第04章-随机变量的数字特征优秀PPT.ppt

第04章-随机变量的数字特征现在学习的是第1页，共145页第一节第一节随机变量的数学期望随机变量的数学期望现在学习的是第2页，共145页 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的全部概率的全部概率特征也就知道了特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.现在学习的是第3页，共145页例如：例如：1.评定某工厂生产的一批灯泡的质量，一般是评定某工厂生产的一批灯泡的质量，一般是评定灯泡的寿命，寿命是随机变量，通常只需评定灯泡的寿命，寿命是随机变量，通常只需知这批灯泡的平均寿命以及相对于这个平均寿知这批灯泡的平均寿命以及相对于这个平均寿命的偏离程度就够了。命的偏离程度就够了。2现在学习的是第4页，共145页2.钢厂生产的一批钢锭，它的含碳量和其硬钢厂生产的一批钢锭，它的含碳量和其硬度有密切的关系，因此，除了掌握含碳量和度有密切的关系，因此，除了掌握含碳量和平均硬度，还有必要了解含碳量与硬度之间平均硬度，还有必要了解含碳量与硬度之间的联系，特别希望知道彼此有无线性关系。的联系，特别希望知道彼此有无线性关系。3现在学习的是第5页，共145页由此可见在随机变量的研究中，常由此可见在随机变量的研究中，常常需要去研究某些与随机变量有关的，常需要去研究某些与随机变量有关的，能反映随机变量重要特征的能反映随机变量重要特征的“数数”，我们，我们把这种把这种“数数”称作随机变量的称作随机变量的数字特征数字特征。4现在学习的是第6页，共145页 最常用的数字特征最常用的数字特征数学期望数学期望方差方差协方差及相关系数协方差及相关系数矩矩现在学习的是第7页，共145页4.1 数学期望数学期望一、一维随机变量数学期望的定义一、一维随机变量数学期望的定义数学期望是最基本的数字特征，数学期望是最基本的数字特征，数学期望是能够体现随机变量取值的平均数。数学期望是能够体现随机变量取值的平均数。让我们先看一个简单的例子：让我们先看一个简单的例子：5现在学习的是第8页，共145页例例:在一次测验中，在一次测验中，10名学生有名学生有2人得人得70分，分，5人得人得80分，分，3人得人得90分，那么他们的平均成分，那么他们的平均成绩为绩为81分，具体计算方法为：分，具体计算方法为：换个角度，若将换个角度，若将10个学生中任一个人的测个学生中任一个人的测验成绩看成随机变量验成绩看成随机变量X，则，则X的的概率分布概率分布为为6现在学习的是第9页，共145页 上面平均分算式的右端正好是上面平均分算式的右端正好是X的各的各个可能取值与相应概率乘积之和，所以个可能取值与相应概率乘积之和，所以由由 所确定的数字特征恰所确定的数字特征恰好是随机变量的平均值。好是随机变量的平均值。7现在学习的是第10页，共145页考虑到考虑到X随机变量会有无穷多个可随机变量会有无穷多个可能值能值 ，同时这些，同时这些 可正可负，而可正可负，而平均值应当与求和的次序无关，反映在平均值应当与求和的次序无关，反映在数学上便是要求级数数学上便是要求级数 绝对收敛。绝对收敛。8现在学习的是第11页，共145页定义：设离散型随机变量定义：设离散型随机变量X的分布律为的分布律为若级数若级数 绝对收敛，则称绝对收敛，则称 为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望，简称，简称期望期望或或均值均值，记作记作9现在学习的是第12页，共145页二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数在数轴上取很密的分点轴上取很密的分点x0 x1x2,则则X落在小区间落在小区间xi,xi+1)的概率是的概率是小区间小区间xi,xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为现在学习的是第13页，共145页 由于由于xi与与xi+1很接近很接近,所以区间所以区间xi,xi+1)中的值可以中的值可以用用xi来近似代替来近似代替.这正是这正是的渐近和式的渐近和式.近似近似,因此因此X与以概率与以概率取值取值xi的离散型的离散型r.v 该离散型该离散型r.v 的数学期的数学期望望是是小区间小区间xi,xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为现在学习的是第14页，共145页定义：设连续型随机变量定义：设连续型随机变量X的概率密度的概率密度为为 f(x),若积分若积分 绝对收敛，则绝对收敛，则称积分称积分 的值为随机变量的值为随机变量X的数学期望。的数学期望。