2），而），而,只是含幺半群只是含幺半群(独异点独异点)而不是群。而不是群。现在学习的是第32页，共72页4 群与子群群与子群例：设例：设M=0,60,120,240,300,180表示平面上几何图形顺时表示平面上几何图形顺时针旋转的六种位置，定义一个二元运算针旋转的六种位置，定义一个二元运算*，对，对M中任一元素中任一元素a,b有有a*b=图形旋转图形旋转(a+b)的角度，并规定当旋转到的角度，并规定当旋转到360时即为时即为0，试验证试验证是一个群。是一个群。*060120180240300006012018024030060601201802403000120120180240300060180180240300060120240240300060120180300300060120180240现在学习的是第33页，共72页4 群与子群群与子群（1）运算是封闭的）运算是封闭的（2）*是可结合的是可结合的（3）幺元为）幺元为0；（4）每一个元素均有逆元：）每一个元素均有逆元：(0)-1=0,(60)-1=300,(120)-1=240 ,(180)-1=180 ,(240)-1=12 0 ,(300)-1=60 是一个群。是一个群。现在学习的是第34页，共72页4 群与子群群与子群定义定义设设是一个群，如果是一个群，如果G是有限集合，则称是有限集合，则称为有限群，并把为有限群，并把|G|称为群的阶数，如果称为群的阶数，如果G为无限集为无限集合，则称合，则称为无限群。为无限群。例：例：为无限群，上例中为无限群，上例中为有限群，群的阶为有限群，群的阶为为|M|=6。可以概括可以概括：广群仅仅是具有一个封闭的二元运算的非空集：广群仅仅是具有一个封闭的二元运算的非空集合；半群是一个具有结合运算的广群；独异点是具有幺元合；半群是一个具有结合运算的广群；独异点是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。现在学习的是第35页，共72页4 群与子群群与子群2.群的性质群的性质由群的定义可知由群的定义可知:（1）群具有半群和独异点所具有的所有性质；）群具有半群和独异点所具有的所有性质；（2）由于群中存在幺元，所以在群的运算表中一定）由于群中存在幺元，所以在群的运算表中一定没有相同的行（和列）没有相同的行（和列）.下面以定理形式介绍群的性质下面以定理形式介绍群的性质 现在学习的是第36页，共72页4 群与子群群与子群定理定理1 若若是一个群，则对任一是一个群，则对任一a,b G有：有：存在唯一的元素存在唯一的元素x G，使，使a*x=b；证明：证明：（a）在）在G中存在中存在x，使，使a*x=b成立。成立。a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b，至少有一至少有一x=(a-1*b)满足满足a*x=b成立。成立。（b）下面证明这样的）下面证明这样的x是唯一的。是唯一的。若另有一解若另有一解x1能使能使a*x1=b成立，成立，则有则有x1=e*x1=(a-1*a)*x1=a-1*(a*x1)=a-1*b，x=(a-1*b)是满足是满足a*x=b的唯一元素，即的唯一元素，即x是唯一的。是唯一的。现在学习的是第37页，共72页4 群与子群群与子群定理定理2 2若若是一个群，则对任一是一个群，则对任一a,b,ca,b,c G G有：有：（1 1）a*b=a*ca*b=a*c b=c b=c（a a是左可消去的）（是左可消去的）（2 2）b b*a=c*a*a=c*a b=c b=c（a a是右可消去的）。是右可消去的）。此定理说明群满足消去律。此定理说明群满足消去律。定理定理3 3一个群一个群中一定不存在零元。中一定不存在零元。现在学习的是第38页，共72页4 群与子群群与子群证：假设证：假设a是群（是群（U，）的等幂元素，（）的等幂元素，（e是幺元），是幺元），且且ae，则，则a=a a，而而e=a-1 a=a-1 (a a)=(a-1 a)a=e a=a 与与ae矛盾矛盾。定义定义：设：设S是一个非空集合，从集合是一个非空集合，从集合S到到S的一个双射称为的一个双射称为S的的一个置换。