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第1章 矢量分析1现在学习的是第1页，共61页第0章 绪论2现在学习的是第2页，共61页一、电磁理论的发展简介一、电磁理论的发展简介1电磁场理论的早期研究电磁场理论的早期研究 19世世纪纪以以前前，电电、磁磁现现象象作作为为两两个个独独立立的的物物理理现现象象，没没有有发发现现电电与与磁磁的的联联系系。但但是是由由于于这这些些研研究究（特特别别是是伏伏打打1799年年发发明了电池），为电磁学理论的建立奠定了基础。明了电池），为电磁学理论的建立奠定了基础。2 电磁场理论的建立电磁场理论的建立 麦麦克克斯斯韦韦深深入入研研究究并并探探讨讨了了电电与与磁磁之之间间发发生生作作用用的的问问题题，发发展展了了场场的的概概念念。在在法法拉拉第第实实验验的的基基础础上上，总总结结了了宏宏观观电电磁磁现现象象的的规规律律，引引进进位位移移电电流流的的概概念念。这这个个概概念念的的核核心心思思想想是是：变变化化着着的的电电场场能能产产生生磁磁场场；与与变变化化着着的的磁磁场场产产生生电电场场相相对对应应。在在此此基基础础上上提提出出了了一一套套偏偏微微分分方方程程来来表表达达电电磁磁现现象象的的基基本本规规律，称为麦克斯韦方程组，是经典电磁学的基本方程。律，称为麦克斯韦方程组，是经典电磁学的基本方程。3现在学习的是第3页，共61页一、电磁理论的发展简介一、电磁理论的发展简介3电磁场理论的应用和发展电磁场理论的应用和发展v1887年年，德德国国科科学学家家赫赫兹兹用用火火花花隙隙激激励励一一个个环环状状天天线线，用用另另一一个个带带隙隙的的环环状状天天线线接接收收，证证实实了了麦麦克克斯斯韦韦关关于于电电磁磁波波存存在在的的预预言言，这这一一重重要要的的实实验验导导致致了了后后来来无无线线电电报报的的发发明明。从从此此开开始始了了电电磁磁场场理理论论应应用用与与发发展展时时代代，并并且且发发展展成成为为当当代代最最引引人注目的学科之一；人注目的学科之一；v1876年年,美美国国A.G.贝贝尔尔在在美美国国建建国国100周周年年博博览览会会上上展展示示了了他他所发明的有线电话，此后所发明的有线电话，此后,有线电话便迅速普及开来。有线电话便迅速普及开来。v1895年年，意意大大利利马马可可尼尼成成功功地地进进行行了了2.5公公里里距距离离的的无无线线电电报报传传送送实实验验；马马可可尼尼以以其其在在无无线线电电报报等等领领域域的的成成就就，获获得得了了1909年年的的诺诺贝贝尔尔奖奖金金物物理理学学奖奖。无无线线电电报报的的发发明明，开开始始了了利利用用电电磁磁波波时期；时期；4现在学习的是第4页，共61页一、电磁理论的发展简介一、电磁理论的发展简介v1906年年，美美国国费费森森登登用用50千千赫赫频频率率发发电电机机作作发发射射机机，用用微微音音器器接接入入天天线线实实现现调调制制，使使大大西西洋洋航航船船上上的的报报务务员员听听到到了了他他从从波波士士顿顿播播出的音乐。出的音乐。v兹兹沃沃霄霄金金在在1923和和1924年年相相继继发发明明了了摄摄像像管管和和显显像像管管。1931年，他组装成世界上第一个全电子电视系统。年，他组装成世界上第一个全电子电视系统。v二二次次世世界界大大战战前前夕夕，飞飞机机成成为为主主要要进进攻攻武武器器。雷雷达达成成了了电电磁磁场场理论最活跃的部分；理论最活跃的部分；v1958年年,美美国国发发射射低低轨轨的的“斯斯科科尔尔”，卫卫星星成成功功,这这是是第第一一颗颗用用于于通信的试验卫星。通信的试验卫星。v1973年年美美国国提提出出了了由由24颗颗卫卫卫卫星星组组成成的的实实用用系系统统新新方方案案，即即GPS计计划划。1990年年最最终终的的GPS方方案案是是由由21颗颗工工作作卫卫星星和和3颗颗在在轨备用卫星组成。轨备用卫星组成。