记为记为 E(X)即即 10对于连续情形，以密度函数对于连续情形，以密度函数 f(x)代替代替 并相应地以积分代替求和，于并相应地以积分代替求和，于是我们有如下定义：是我们有如下定义：现在学习的是第15页，共145页(1)X是是随机变量随机变量，而期望，而期望 E(X)是一个是一个实实数数，它由概率分布唯一确定；，它由概率分布唯一确定；(2)E(X)是随机变量是随机变量X所取可能值所取可能值 与其与其选取该可能值的概率选取该可能值的概率 的乘积的总和；因的乘积的总和；因此此 E(X)可以看作是一种可以看作是一种“加权平均值加权平均值”(3)要求级数要求级数 绝对收敛，保证了绝对收敛，保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变；级数的和不随级数各项次序的改变而改变；(4)并非所有随机变量的期望都存在。并非所有随机变量的期望都存在。11注：注：现在学习的是第16页，共145页例例1 0 1 20.10.2 0.7 0 1 20.60.3 0.1解：解：现在学习的是第22页，共145页例例2（泊松分布的期望）（泊松分布的期望）现在学习的是第23页，共145页到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望.例例3 按规定按规定,某车站每天某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者且两者到站的时间相互独立。其规律为：到站的时间相互独立。其规律为：现在学习的是第24页，共145页 X 10 30 50 70 90 现在学习的是第25页，共145页例例5（均匀分布的期望）（均匀分布的期望）现在学习的是第30页，共145页例例6（指数分布的数学期望）（指数分布的数学期望）例例7（正态分布的数学期望）（正态分布的数学期望）现在学习的是第31页，共145页例例8:由由5个相互独立工作的电子装置，它个相互独立工作的电子装置，它们的寿命们的寿命 服从同一指服从同一指数分布，其概率密度为数分布，其概率密度为 1)若将若将5个装置串联成整机，求整机寿命个装置串联成整机，求整机寿命N的数学期望；的数学期望；21现在学习的是第32页，共145页2)若将若将5个装置并联成整机，求整机寿命个装置并联成整机，求整机寿命M的数学期望；的数学期望；解：解：的分布函数为的分布函数为 1)由前面知由前面知 的分布函数的分布函数为：为：22现在学习的是第33页，共145页 N的概率密度为：的概率密度为：23现在学习的是第34页，共145页2)24现在学习的是第35页，共145页并联的平均寿命是串联的并联的平均寿命是串联的11.4倍倍25现在学习的是第36页，共145页例例 设随机变量设随机变量X服从服从Cauchy分布，其概率密度为分布，其概率密度为求证：求证：E(X)不存在不存在.解：因为解：因为现在学习的是第37页，共145页(1)当当X为离散型时为离散型时,它的分布律为它的分布律为P(X=xk)=pk;(2)当当X为连续型时为连续型时,它的密度函数为它的密度函数为f(x).若若定理定理 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g(X)(g是连续函数是连续函数)二、随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望 现在学习的是第40页，共145页 该公式的重要性在于该公式的重要性在于:当我们求当我们求Eg(X)时时,不必知不必知道道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了.这给求随这给求随机变量函数的期望带来很大方便机变量函数的期望带来很大方便.现在学习的是第41页，共145页例例:设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X-202P0.40.30.3求求解解:根据下面的表格根据下面的表格36现在学习的是第42页，共145页X-202P0.40.30.317517404易得易得 ,的分布律的分布律:P400.30.7P1750.30.737现在学习的是第43页，共145页因而由数学期望的定义得到因而由数学期望的定义得到38现在学习的是第44页，共145页X-202P0.40.30.3也可通过也可通过X的分布律直接求的分布律直接求39现在学习的是第45页，共145页例例例例7 7 现在学习的是第46页，共145页推广到两个或两个以上随机变量的函数：推广到两个或两个以上随机变量的函数：现在学习的是第47页，共145页（1）若）若(X,Y)为二维离散型随机变量，则为二维离散型随机变量，则(2)若若(X,Y)为二维连续型随机变量，则为二维连续型随机变量，则现在学习的是第48页，共145页例例例例8 8 现在学习的是第49页，共145页现在学习的是第50页，共145页 课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习:设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 解解:Y是随机变量是随机变量X的函数的函数,现在学习的是第51页，共145页练习：设随机变量练习：设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为求求：（1）E(X),E(Y);现在学习的是第52页，共145页 三、数学期望的性质三、数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;4.