一个置换。定理定理4一个群中，除了幺元一个群中，除了幺元e之外，不存在其它等幂元素。之外，不存在其它等幂元素。现在学习的是第39页，共72页4 群与子群群与子群定理定理5：群：群的运算表中的每一行或每的运算表中的每一行或每一列都是一列都是G的元素的一个置换。的元素的一个置换。证明：首先，证明运算表中的任一行或任一列所证明：首先，证明运算表中的任一行或任一列所含含G中的一个元素不可能多于一次。中的一个元素不可能多于一次。（反证法）如果对应于元素（反证法）如果对应于元素a G的那一行中有的那一行中有两个元素都是两个元素都是c，即有，即有a*b1=a*b2=c，且，且b1 b2 由可约性，得：由可约性，得：b1b2，这与，这与b1 b2矛盾。矛盾。现在学习的是第40页，共72页4 群与子群群与子群 其次，证明其次，证明G中的每一个元素都在运算表的每一行和每一中的每一个元素都在运算表的每一行和每一列中出现。列中出现。考察对应于元素考察对应于元素a G的那一行，设的那一行，设b是是G中的任一元素中的任一元素,由于由于b=a*(a-1*b)，所以，所以b必定出现在对应于必定出现在对应于a的那一行。的那一行。再由运算表中没有两行（或两列）是相同的，再由运算表中没有两行（或两列）是相同的，所以，所以，的运算表中的每一行都是的运算表中的每一行都是G的元素的一个置换，且每的元素的一个置换，且每一行都是不相同的。一行都是不相同的。同样，对于每一列结论同样成立。同样，对于每一列结论同样成立。现在学习的是第41页，共72页4 群与子群群与子群3.子群子群定义定义设设是一个群，且是一个群，且S G是一个非空集合。若是一个非空集合。若满足下列三个条件，则称满足下列三个条件，则称是是的子群：的子群：（1）e是是的幺元，且的幺元，且e S；（保持幺元）（保持幺元）（2）对任一）对任一 a S一定有一定有a-1 S；（保持逆元）（保持逆元）（3）对任一）对任一a,b S一定有一定有a*b S。（运算的封闭性）（运算的封闭性）讨论定义：讨论定义：（1）任一群）任一群至少可找到二个子群，即至少可找到二个子群，即和和，为了以示区别称此二子群为平凡子群；，为了以示区别称此二子群为平凡子群；（2）除了平凡子群以外的子群称为的真子群。）除了平凡子群以外的子群称为的真子群。现在学习的是第42页，共72页定理定理设设是一个群，是一个群，B是是G的非空子集，如果的非空子集，如果B是一个有限集，那么，只要运算是一个有限集，那么，只要运算*在在B上是封闭的，则上是封闭的，则必定是必定是的子群。的子群。4 群与子群群与子群现在学习的是第43页，共72页4 群与子群群与子群证明：设证明：设b B，已知，已知*在在B上封闭，则上封闭，则b*b B，即，即b2 B，b2*b B，即：即：b3 B，于是于是b，b2，b3均在均在B中。中。由于由于B是有限集，是有限集，必存在正整数必存在正整数i和和j，ij,使得：使得：bi=bj即：即：bi=bi*bj-i由此可说明由此可说明bj-i是是中的幺元，且这个幺元也中的幺元，且这个幺元也 在子集在子集B中。中。如果如果j-i1，那么由，那么由bj-i=b*bj-i-1可知可知bj-i-1是是b的逆元，的逆元，且且bj-i-1 B；如果；如果j-i=1，那么由，那么由bi=bi*b可知可知b就是幺元，且以就是幺元，且以自身为逆元。自身为逆元。因此，因此，是是的一个子群。的一个子群。现在学习的是第44页，共72页4 群与子群群与子群例：设例：设G4=p=|pi 0,1，是上的二元是上的二元运算，定义为，对任意运算，定义为，对任意X=，Y=G4，X Y=，其中其中 的运算表如图所示：的运算表如图所示：证明证明,是群是群的子群。的子群。01001110现在学习的是第45页，共72页4 群与子群群与子群定理定理:设设是一个群，是一个群，S是是G的非空子集，如果对于的非空子集，如果对于S中的任意元素中的任意元素a和和b有有a*b-1 S，则，则是是 的子群。的子群。证明：先证，证明：先证，G中的幺元中的幺元e也是也是S中的幺元。中的幺元。任取任取 a S，a*a-1 S，而，而a*a-1e，e e S 再证，每个元素都有逆元。