5现在学习的是第5页，共61页一、电磁理论的发展简介一、电磁理论的发展简介v由由此此看看来来，在在任任何何意意义义上上，我我们们都都不不能能轻轻视视一一个个多多世世纪纪来来电电磁磁场场理理论论对对科科学学技技术术以以及及人人类类社社会会所所做做出出的的巨巨大大贡贡献献。可可以以毫毫不不夸夸张张地地说说，没没有有电电磁磁场场理理论论的的发发展展，就就不不可可能能有有现现代代信信息息化化社社会会的的出出现现。由由于于电电磁磁场场理理论论对对整整个个电电子子和和信信息息技技术术的的发发展展所所起起到到的的如如此此强强大大的的推推动动力力，迫迫使使人人们们必必须须去去了了解解并并解解决决各各种种复复杂杂条条件件下下的的电电磁磁工工程程中中的的技技术术和和设设计计问问题题，从从这这个个意意义义上上来来说说，学习电磁场理论就成为了整个行动的第一步。学习电磁场理论就成为了整个行动的第一步。6现在学习的是第6页，共61页 麦克斯韦是继法拉第之后，集电磁学大成的伟大科学家。他依麦克斯韦是继法拉第之后，集电磁学大成的伟大科学家。他依据库仑、高斯、欧姆、安培、毕奥、萨伐尔、法拉第等前人的一系据库仑、高斯、欧姆、安培、毕奥、萨伐尔、法拉第等前人的一系列发现和实验成果，建立了第一个完整的电磁理论体系，不仅科学列发现和实验成果，建立了第一个完整的电磁理论体系，不仅科学地预言了电磁波的存在，而且揭示了光、电、磁现象的本质的统一地预言了电磁波的存在，而且揭示了光、电、磁现象的本质的统一性，完成了物理学的又一次大综合。这一理论自然科学的成果，奠性，完成了物理学的又一次大综合。这一理论自然科学的成果，奠定了现代的电力工业、电子工业和无线电工业的基础。定了现代的电力工业、电子工业和无线电工业的基础。科学家小传科学家小传英国科学家英国科学家 詹姆斯詹姆斯.克拉克克拉克.麦克斯韦麦克斯韦 （James Clerk Maxwell 1831-1879）7现在学习的是第7页，共61页 电学是物理学的一个重要分枝，在它的发展过程中，很多物理学电学是物理学的一个重要分枝，在它的发展过程中，很多物理学巨匠都曾作出过杰出的贡献。法国物理学家查利巨匠都曾作出过杰出的贡献。法国物理学家查利奥古斯丁奥古斯丁库仑就是库仑就是其中影响力非常巨大的一员。其中影响力非常巨大的一员。17851785年，库仑用自己发明的扭秤建立了静电学中著名的库仑定律。年，库仑用自己发明的扭秤建立了静电学中著名的库仑定律。同年，他在给法国科学院的同年，他在给法国科学院的电力定律电力定律的论文中详细地介绍了他的的论文中详细地介绍了他的实验装置，测试经过和实验结果。实验装置，测试经过和实验结果。法国物理学家法国物理学家 查利查利奥古斯丁奥古斯丁库仑库仑 （Charles Augustin de Coulomb 17361806）8现在学习的是第8页，共61页 法拉第法拉第17911791年年9 9月月2222日生在一个手工工人家庭，父亲是一个铁日生在一个手工工人家庭，父亲是一个铁匠，家里人没有特别的文化，而且颇为贫穷。匠，家里人没有特别的文化，而且颇为贫穷。但由于他的勤学好但由于他的勤学好问，问，18121812年成为了伦敦皇家学院院长戴维的助手，他的科学研究道路由此年成为了伦敦皇家学院院长戴维的助手，他的科学研究道路由此而展开而展开 。法拉第所研究的课题广泛多样，按编年顺序排列法拉第所研究的课题广泛多样，按编年顺序排列,有如下各方面：有如下各方面：铁合金研究（铁合金研究（1818181818241824）；氯和碳的化合物（）；氯和碳的化合物（18201820）；电磁转动（）；电磁转动（18211821）；）；气体液化（气体液化（18231823，18451845）；光学玻璃（）；光学玻璃（1825182518311831）；苯的发明（）；苯的发明（18251825）；电磁感应现象（）；电磁感应现象（18311831）；不同来源的电的同一性（）；不同来源的电的同一性（18321832）；电化学）；电化学分解（分解（18321832年起）；静电学，电介质（年起）；静电学，电介质（18351835年起）；气体放电（年起）；气体放电（18351835年）；光、电和磁（年）；光、电和磁（18451845年起）；抗磁性（年起）；抗磁性（18451845年起）；年起）；射线振动思想射线振动思想（18461846年起）；重力和电（年起）；重力和电（18491849年起）；时间和磁性（年起）；时间和磁性（18571857年起）。