设设X、Y 相互独立相互独立，则，则 E(XY)=E(X)E(Y);2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（诸诸Xi相互独立相互独立时）时）请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立现在学习的是第53页，共145页性质性质3和性质和性质4的证明的证明现在学习的是第54页，共145页现在学习的是第55页，共145页设设XB(n,p),求求E(X).四、数学期望性质的应用四、数学期望性质的应用分析：分析：X表示表示n重重Bernoulli试验中成功的次数试验中成功的次数记记试验试验试验试验i=1,2,n则则现在学习的是第56页，共145页则则现在学习的是第57页，共145页例例9 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅客有旅客有10个车站可以下车个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下设每位旅客在各个车站下车是等可能的车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立并设各旅客是否下车相互独立)现在学习的是第58页，共145页按题意按题意按题意按题意注意这种解题思路：先将注意这种解题思路：先将X分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和,然然后利用后利用随随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和的和来求数学期望来求数学期望.现在学习的是第59页，共145页练练习习：把把数数字字1,2,n任任意意地地排排成成一一列列，如如果果数数字字k恰恰好好出出现现在在第第k个个位位置置上上，则则称称为为一一个个巧巧合合，求求巧巧合合个个数的数学期望数的数学期望.由于由于 E(Xk)=P(Xk=1)解解:设巧合个数为设巧合个数为X，引入引入 k=1,2,n则则故故现在学习的是第60页，共145页例例11 设一电路中电流设一电路中电流I(A)与电阻与电阻R(W)是两个相互独立的是两个相互独立的随机变量随机变量,其概率密度为其概率密度为试求电压试求电压V=IR的均值的均值.解：解：现在学习的是第61页，共145页教材P102，例4.10现在学习的是第62页，共145页第二节第二节随机变量的方差随机变量的方差现在学习的是第63页，共145页 上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.现在学习的是第64页，共145页 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器，现用甲、乙两台仪器各测量各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：用坐标上的点表示如图：哪台仪器好一些呢？哪台仪器好一些呢？甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的均测量结果的均值都是值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 乙仪器测量结果乙仪器测量结果现在学习的是第65页，共145页又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮发炮弹，其落点距目标的位置如图：弹，其落点距目标的位置如图：哪门炮射击效果好一些呢哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心中心中心现在学习的是第66页，共145页 由此可见由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的要的.那么那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢用怎样的量去度量这个偏离程度呢?这个数字特征就是我们这一讲要介绍的这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差方差能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.