再证，每个元素都有逆元。又又e*a-1 S，即，即a-1 S。最后说明，最后说明，*对对S是封闭的。是封闭的。a,b S，因，因b-1 S，(b-1)-1 S现在学习的是第46页，共72页4 群与子群群与子群a*b=a*(b-1)-1 S，而，而(b-1)-1 b a*b S 是是的子群的子群例：设例：设和和都是群都是群的子群，试证明的子群，试证明也是也是的子群。的子群。现在学习的是第47页，共72页5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群定义定义如果群如果群中运算中运算*是可交换的，是可交换的，则称该群为阿贝尔群（或称为交换群）。则称该群为阿贝尔群（或称为交换群）。例：例：为阿贝尔群。为阿贝尔群。例：离散函数代数系统例：离散函数代数系统是阿贝尔群。是阿贝尔群。Z=1,2,3,4，F=f0 ,f1 ,f2 ,f3 ,f2 =1 2 3 43 4 1 2,f3 =1 2 3 44 1 2 3,f0=1 2 3 41 2 3 41 2 3 42 3 4 1 f =现在学习的是第48页，共72页5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群由运算表可见：由运算表可见：（1）运算是封闭的；）运算是封闭的；（2）“”可结合；可结合；（3）幺元）幺元f0；（4）每一个元素均可逆）每一个元素均可逆;（5）以主对角线为对称。）以主对角线为对称。为阿贝尔群。为阿贝尔群。f0f1 f2 f3f0f0f1 f2 f3f1f1 f2 f3f0f2 f2 f3f0f1f3f3f0f1f2 现在学习的是第49页，共72页5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群定理定理设设是一个群，是一个群，是阿贝尔群的充分必是阿贝尔群的充分必要条件是对任一要条件是对任一a,b G有有:(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。证明：证明：（1）充分性：）充分性：(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)是阿贝是阿贝尔群。尔群。对任一对任一a,b G有有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)成立，成立，*是可结合的，且是可消去的，是可结合的，且是可消去的，a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b 得得a*b=b*a，是阿贝尔群。是阿贝尔群。现在学习的是第50页，共72页5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群（2）必要性：）必要性：是阿贝尔群是阿贝尔群(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。阿贝尔群满足交换律，对任一阿贝尔群满足交换律，对任一a,b G有有a*b=b*a，(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b)。推论推论在阿贝尔群中，对任一在阿贝尔群中，对任一a,b G有有 (a*b)1 =b-1*a-1=a-1*b-1现在学习的是第51页，共72页5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群定义定义设设是一个群，是一个群，I 是整数集合，若存是整数集合，若存在一个元素在一个元素g G，对于，对于G中每一个元素中每一个元素a都能表都能表示成示成gn的形式（的形式（n I），则称），则称是一个循是一个循环群，环群，g称为群称为群的生成元。的生成元。例：例：60就是群就是群的生成元，的生成元，所以该群为循环群。所以该群为循环群。现在学习的是第52页，共72页5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群定理定理每一个循环群必然是阿贝尔群。每一个循环群必然是阿贝尔群。