年起）。英国科学家英国科学家 迈克尔迈克尔法拉第法拉第 (Michael Faraday 17911867)9现在学习的是第9页，共61页 安培安培17751775年年1 1月月2222日生于里昂一个富商家庭。年少时就显出数学才能。日生于里昂一个富商家庭。年少时就显出数学才能。安培最主要的成就是安培最主要的成就是1820182018271827年对电磁作用的研究：年对电磁作用的研究：发现了安培定则发现了安培定则 发现电流的相互作用规律发现电流的相互作用规律 发明了电流计发明了电流计 提出分子电流假说提出分子电流假说 总结了电流元之间的作用规律总结了电流元之间的作用规律安培定律安培定律 法国物理学家法国物理学家 安培安培 (Andr Marie Amp 17751836年年)10现在学习的是第10页，共61页 赫兹生于汉堡，早在少年时代就被光学和力学实验所吸引。十赫兹生于汉堡，早在少年时代就被光学和力学实验所吸引。十九岁入德累斯顿工学院学工程，由于对自然科学的爱好，次年转入九岁入德累斯顿工学院学工程，由于对自然科学的爱好，次年转入柏林大学，在物理学教授亥姆霍兹指导下学习。柏林大学，在物理学教授亥姆霍兹指导下学习。18851885年任卡尔鲁厄年任卡尔鲁厄大学物理学教授。大学物理学教授。18891889年，接替克劳修斯担任波恩大学物理学教年，接替克劳修斯担任波恩大学物理学教授，直到逝世。授，直到逝世。赫兹对人类最伟大的贡献是用实验证实了电磁波的存在。赫兹对人类最伟大的贡献是用实验证实了电磁波的存在。德国物理学家德国物理学家 赫兹赫兹(HeinrichRudolfHertz,18571894)11现在学习的是第11页，共61页二、课程定位二、课程定位本课程是电子信息类专业本课程是电子信息类专业必修的专业基础课必修的专业基础课，是主干课之一，是主干课之一，是通信与电子技术的重要基础。是通信与电子技术的重要基础。（1）现代通信的理论基础现代通信的理论基础无线（移动）通信、卫星通信和光纤通信等，无线（移动）通信、卫星通信和光纤通信等，这些这些都是依靠电磁波（包括光波）来完成的都是依靠电磁波（包括光波）来完成的。12现在学习的是第12页，共61页（3）对培养创新精神、严谨的科学学风和科学的方法论等，）对培养创新精神、严谨的科学学风和科学的方法论等，都起着十分重要的作用都起着十分重要的作用。（2）与很多学科紧密相关与很多学科紧密相关：13现在学习的是第13页，共61页三、课程特点(a)(a)场量是场量是矢量矢量，是，是三维空间的函数三维空间的函数，需作场论运算。，需作场论运算。(b)(b)一个中心：一个中心：麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组(c)(c)两个基本点：两个基本点：场特性场特性，如何求（场）如何求（场）14现在学习的是第14页，共61页四、学习要求及考核四、学习要求及考核要求要求(a)(a)上课上课跟上老师思路跟上老师思路，记好笔记记好笔记。希能课前预习，找到难点。希能课前预习，找到难点。(b)(b)独立作题独立作题，及时总结。，及时总结。(c)(c)要看书。要看书。例题要会例题要会，基本公式要记住基本公式要记住。