容易看到容易看到来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.但由于上式带有绝对值但由于上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量现在学习的是第67页，共145页一、方差的定义一、方差的定义 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)2存在存在,称称E(X-E(X)2为为 X 的方差的方差.记为记为D(X)，即，即D(X)=EX-E(X)2现在学习的是第68页，共145页若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差D(X)较大较大.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度程度.若若X的取值比较集中，则方差的取值比较集中，则方差D(X)较小；较小；因此，因此，D(X)是刻画是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。取值分散程度的一个尺度。现在学习的是第69页，共145页X为离散型，为离散型，分布律分布律PX=xk=pk 由定义知，方差是随机变量由定义知，方差是随机变量 X 的函数的函数 g(X)=X-E(X)2 的的数学期望数学期望.二、方差的计算二、方差的计算X为连续型，为连续型，X概率密度概率密度 f(x)现在学习的是第70页，共145页计算方差的一个简化公式计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开证：证：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质现在学习的是第71页，共145页例例1设随机变量设随机变量X具有具有(0-1)分布，其分布率为分布，其分布率为求求D(X).解解由公式由公式因此因此,0-1分布分布现在学习的是第72页，共145页例例2解解X的分布率为的分布率为上节已算得上节已算得现在学习的是第73页，共145页因此因此,对泊松分布有：对泊松分布有：现在学习的是第74页，共145页例例3解解 因此因此,均匀分布均匀分布现在学习的是第75页，共145页例例4设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为解解由此可知由此可知,指数分布指数分布变量代换变量代换现在学习的是第76页，共145页三、方差的性质三、方差的性质 1.设设C 是常数是常数,则则 D(C)=0;2.若若 C 是常数是常数,则则 D(CX)=C2 D(X);3.设设 X 与与 Y 是两个随机变量，则是两个随机变量，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)4.D(X)=0 PX=C=1,这里这里C=E(X)=D(X)+D(Y)+2E(XY)-E(X)E(Y).D(X+C)=D(X);D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2EX-E(X)Y-E(Y)现在学习的是第77页，共145页性质性质3的的证明：证明：若若 X,Y 相互独立相互独立,由数学期望的性质得由数学期望的性质得 此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况况.现在学习的是第78页，共145页例例5 设设XB(n,p)，求，求E(X)和和D(X).若设若设i=1,2，n 则则 是是n次试验中次试验中“成功成功”的次数的次数下面我们举例说明方差性质的应用下面我们举例说明方差性质的应用.解解XB(n,p),“成功成功”次数次数.则则X表示表示n重努里试验中的重努里试验中的现在学习的是第79页，共145页于是于是i=1,2，n 由于由于X1,X2,Xn 相互相互独立独立=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p),现在学习的是第80页，共145页称称X*为为X的的标准化变量标准化变量.例例6 设随机变量设随机变量X具有数学期望具有数学期望E(X)=m m,方差方差D(X)=s s2 0.求求X*=(X-m m)/s s 的期望和方差的期望和方差.解：解：现在学习的是第81页，共145页例例7解解于是于是分部积分分部积分现在学习的是第82页，共145页由数学期望和方差的性质得由数学期望和方差的性质得现在学习的是第83页，共145页例如例如,考虑考虑Z=2X-3Y?现在学习的是第84页，共145页例例8解解由于由于故有故有现在学习的是第85页，共145页练习练习：已知随机变量：已知随机变量XN(-1,1),YN(3,4),且且X与与Y相互独立，相互独立，求随机变量求随机变量Z=2X-Y+4的概率密度。