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第13章能量法现在学习的是第1页，共32页13-1 13-1 概述概述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄 的能量，称为弹性变形能，简称变形能。的能量，称为弹性变形能，简称变形能。一、能量方法一、能量方法三、变形能三、变形能二、外力功二、外力功 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移，固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移，外力因此而做功，则成为外力功。外力因此而做功，则成为外力功。利用功能原理利用功能原理 U U=W W 来求解可变形固体的位移、变形和内力等的方来求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。法。可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。对对于弹性体，不考虑其他能量的损失，外力在相应位移上作的功，在于弹性体，不考虑其他能量的损失，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。数值上就等于积蓄在物体内的应变能。U U=W W四、功能原理四、功能原理现在学习的是第2页，共32页13-2 13-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算一、杆件变形能的计算1 1、轴向拉压的变形能、轴向拉压的变形能此外力功的增量为：此外力功的增量为：当拉力为当拉力为F F1 1 时，杆件的伸长为时，杆件的伸长为l l1 1，当再增加一个当再增加一个d dF F1 1 时，相应的变时，相应的变形增量为形增量为d(d(l l1 1)F ll lF lFo l l1d l1dF1F1积分得：积分得：根据功能原理根据功能原理 U U=W W,可得以下变形能表达式可得以下变形能表达式现在学习的是第3页，共32页（单位（单位 J/m J/m3 3)比能比能 ：单位体积的应变能，单位体积的应变能，记作记作u u 当轴力或截面连续变化时：当轴力或截面连续变化时：当轴力或截面发生变化时：当轴力或截面发生变化时：13-2 13-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算现在学习的是第4页，共32页2 2、扭转杆内的变形能扭转杆内的变形能或或l l MMe eMMe e MMe e13-2 13-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算现在学习的是第5页，共32页纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲3 3、弯曲变形的变形能弯曲变形的变形能MMe e MMe eMMe e MMe e13-2 13-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算4 4、组合变形的变形能组合变形的变形能 截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。现在学习的是第6页，共32页dxdydzxyzabd5 5、纯剪切应力状态下的比能、纯剪切应力状态下的比能假设单元体左侧固定，因此变形后右侧将向下移动假设单元体左侧固定，因此变形后右侧将向下移动 dx.dx.因为很小，所以在变形过程中，上、下因为很小，所以在变形过程中，上、下两面上的外力将不作功。只有右侧面的两面上的外力将不作功。只有右侧面的外力外力(d dy yd dz z)对相应的位移对相应的位移 d dx x 作了功。作了功。d dx x当材料在线弹性范围内内工作时，上述力当材料在线弹性范围内内工作时，上述力与位移成正比，因此，单元体上外力所作与位移成正比，因此，单元体上外力所作的功为的功为 比能为比能为比能为比能为将将将将 =G G 代如上式得代如上式得代如上式得代如上式得13-2 13-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算现在学习的是第7页，共32页等直圆杆扭转时应变能的计算等直圆杆扭转时应变能的计算将将代入上式得代入上式得13-2 13-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算 二、变形能的普遍表达式二、变形能的普遍表达式现在学习的是第8页，共32页F F-广义力包括力和力偶广义力包括力和力偶-广义位移广义位移包括线位移和角位移包括线位移和角位移B B C C F3BCF2AF113-2 13-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算假设广义力按某一比例由零增致最后值对假设广义力按某一比例由零增致最后值对应的广义位移也由零增致最后值。应的广义位移也由零增致最后值。对于线性结构，位移与荷载之间是线性关对于线性结构，位移与荷载之间是线性关系，任一广义位移，例如系，任一广义位移，例如 2 2可表示为可表示为C C1 1F F1 1，C C2 2F F2 2，C C3 3F F3 3 分别表示力分别表示力 F F1 1,F F2 2,F F3 3 在在 C C 点引起的竖向位移。点引起的竖向位移。C C1 1，C C2 2，C C3 3 是比例常数。是比例常数。F F3 3/F F2 2在比例加载时在比例加载时也是常数也是常数F F1 1/F F2 2和和 2 2 与与 F F2 2 之间的关系是线性的。之间的关系是线性的。同理同理 ，1 1 与与 F F1 1，3 3 与与 F F3 3 之间的关系也是线性的。