参考书目参考书目毕德显，毕德显，电磁场理论电磁场理论，电子工业出版社，电子工业出版社谢处方，电磁场与电磁波，高等教育出版社谢处方，电磁场与电磁波，高等教育出版社王家礼，王家礼，电磁场与电磁波电磁场与电磁波西安电子科技大学出版社西安电子科技大学出版社电磁场与电磁波电磁场与电磁波，周克定（译），机械工业出版社，周克定（译），机械工业出版社闭卷考试闭卷考试平时成绩占平时成绩占20%20%，期终考试占，期终考试占80%80%15现在学习的是第15页，共61页第1章 矢量分析Vector Analysis16现在学习的是第16页，共61页主要内容主要内容1 1、矢量代数、矢量代数2 2、矢量场的散度和散度定理、矢量场的散度和散度定理3 3、矢量场的旋度和斯托克斯定理、矢量场的旋度和斯托克斯定理4 4、标量场的梯度和格林定理、标量场的梯度和格林定理5 5、Helmholtz 定理和坐标变换定理和坐标变换17现在学习的是第17页，共61页1.11.1矢量代数矢量代数Vector Algebra一、矢量表示法一、矢量表示法b)b)矢量的矢量的分量表示式分量表示式a)a)矢量的写法矢量的写法在符号上加短横线：在符号上加短横线：、矢量的矢量的模模：的的单位矢量单位矢量：18现在学习的是第18页，共61页a)a)标量积（点乘）标量积（点乘）交换律：交换律：即即二、标量积和矢量积二、标量积和矢量积运算法则：运算法则：1.11.1矢量代数矢量代数0几何意义：几何意义：应用：在力应用：在力 作用下，物体沿作用下，物体沿x x向移动了向移动了 距离，距离，则该所力作的功为则该所力作的功为19现在学习的是第19页，共61页即即b)b)矢量积（叉乘）矢量积（叉乘）1.11.1矢量代数矢量代数运算法则：运算法则：几何意义：几何意义：所在平面的右手螺旋法向所在平面的右手螺旋法向应用：力应用：力 作用于长作用于长 的杠杆上所形成的力矩的杠杆上所形成的力矩(使杠杆绕使杠杆绕 轴旋转轴旋转)为：为：20现在学习的是第20页，共61页a)标量三重积标量三重积 b)b)矢量三重积矢量三重积称为“BACKCAB”法则 三、三重积三、三重积1.11.1矢量代数矢量代数循环法则 21现在学习的是第21页，共61页1.21.2通量、散度、散度定理通量、散度、散度定理Flux and Divergence of a Vector Field,Divergence Theorem一、引言一、引言 高等数学高高等数学高斯公式斯公式散度定理散度定理通量（整个曲面积分）通量（整个曲面积分）散度（被积函数）散度（被积函数）引入引入del算符算符22现在学习的是第22页，共61页二、矢量场的通量二、矢量场的通量（标量标量）（2 2）封闭面：）封闭面：取为封闭面的取为封闭面的外法线方向外法线方向（1 1）开曲面：沿封闭曲线）开曲面：沿封闭曲线 的绕行方向按右手螺旋的拇指方向的绕行方向按右手螺旋的拇指方向1.21.2通量、散度、散度定理通量、散度、散度定理（标量标量）23现在学习的是第23页，共61页有净通量流出，说明有净通量流出，说明S S内有源内有源；有净通量流入，说明有净通量流入，说明S S内有洞内有洞(负源负源);则净通量为零，说明则净通量为零，说明S S内无源内无源；由由大学物理大学物理知，电通量知，电通量（高斯定理）（高斯定理）例例.面元：面元：1.21.2通量、散度、散度定理通量、散度、散度定理若若S 为闭合曲面为闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质性质:0(0(有正源有正源)0(0(有负源有负源)=0(=0(无源无源)24现在学习的是第24页，共61页通量反映了封闭面中源的总特性，但没有反映源的分布特性通量反映了封闭面中源的总特性，但没有反映源的分布特性,若要进一若要进一步描述源的分布特性，则要引入散度。步描述源的分布特性，则要引入散度。