的概率密度。现在学习的是第86页，共145页四、进阶练习四、进阶练习1、设随机变量设随机变量X服从几何分布，概率分布为服从几何分布，概率分布为PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,其中其中0p0,D(Y)0,称称 在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .现在学习的是第96页，共145页注：注：现在学习的是第97页，共145页相关系数的性质：相关系数的性质：证证:考虑考虑t的函数的函数对任意对任意t,有有现在学习的是第99页，共145页判别式判别式故故而而现在学习的是第100页，共145页存在常数存在常数 a,b(b0），使使 PY=a+b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 线性相关线性相关.现在学习的是第101页，共145页考虑以考虑以X的线性函数的线性函数a+bX来近似表示来近似表示Y，以均方误差以均方误差e=EY-(a+bX)2来衡量以来衡量以 a+b X 近似表示近似表示Y 的好坏程度的好坏程度:e 值越小表示值越小表示 a+b X 与与 Y 的近似程度越好的近似程度越好.用微积分中求极值的方法，求出使用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的达到最小时的 a,b相关系数刻划了相关系数刻划了X和和Y间间“线性相关线性相关”的程度的程度.现在学习的是第102页，共145页=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=EY-(a+bX)2 解得解得现在学习的是第103页，共145页 这样求出的最佳逼近为这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X这一逼近的剩余是这一逼近的剩余是若若 =0，Y 与与 X 无线性关系，即无线性关系，即不相关不相关;Y与与X以概率以概率1存在线性关系存在线性关系;若若若若 0|1,|的值越接近于的值越接近于1,Y与与X的线性相关程度越高的线性相关程度越高;|的值越接近于的值越接近于0,Y与与X的线性相关程度越弱的线性相关程度越弱.E(Y-L(X)2=D(Y)(1-)现在学习的是第104页，共145页3.X和和Y 独立时，独立时，=0.证：由于当证：由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)=0.故故=0但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 独立独立.请看下述反例：请看下述反例：称作X与Y不相关不相关.注：其逆不真注：其逆不真即，独立一定不相关即，独立一定不相关.现在学习的是第105页，共145页例例 设设XN(0,1)，且，且Y=X2，试证明试证明:(1)Y与与X不相关不相关;(2)Y与与X不独立不独立.证明证明：（：（1）故故进而进而现在学习的是第106页，共145页例例 设设XN(0,1)，且，且Y=X2，试证明试证明:(1)Y与与X不相关不相关;(2)Y与与X不独立不独立.证明证明：（：（2）故故X与与Y不独立不独立.结论：独立一定不相关，反之未必成立结论：独立一定不相关，反之未必成立.现在学习的是第107页，共145页对对一般二维随机变量一般二维随机变量(X,Y)：独立独立 不相关不相关。对服从对服从二维正态分布二维正态分布的随机变量的随机变量(X,Y)：书上证明了书上证明了X,Y的相关系数就是的相关系数就是r r。前面证明过：前面证明过：X,Y独立独立 r=r=0 0。故：故：X,Y独立独立 X,Y不相关。不相关。若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关现在学习的是第109页，共145页三、课堂练习三、课堂练习1、2、现在学习的是第110页，共145页1、解、解2、解、解现在学习的是第111页，共145页四、小结四、小结 这一节我们介绍了协方差、相关系数、这一节我们介绍了协方差、相关系数、相关系数是刻划两个变量间相关系数是刻划两个变量间线性相关程度线性相关程度的一个重要的数字的一个重要的数字特征特征.注意独立与不相关并不是等价的注意独立与不相关并不是等价的.当当(X,Y)服从二维正态分布时，有服从二维正态分布时，有X 与与 Y 独立独立X 与与 Y 不相关不相关现在学习的是第112页，共145页第四节第四节矩与协方差矩阵矩与协方差矩阵现在学习的是第113页，共145页一、一、原点矩，中心矩原点矩，中心矩定义定义 设设X和和Y是随机变量，若是随机变量，若 存在，称它为存在，称它为X的的k阶原点矩阶原点矩，简称，简称 k阶矩阶矩 存在，称它为存在，称它为X的的k阶中心矩阶中心矩均值均值 E(X)是是X一阶原点矩一阶原点矩方差方差D(X)是是X的二阶中心矩的二阶中心矩现在学习的是第114页，共145页协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二阶混合中心矩二阶混合中心矩.