之间的关系也是线性的。现在学习的是第9页，共32页在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功 iF Fi iF3ABCF1F2B B 克拉贝隆原理克拉贝隆原理（只限于线性结构）（只限于线性结构）F Fi i i13-2 13-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算现在学习的是第10页，共32页三、变形能的应用三、变形能的应用1 1、计算变形能、计算变形能2 2、利用功能原理计算变形、利用功能原理计算变形13-2 13-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算例例1 1 试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B B的挠度。的挠度。ABFlx解：解：由由U=W U=W 得得现在学习的是第11页，共32页例例2 2 试求图示梁的变形能，并利用功能原理求试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C C截面的挠度截面的挠度.ABCFx1x2abl解：解：由由 U=W U=W 得得13-2 13-2 杆件变形能的计算杆件变形能的计算现在学习的是第12页，共32页两力作用点沿力作用方向的位移分别为两力作用点沿力作用方向的位移分别为F F1 1，F F2 2。1 1、设在线弹性结构上作用力、设在线弹性结构上作用力 1，2。一、功的互等定理一、功的互等定理13-3 13-3 互等定理互等定理 1 2F1F2F F1 1和和F F2 2 完成的功应为完成的功应为2 2、在结构上再作用有力、在结构上再作用有力F F F F3 3 3 3，F F F F4 4 4 4沿沿F F3 3和和F F4 4方向的相应位方向的相应位移为移为 3 3,4 4F F3 3和和F F4 4 完成的功应为完成的功应为F1F2 1 2F3 3 4F F4 4现在学习的是第13页，共32页3 3、在、在F F3 3和和F F4 4的作用下，的作用下，F F1 1和和F F2 2 的作用点又有的作用点又有位移位移F F1 1和和F F2 2 在在 1 1 和和 2 2 上上完成的功应完成的功应为为F1F2 1 2F3 3 4F4，因此，按先加因此，按先加 F F1 1，F F2 2 后后F F3 3，F F4 4 的的次序加力，结构的应变能为次序加力，结构的应变能为13-3 13-3 互等定理互等定理若按先加若按先加F F3 3，F F4 4 后加后加F F1 1，F F2 2 的次序加力，又可求得结构的的次序加力，又可求得结构的应变能为应变能为由于应变能只决定于力和位移的最由于应变能只决定于力和位移的最终值，与加力的次序无关终值，与加力的次序无关,故故F1F2 1 2 3 4F4F3现在学习的是第14页，共32页 功的互等定理功的互等定理：第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。二、位移互等定理二、位移互等定理若第一组力若第一组力 F F1 1，第二组力只有，第二组力只有 F F3 3，则，则如果如果 F F1 1=F F3 3 ，则有，则有13-3 13-3 互等定理互等定理F F1 1作用点沿作用点沿F F1 1 方向因作用方向因作用F F3 3而引起的位移等于而引起的位移等于F F3 3作用点沿作用点沿F F3 3 方向因作方向因作用用F F1 1而引起的位移而引起的位移.三、注意三、注意1 1、力和位移都应理解为广义的。、力和位移都应理解为广义的。2 2、这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，只是由变形、这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，只是由变形 引起的位移。引起的位移。现在学习的是第15页，共32页13-4 13-4 莫尔定理莫尔定理一、莫尔定理的推导一、莫尔定理的推导求任意点求任意点A A的位移的位移f fA A F1F2A A A图图b ba a图图=1=1F F0 0A AF F1 1F F2 2图图c cf fA AF F0 0=1=1变形能为变形能为1 1、先在、先在A A点作用单位点作用单位力力F F0 0，再作用，再作用F F1 1,F F2 2力力现在学习的是第16页，共32页2 2、三个力同时作用时、三个力同时作用时任意截面的弯矩：任意截面的弯矩：变形能：变形能：13-4 13-4 莫尔定理莫尔定理桁架：桁架：现在学习的是第17页，共32页二、普遍形式的莫尔定理二、普遍形式的莫尔定理注意：上式中注意：上式中应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相对应的应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相对应的广义力。广义力。13-4 13-4 莫尔定理莫尔定理三、使用莫尔定理的注意事项三、使用莫尔定理的注意事项 莫尔积分必须遍及整个结构莫尔积分必须遍及整个结构.M M(x x)：结构在原载荷下的内力：结构在原载荷下的内力;所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲;去掉主动力，在所求去掉主动力，在所求 广义位移广义位移 点，点，沿所求沿所求广义位移广义位移 的方向加广义单位力的方向加广义单位力 时，结构产生的内力时，结构产生的内力;M M 与与M M(x x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可自由建立;M M(x x)现在学习的是第18页，共32页A例题例题3 3 抗弯刚度为抗弯刚度为EIEI的等截面简支梁受均布荷载作用，用单的等截面简支梁受均布荷载作用，用单位载荷法求梁中点的挠度位载荷法求梁中点的挠度 f fc c 和支座和支座A A截面的转角，剪力对弯曲的影截面的转角，剪力对弯曲的影响不计。