a)a)散度散度(divergence)(divergence)定义定义:三、散度，哈密顿算子三、散度，哈密顿算子1.21.2通量、散度、散度定理通量、散度、散度定理（标量标量）（A点）点）（B点）点）（C点）点）电偶极子的电力线和等位线电偶极子的电力线和等位线 散度是散度是 通过某点处单位体积的通量通过某点处单位体积的通量 （通量体密度通量体密度）；它反映了它反映了 在该点的在该点的通量源强度通量源强度；25现在学习的是第25页，共61页1.21.2通量、散度、散度定理通量、散度、散度定理 在矢量场中，若在矢量场中，若 A=A=0 0，称之为有源场，称之为有源场，称为称为(通量通量)源密度；若矢量场中处处源密度；若矢量场中处处 A=0 A=0，称之为无源场。，称之为无源场。散度代表矢量场的散度代表矢量场的通量源通量源的分布特性的分布特性 矢量的散度是一个矢量的散度是一个标量标量，是空间坐标点的函数，是空间坐标点的函数散度的物理意义散度的物理意义26现在学习的是第26页，共61页1.21.2通量、散度、散度定理通量、散度、散度定理(1.2-4)b)b)散度的分量表示式散度的分量表示式27现在学习的是第27页，共61页1.21.2通量、散度、散度定理通量、散度、散度定理比较上式与式比较上式与式(1.2-4)(1.2-4)知知:c)c)哈密顿算子哈密顿算子兼有矢量和微分运算双重功能兼有矢量和微分运算双重功能:先按矢量规则展开先按矢量规则展开,再做微分运算：再做微分运算：注意注意：散度的运算规则散度的运算规则28现在学习的是第28页，共61页四、散度定理四、散度定理矢量散度的矢量散度的体积分体积分该矢量的封闭该矢量的封闭面积分面积分矢量场的散度代表其通量的体密度矢量场的散度代表其通量的体密度,因此散度的体积分等于穿因此散度的体积分等于穿过包围该体积封闭面的总通量过包围该体积封闭面的总通量:1.21.2通量、散度、散度定理通量、散度、散度定理n1=-n2n1n229现在学习的是第29页，共61页点电荷点电荷q q在离其在离其r r处产生的电通密度为：处产生的电通密度为：其中其中 ，模，模 求：任意点处电通密度的散度求：任意点处电通密度的散度 ，并求穿出以，并求穿出以 r r为半径的球面的电通量为半径的球面的电通量 解解1.21.2通量、散度、散度定理通量、散度、散度定理例例1 130现在学习的是第30页，共61页这说明在此球面上所穿过的电通量的源正是点电荷这说明在此球面上所穿过的电通量的源正是点电荷q。同理同理故故1.21.2通量、散度、散度定理通量、散度、散度定理可见，除了点电荷所在源点可见，除了点电荷所在源点 外，空间各点的电通密度散度均为外，空间各点的电通密度散度均为0，它是管，它是管形场形场。31现在学习的是第31页，共61页球面球面s上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为 试利用散度定理计算试利用散度定理计算然后利用散度定理计算面积分：然后利用散度定理计算面积分：解解 首先求出散度：首先求出散度：例例21.21.2通量、散度、散度定理通量、散度、散度定理32现在学习的是第32页，共61页1.3 环量、旋度、环量、旋度、Stokes定理定理Circulation and Curl of a Vector Field,Stokess Theorem 一、引言一、引言高等数学高高等数学高斯公式斯公式环量（整个曲线积分）环量（整个曲线积分）旋度（被积函数）旋度（被积函数）旋度定理旋度定理33现在学习的是第33页，共61页二、环量二、环量矢量矢量 沿某封闭曲线的线积分，定义为沿某封闭曲线的线积分，定义为 沿该曲线沿该曲线的环量的环量(或旋涡量或旋涡量):):图图1.3-1矢量场的环量矢量场的环量 图图1.3-2 电流电流I的磁通密度的磁通密度应用：应用：*电流会产生环绕它的磁场电流会产生环绕它的磁场 ，沿圆周的线积分就是其环沿圆周的线积分就是其环量量 ：可见，电流就是旋涡源。