称它为称它为 X 和和 Y 的的 k+l 阶混合（原点）矩阶混合（原点）矩.若若存在，存在，称它为称它为X 和和 Y 的的 k+l 阶混合中心矩阶混合中心矩.设设 X 和和 Y 是随机变量，若是随机变量，若 k,l=1,2,存在，存在，现在学习的是第115页，共145页二、二、协方差矩阵协方差矩阵将二维随机变量（将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式排成矩阵的形式:称此矩阵为称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵）的协方差矩阵.对称矩阵对称矩阵现在学习的是第116页，共145页例例 设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的协方差矩阵为）的协方差矩阵为求求现在学习的是第117页，共145页 类似定义类似定义n 维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵.为为(X1,X2,Xn)的的协方差矩阵协方差矩阵都存在都存在,(i,j=1,2,n)若若矩阵矩阵称称现在学习的是第118页，共145页n维正态分布维正态分布先回顾二维正态分布：先回顾二维正态分布：二维随机变量二维随机变量(X1,X2)的概率密度为的概率密度为记记X1,X2的协方差矩阵的协方差矩阵现在学习的是第119页，共145页经计算经计算从而二维随机变量从而二维随机变量(X1,X2)的概率密度可写作的概率密度可写作作作n维推广，便可定义维推广，便可定义n维正态分布：维正态分布：为协方差矩阵为协方差矩阵.现在学习的是第120页，共145页定义定义(n维正态分布维正态分布)设设 为为n维随机变量，若其概率密度为维随机变量，若其概率密度为 为为的协方差矩阵，的协方差矩阵，则称则称服从服从n维正态分布，记作维正态分布，记作现在学习的是第121页，共145页n元元正态分布的几条重要性质正态分布的几条重要性质1.X=(X1,X2,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布a1X1+a2 X2+an Xn 均服从正态分布均服从正态分布.对一切不全为对一切不全为0的实数的实数 a1,a2,an，现在学习的是第122页，共145页若若 X=(X1,X2,Xn)服从服从 n 元正态分布元正态分布，Y1,Y2,，Yk是是Xj（j=1,2,n）的线性函数的线性函数，则则(Y1,Y2,，Yk)也服从多元正态分布也服从多元正态分布.2.正态变量的线性变换不变性正态变量的线性变换不变性.3.设设(X1,X2,Xn)服从服从n元正态分布元正态分布，则则“X1,X2,Xn相互独立相互独立”等价于等价于“X1,X2,Xn两两不相关两两不相关”现在学习的是第123页，共145页4.n维正态变量维正态变量(X1,X2,Xn)的每个分量的每个分量Xi(i=1,2,n)都是正态变量；都是正态变量；反之，若反之，若X1,X2,Xn都是正态变量，且都是正态变量，且相互独立相互独立，则，则(X1,X2,Xn)是是n维正态变量维正态变量.现在学习的是第124页，共145页习题习题现在学习的是第125页，共145页一、填空题现在学习的是第126页，共145页一、填空题现在学习的是第127页，共145页一、填空题现在学习的是第128页，共145页现在学习的是第129页，共145页二、选择题解：记X表示掷出一点的次数，则现在学习的是第130页，共145页现在学习的是第131页，共145页二、选择题现在学习的是第132页，共145页三、解答题 X 0 1 2 3现在学习的是第133页，共145页三、解答题现在学习的是第134页，共145页物品的重量是一个随机变量物品的重量是一个随机变量 U,现在学习的是第135页，共145页X123Y1234Z123现在学习的是第136页，共145页三、解答题现在学习的是第137页，共145页现在学习的是第138页，共145页三、解答题A胜胜 4 场场+B胜胜 4 场场 A胜胜 4 场场=A在前在前4场中胜场中胜 3场场,B胜胜1场场第第5 场场A必胜必胜现在学习的是第139页，共145页现在学习的是第140页，共145页三、解答题1 2 3 n 现在学习的是第141页，共145页现在学习的是第142页，共145页四、证明题证证现在学习的是第143页，共145页故故现在学习的是第144页，共145页奇函数奇函数随机变量函数随机变量函数 的数学期望的数学期望现在学习的是第145页，共145页