响不计。qBCll/2ql/2ql/2解：解：在实际荷载作用下，任一在实际荷载作用下，任一x x 截面的弯矩为截面的弯矩为13-4 13-4 莫尔定理莫尔定理AB11/21/2Cx(1)(1)求求C C截面的挠度截面的挠度在在C C点加一向下的单位力，点加一向下的单位力，任一任一x x 截面的弯矩为截面的弯矩为现在学习的是第19页，共32页ql/2AAB11/l1/lx(2)(2)求求A A截面的转角截面的转角在在A A 截面加一单位力偶截面加一单位力偶引起的引起的x x截面的弯矩为截面的弯矩为qCll/2（顺时针）（顺时针）ql/213-4 13-4 莫尔定理莫尔定理现在学习的是第20页，共32页例题例题4 4 图示外伸梁，其抗弯刚度为图示外伸梁，其抗弯刚度为 EIEI，用单位载荷法求用单位载荷法求 C C 点的挠度点的挠度和转角。和转角。13-4 13-4 莫尔定理莫尔定理BAABCa2a1解：解：xAB:（1 1）求截面的挠度（在）求截面的挠度（在 c c 处加一单位力处加一单位力“1 1”）CqF=qaa2aRAx1/2现在学习的是第21页，共32页BC:BC:BAABCa2aCqF=qaa2aRA1/2xx113-4 13-4 莫尔定理莫尔定理现在学习的是第22页，共32页BABCBC:ABAB:(2)(2)求求C C截面的转角截面的转角(在在c c处加一单位力偶）处加一单位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2aRAx1/2（）13-4 13-4 莫尔定理莫尔定理现在学习的是第23页，共32页例题例题5 5 刚架受力如图，求刚架受力如图，求A A截面的垂直位移，水平位移及转角。截面的垂直位移，水平位移及转角。ABCllq13-4 13-4 莫尔定理莫尔定理ABAB：BCBC：解：求解：求A A点铅垂位移（在点铅垂位移（在A A点加竖向单位力）点加竖向单位力）xxxxABCllqABCllq1 1现在学习的是第24页，共32页求求A A点水平位移（在点水平位移（在A A点加水平单位力）点加水平单位力）AB AB：BC BC：xxxxABCllqABCllq1 113-4 13-4 莫尔定理莫尔定理现在学习的是第25页，共32页xx求求A A点的转角（在点的转角（在A A点加一单位力偶）点加一单位力偶）AB AB AB AB：BCBCBCBC：xxABCllqABCllq1（）13-4 13-4 莫尔定理莫尔定理现在学习的是第26页，共32页 2 1 3设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移。设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移。作用有外力：作用有外力：F F1 1，F F2 2，F Fi i，相应的位移为：相应的位移为：1 1，2 2，i i ，13-5 13-5 卡氏定理卡氏定理F1F2F3结构的变形能结构的变形能只给只给F Fi i 一个增量一个增量 F Fi i。引起所有力的作用点沿力方向的位移增引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为量为在作用在作用 F Fi i 的过程中，的过程中，F Fi i 完成的功为完成的功为原有的所有力完成的功为原有的所有力完成的功为结构应变能的增量为结构应变能的增量为现在学习的是第27页，共32页如果把原来的力看作第一组力，而把如果把原来的力看作第一组力，而把 F Fi i 看作第二组力。看作第二组力。根椐互等定理根椐互等定理略去高阶微量略去高阶微量或者或者当当 F Fi i 趋于零趋于零时，上式为时，上式为这就是卡氏定理这就是卡氏定理13-5 13-5 卡氏定理卡氏定理说明说明说明说明(1)(1)卡氏第二定理只适用于线性弹性体卡氏第二定理只适用于线性弹性体 (2)F (2)Fi i 为广义力，为广义力，i i为相应的位移为相应的位移一个力一个力一个力偶一个力偶一对力一对力一对力偶一对力偶一个线位移一个线位移一个角位移一个角位移相对线位移相对线位移相对角位移相对角位移现在学习的是第28页，共32页(3)(3)卡氏第二定理的应用卡氏第二定理的应用 轴向拉、压轴向拉、压 扭转扭转 弯曲弯曲13-5 13-5 卡氏定理卡氏定理 平面桁架平面桁架 组合变形组合变形现在学习的是第29页，共32页 例题例题6 6 外伸梁受力如图所示，已知弹性模量外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EIEI.梁材料为线弹梁材料为线弹 性体。求梁性体。求梁C C截面的挠度和截面的挠度和A A截面的转角。截面的转角。FABCMelaR RA A13-5 13-5 卡氏定理卡氏定理ABAB：BCBC：解：解：（）现在学习的是第30页，共32页例题例题7 7 刚架结构如图所示，弹性模量刚架结构如图所示，弹性模量EIEI已知。材料为线弹性。不考虑已知。材料为线弹性。不考虑轴力和剪力的影响，计算轴力和剪力的影响，计算C C截面的转角和截面的转角和D D截面的水平位移。截面的水平位移。ABCDaa2aMe解解:在在C C截面虚设一力偶截面虚设一力偶 M Mc c,在在D D截面虚设一水平力截面虚设一水平力F F。FRDFRAxFRAyMcFCD:CB:13-5 13-5 卡氏定理卡氏定理现在学习的是第31页，共32页xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAyAB:（）McF13-5 13-5 卡氏定理卡氏定理现在学习的是第32页，共32页