可见，电流就是旋涡源。方向规定为使所包围面积在其左侧，如图方向规定为使所包围面积在其左侧，如图1.3-1所示所示.34现在学习的是第34页，共61页三、旋度三、旋度1.3 环量、旋度、环量、旋度、Stokes定理定理a)定义定义（标量）（标量）环量面密度环量面密度(环量强度环量强度):面元是有方向的，在给定点处，上述极限值对于不同的面元是不同的。面元是有方向的，在给定点处，上述极限值对于不同的面元是不同的。（矢量）（矢量）大小：旋度为矢量大小：旋度为矢量 在给定点处的在给定点处的最大环量面密度最大环量面密度。方向：面元的取向使环量面密度最大时，该面元的方向方向：面元的取向使环量面密度最大时，该面元的方向 .讨论：讨论：（保守场保守场）。反映反映 在该处的在该处的旋涡源强度旋涡源强度。35现在学习的是第35页，共61页b)b)分量表示式分量表示式C)运算运算故故 的三个坐标分量都取决于其另两个坐标分量在与各自正交的方向上的变化率。的三个坐标分量都取决于其另两个坐标分量在与各自正交的方向上的变化率。简言之，简言之，的旋度取决于各分量的横向变化率的旋度取决于各分量的横向变化率。利用哈密顿算子，有利用哈密顿算子，有1.3 环量、旋度、环量、旋度、Stokes定理定理36现在学习的是第36页，共61页旋度运算规则旋度运算规则：（“旋无散旋无散”）1.3 环量、旋度、环量、旋度、Stokes定理定理37现在学习的是第37页，共61页证证 四、斯托克斯（四、斯托克斯（Stokes）定理）定理矢量旋度的面积分矢量旋度的面积分该矢量的线积分该矢量的线积分 证证 见教材见教材p.15例例：证明：证明：矢量场的旋度代表其单位面积的环量，因此旋度的面积分即为包围此面积矢量场的旋度代表其单位面积的环量，因此旋度的面积分即为包围此面积的闭曲线上的环量：的闭曲线上的环量：1.3 环量、旋度、环量、旋度、Stokes定理定理38现在学习的是第38页，共61页解解 根据旋度的公式得根据旋度的公式得所以所以结论：静止点电荷产生的电场是无旋场。结论：静止点电荷产生的电场是无旋场。求任意点处（求任意点处（）电场强度的旋度）电场强度的旋度例例1 自由空间的点电荷自由空间的点电荷q所产生的电场强度所产生的电场强度而而,1.3 环量、旋度、环量、旋度、Stokes定理定理39现在学习的是第39页，共61页式中式中S为包围体积为包围体积V的封闭面的封闭面 证明下述矢量证明下述矢量Stokes定理定理例例2 21.3 1.3 环量、旋度、环量、旋度、StokesStokes定理定理两边同时进行体积分，左边利用散度定理后得两边同时进行体积分，左边利用散度定理后得 于是得于是得 由于由于 是任意常矢量，所以是任意常矢量，所以证证：设：设 为任意常矢量，那么根据运算规则为任意常矢量，那么根据运算规则3有：有：40现在学习的是第40页，共61页1.4 1.4 方向导数、梯度方向导数、梯度 、GreenGreen定理定理(Directional Derivative and Gradient of a Scalar Field,Greens Theorem)1、方向导数、方向导数设设矢量矢量 在在 上的投影等于上的投影等于 在该方向上的方向导数。在该方向上的方向导数。则方向导数则方向导数引入引入 算子算子 41现在学习的是第41页，共61页二、梯度二、梯度1.4 1.4 方向导数、梯度方向导数、梯度 、GreenGreen定理定理 的模是的模是 在给定点上的最大方向导数在给定点上的最大方向导数,其方向就是具有该最大方向导数的方向，其方向就是具有该最大方向导数的方向，也就是也就是 的变化率最大的方向。的变化率最大的方向。