定理定理设设是由元素是由元素g G生成的循环群，若生成的循环群，若 是是n阶的（即阶的（即|G|=n），则），则gn=e，且，且G=g1,g2,gn =e，而且，而且n是能使是能使gn =e的最小正整数。的最小正整数。证明：设证明：设是一循环群，是一循环群，g为生成元，为生成元，对任一对任一p,q G一定存在一定存在 i,j I（整数）使得（整数）使得p=gi,q=gj，则则p*q=gi *gj=gi+j =gj *gi=q*p。循环群一定是阿贝尔群。循环群一定是阿贝尔群。现在学习的是第53页，共72页5 阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群例：例：为一群为一群,G中元素和中元素和*运算运算见运算表：见运算表：c1=c,c2=b,c3=d,c4=a(幺元幺元);d1=d,d2=b,d3=c,d4=a(幺元幺元);而而a1=a,a2=a,a3=a,a4=a;b1=b,b2=a,b3=b,b4=a,由上可见：生成元由上可见：生成元c,d的阶为的阶为4，等，等于群于群的阶，即的阶，即|G|的基数。的基数。*abcdaabcdbbadcccdbaddcab现在学习的是第54页，共72页6 拉格朗日定理拉格朗日定理LagrangeLagrange定理定理:对群对群G G的任何子群的任何子群H,|H|H,|H|整除整除|G|.|G|.推论推论:(1):(1)任一元任一元a a G G生成的循环子群的阶生成的循环子群的阶(即即a a的阶的阶)是群的阶的因数是群的阶的因数;(2)(2)一个素数阶的群必为循环群，并且除一个素数阶的群必为循环群，并且除e e外外,每个元都是其生成元每个元都是其生成元(因素数只有两个因数因素数只有两个因数:1:1和自和自身身););(3)(3)素数阶的群只有平凡子群素数阶的群只有平凡子群:e:e和它自身和它自身.现在学习的是第55页，共72页1、定义：、定义：对两个同类型代数系统对两个同类型代数系统(U，)，(V，*)，其中，其中 与与*都是二元运算。如果存在双射都是二元运算。如果存在双射f：UV，使得对，使得对 x1，x2 U，都有，都有 f（x1 x2）=f（x1）*f（x2），就称），就称f是一个从是一个从（U，）到（）到（V，*）的同构映射，或说（）的同构映射，或说（U，）与（）与（V，*）是同构的。）是同构的。记作：（记作：（U，）（V，*）一、同构一、同构同态和同构是讨论二个代数系统之间的关系。同态和同构是讨论二个代数系统之间的关系。8 同构与同态同构与同态 现在学习的是第56页，共72页例：例：设设A=aA=a，b b，c c，dd，在，在 A A 上定义一个二元运算上定义一个二元运算“”，又，又设设B=B=，在，在 A A 上定义一个二元运算上定义一个二元运算“*”*”，如下表：，如下表：证明：（证明：（A，）和（）和（B，*）是同构）是同构证明：证明：考察映射考察映射 f(a)=,f(b)=,f(c)=,f(d)=显然，显然，f 是一个从是一个从A到到B的双射，由表容易验证的双射，由表容易验证 f 是由是由（A，）和（）和（B，*）的同构。）的同构。考察映射考察映射 g，使得，使得 g(a)=,g(b)=,g(c)=,g(d)=，g也是由也是由（A，）和（）和（B，*）的同构。）的同构。注：两个代数系统是同构，他们之间的同构映射可以是不唯一注：两个代数系统是同构，他们之间的同构映射可以是不唯一的。的。abcdaabcdbbaaccbddcdabcd*现在学习的是第57页，共72页解：解：作映射作映射 f：I2I，f(x)=2x，则则 f 是双射。是双射。对任何对任何a，b I，f(a+b)=2(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)因此，因此，V1 和和 V2 同构同构例：例：设代数系统设代数系统V1=（I，+），），V2=（2I，+），其中），其中I是整数集合，是整数集合，+运算是一般的加运算运算是一般的加运算，V1 和和 V2 是否同是否同构？构？8 同构与同态同构与同态 现在学习的是第58页，共72页定理定理2