则则若若梯度梯度:42现在学习的是第42页，共61页三、等值面三、等值面对等值面上的任意方向对等值面上的任意方向，即即结论：梯度的方向就是等值面的法线方向：结论：梯度的方向就是等值面的法线方向：四、梯度运算规则四、梯度运算规则“梯无旋梯无旋”1.4 1.4 方向导数、梯度方向导数、梯度 、GreenGreen定理定理43现在学习的是第43页，共61页试证明运算规则试证明运算规则 证证所以等式成立所以等式成立 例例1.4 1.4 方向导数、梯度方向导数、梯度 、GreenGreen定理定理44现在学习的是第44页，共61页五、五、Green 定理定理将将Green第一定理中的两个函数交换位置，则有第一定理中的两个函数交换位置，则有u Green第二定理第二定理 以以Green第一定理减去上式，得第一定理减去上式，得 u Green第一定理第一定理 利用散度定理得利用散度定理得u Green函数的应用函数的应用将体积将体积V中场的求解问题变换为边界中场的求解问题变换为边界S上场的求解问题。上场的求解问题。已知其中一个场的分布，就可以用已知其中一个场的分布，就可以用Green定理求解另一场的分布特性。定理求解另一场的分布特性。1.4 1.4 方向导数、梯度方向导数、梯度 、GreenGreen定理定理45现在学习的是第45页，共61页1.5 1.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 Helmholtzs Theorem一、散度和旋度的比较一、散度和旋度的比较定义定义 意义意义分量式分量式 取决于场分量的纵向变化率取决于场分量的纵向变化率 取决于场分量的横向变化率取决于场分量的横向变化率 散度散度旋度旋度最大环量面密度（矢量）最大环量面密度（矢量）通量体密度（标量）通量体密度（标量）旋涡源强度的量度旋涡源强度的量度 通量源强度的量度通量源强度的量度 可见可见,矢量场矢量场 的散度唯一地确定场中任一点的通量源强度的散度唯一地确定场中任一点的通量源强度,场的旋度唯一地确定场中场的旋度唯一地确定场中任一点的旋涡源强度任一点的旋涡源强度.这样这样,如果已知矢量场的散度和旋度如果已知矢量场的散度和旋度,则两种源都已知则两种源都已知,因而因而能唯一地确定这个矢量场能唯一地确定这个矢量场.又，从分量式上可以看出，散度取决于场分量的纵向变化率，而旋度取决于场的横向又，从分量式上可以看出，散度取决于场分量的纵向变化率，而旋度取决于场的横向 变化率，因而二者一起完整地描述了场的分布特性。变化率，因而二者一起完整地描述了场的分布特性。表表1-1 散度与旋度的比较散度与旋度的比较46现在学习的是第46页，共61页二、二、Helmholtz定理定理令令两边取散度和旋度，得两边取散度和旋度，得所以所以 所以所以 所以可令所以可令 说明已知散度和旋度的矢量是唯一的说明已知散度和旋度的矢量是唯一的。所以所以 于是于是这是拉普拉斯方程，已知满足拉普拉斯方程的函数不会出现极值，而这是拉普拉斯方程，已知满足拉普拉斯方程的函数不会出现极值，而是在无限空间上取值的函数，因此是在无限空间上取值的函数，因此 只能是一个常数只能是一个常数:则则条件：若矢量场条件：若矢量场 在无限空间处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限区域中在无限空间处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限区域中结论：结论：矢量场由其散度和旋度唯一确定。矢量场由其散度和旋度唯一确定。表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和：表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和：证证 假设在无限空间中有二矢量函数假设在无限空间中有二矢量函数 和和 ，它们具有相同的散度和旋度，它们具有相同的散度和旋度1.5 Helmholtz定理定理47现在学习的是第47页，共61页因此，一个矢量场可表示为一个标量场的梯度和一个矢量场的旋度之和，即因此，一个矢量场可表示为一个标量场的梯度和一个矢量场的旋度之和，即 结论：研究一个矢量场必须从它的旋度和它的散度着手，结论：研究一个矢量场必须从它的旋度和它的散度着手，矢量场的旋度和散度满足的方程决定了矢量场的基本特性。矢量场的旋度和散度满足的方程决定了矢量场的基本特性。一个既有散度又有旋度的一般矢量场可以表示为一个无旋场一个既有散度又有旋度的一般矢量场可以表示为一个无旋场 (有散度有散度)和一个无散场和一个无散场 (有旋度有旋度)之和之和：1.5 Helmholtz定理定理48现在学习的是第48页，共61页例例 静电场静电场：恒定电流磁场恒定电流磁场：可见，上述两种场的基本特性都由其旋度方程和散度方程决定可见，上述两种场的基本特性都由其旋度方程和散度方程决定。(位场位场)即即(高斯定理高斯定理)即即(安培环路定律安培环路定律)即即(磁通连续性磁通连续性)即即1.5 Helmholtz定理定理49现在学习的是第49页，共61页1.6 曲面坐标系曲面坐标系(Curvilinear Coordinate Systems)1、圆柱坐标系、圆柱坐标系增加量增加量不变量不变量位移量位移量长度增量长度增量 、z 、z 、50现在学习的是第50页，共61页度量系数（拉梅系数度量系数（拉梅系数）u 与三个单位矢量相垂直的三个面元与三个单位矢量相垂直的三个面元 u体积元体积元 1.6 1.6 曲面坐标系曲面坐标系51现在学习的是第51页，共61页二、球面坐标系二、球面坐标系图图1.62 球面坐标系球面坐标系1.6 1.6 曲面坐标系曲面坐标系52现在学习的是第52页，共61页度量系数（拉梅系数）度量系数（拉梅系数）图图1.62 球面坐标系球面坐标系三个面积元三个面积元体积元体积元1.6 1.6 曲面坐标系曲面坐标系53现在学习的是第53页，共61页三、三种坐标的变换三、三种坐标的变换图图1.6-3 三种坐标间的变换三种坐标间的变换1.6 1.6 曲面坐标系曲面坐标系54现在学习的是第54页，共61页图图1.6-4 0 0 0 0 1表表1.6-1直角坐标与柱坐标单位矢量的变换直角坐标与柱坐标单位矢量的变换 表表1.6-2柱坐标与球坐标单位矢量的变换柱坐标与球坐标单位矢量的变换 0 0 0 1 0图图1.6-5 利用图利用图1.6-4可得出表可得出表1.6-1关系，利用图关系，利用图1.6-5可得出表可得出表1.6-2关系，由二者又可得出表关系，由二者又可得出表1.6-3。1.6 1.6 曲面坐标系曲面坐标系55现在学习的是第55页，共61页 0同样可用于矢量分量同样可用于矢量分量：Ex.由表由表1.63第一列，第一列，Ex.由表由表1.63第一行，第一行，这些表的作用与矩阵变换相似。这些表的作用与矩阵变换相似。表表1.6-3直角坐标与球坐标单位矢量的变换直角坐标与球坐标单位矢量的变换 1.6 1.6 曲面坐标系曲面坐标系56现在学习的是第56页，共61页四、场论运算四、场论运算a)直角坐标直角坐标柱坐标柱坐标球坐标球坐标b)矢量函数求导矢量函数求导图图1.6-6矢量函数及增量矢量函数及增量1.6 1.6 曲面坐标系曲面坐标系57现在学习的是第57页，共61页即即 c)柱坐标场论公式柱坐标场论公式1.6 1.6 曲面坐标系曲面坐标系58现在学习的是第58页，共61页d)球坐标场论公式球坐标场论公式1.6 1.6 曲面坐标系曲面坐标系59现在学习的是第59页，共61页1.6 1.6 曲面坐标系曲面坐标系1、梯度、梯度2、散度、散度3、旋度、旋度60现在学习的是第60页，共61页电偶极子电偶极子相距为相距为l的两点电荷的两点电荷 和和 的静电场，设的静电场，设 ，且电位，且电位求电场强度求电场强度解解利用球坐标的梯度公式得到利用球坐标的梯度公式得到 例例1.6 1.6 曲面坐标系曲面坐标系61现在学习的是第61页，共61页