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第16章机械振动现在学习的是第1页，共30页本章内容ContentsChapter 16简谐振动的特征及其描述简谐振动的特征及其描述characteristics and description of simple harmonic oscillation(SHO)简谐振动的能量简谐振动的能量energy of SHO superposition of SHO简谐振动的合成简谐振动的合成现在学习的是第2页，共30页机械振动 物体在它的平衡位置附近所作的往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。物体发生机械振动的条件：物体受到始终指向平衡位置的回复力；物体具有惯性。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。简谐振动（simple harmonic oscillation)是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。这里主要讨论简谐振动。现在学习的是第3页，共30页动力学特征以物体受力为零的平衡位置为坐标原点水平光滑面，弹簧劲度 质量可忽略，物体质量物体在任一位置受的弹性力以铅垂方向 为摆角参考轴线，单摆在任一角位置 所受的重力矩为则取摆幅很小（A）弹簧振子（B）单 摆X正X向反X向现在学习的是第4页，共30页续上简谐振动的加速度AA简谐振动的振动方程简谐振动的速度AAA最大最大最大AAA现在学习的是第5页，共30页简谐振动参量XAA振幅 ：的最大绝对值A周期：完成一次振动需时频率：角频率：弹簧振子单 摆AA相位：是界定振子在时刻 的运动状态的物理量运动状态要由位置 和速度 同时描述，而 和 的正负取决于 ，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态AA位置速度初始条件即为初相 ：是时振子的相位。现在学习的是第6页，共30页续上由 和 求给定振子的振幅AAAA消去 得由 和 求给定振子的初相 AAA消去 得（第三象限）且若则若且则且若则且若则（第一象限）（第二象限）（第四象限）但由于在 0 0 2 2p p 范围内，同一正切值对应有两个 值，因此，还必须再根据 和 的正负进行判断。联系振子运动状态直观图不难作出判断现在学习的是第7页，共30页旋转矢量法AAXXOjM(0)Aj初相M(t )twtwM(t )twM(t )twM(t )M(t )twM(t )twM(T)Tw周期 TM(t )twM(t )twXOjM(0)j初相M(t )twA矢量端点在X 轴上的投影对应振子的位置坐标t 时刻的振动相位(w w tj j)旋转矢量A以匀角速逆时针转动循环往复x=A cos(w w tj j)简谐振动方程现在学习的是第8页，共30页 旋转矢量端点 M 的加速度为法向加速度，其大小为wA振子的运动加速度（与 X 轴同向为正）wjtw任一时刻的 和 值，其正负号仅表示方向。同号时为加速异号时为减速A旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动振子的运动速度（与 X 轴同向为正）wA其 速率wAjtwAXAAXOwjtwO现在学习的是第9页，共30页例一-0.040.0412简谐振动的曲线完成下述简谐振动方程A=0.04(m)T=2(s)w w =2 p/p/T T =p p (rad/s)0.04p pp p2Aw w=p p/2 t=0v0 从 t=0 作反时针旋转时，A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，即 ，与 已知 X t 曲线一致。v0SI现在学习的是第10页，共30页例二 试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。平衡点在受力平衡点小球受弹性力大小选取受力平衡点作为位置坐标原点，小球在位置坐标 处所受弹性力为合外力振动方程A动力学方程微分方程的解：均与水平弹簧振子结果相同现在学习的是第11页，共30页例三m=510-3 kgk=210-4 Nm-1 弹簧振子x0=0t=0 时v0=0.4 ms-1完成下述简谐振动方程v0 x0=0已知w w相应的旋转矢量图为v0 km0.2(rad s 1)x0v02(m)20.2(SI)现在学习的是第12页，共30页例四某物体沿 X 轴作简谐运动，振幅 A=0.12 m，周期周期 T=2 s，t=0 时x0=0.06 m处初相 j j ,t=0.5 s 时的位置 x,速度 v,加速度 a物体背离原点移动到位置A=0.12 m，T=2 s,w w =2p/p/T=p p rad s-1,将j j=p/3 p/3 rad 及 t=0.5 s 代入谐振动的 x,v,a 定义式得x A cos(w w tj j )0.104(m)A0.19(m s-1)A1.03(m s-2)x=A cos(w w tj j )由简谐振动方程t=0 时0.06=0.12 cos j j 得 j j=p/3p/3再由题意知 t=0 时物体正向运动，即A0且j j=p/3p/3，则 j j 在第四象限，故取现在学习的是第13页，共30页例五周期均为 T=8.5s 用旋转矢量法两质点振动相位差两质点第一次通过平衡点的时刻两质点 1、2同在 X 轴上作简谐振动t=0 时 在 处 质点2 AA向平衡点运动质点1在 处向平衡点运动振幅 A 相同从旋转矢量图可以看出：时，质点1第一次通过平衡点A转过1.06(s)A转过时，质点2第一次通过平衡点2.13(s)Acos Acos 或因且在第一象限应取Acos Acos 两质点振动相位差AA现在学习的是第14页，共30页8.18.1energy of simple harmonic oscillation 第二节 振动能量（以x x=0 0处为零势点）系统的 动能A系统的 势能A系统的 机械能AA振子运动速度AA简谐振动方程振动系统：弹簧劲度振子质量振动角频率如 水平弹簧振子均随时间而变且能量相互转换变到最大时变为零系统的机械能守恒。及A变为零变到最大时时 间能 量振动能量现在学习的是第15页，共30页例六一水平弹簧振子弹簧劲度振子质量振幅 A沿 X X 轴振动 当振动系统的以平衡点为原点位置坐标 x 相等时 动能值与势能值 振子的能量位置动能:势能:解得 总能量:A由得A即现在学习的是第16页，共30页机械能机械能守恒，即 为恒量，即例七该摆动系统的机械能守恒数学表达式该摆的运动学微分方程及摆动周期动能 刚体（直棒）转动动能 势能 系统的重力势能以垂态直棒中心点 C 为重力零势点令得 简谐角振动微分方程该摆的振动周期匀质细直悬棒质量 m、长 L在铅直面内摆动摆幅很小转动惯量现在学习的是第17页，共30页随堂小议（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振动，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，倍，则其总能量将变为则其总能量将变为现在学习的是第18页，共30页小议链接1（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振动，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，倍，则其总能量将变为则其总能量将变为现在学习的是第19页，共30页小议链接2（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振动，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，倍，则其总能量将变为则其总能量将变为现在学习的是第20页，共30页小议链接3（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振动，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，倍，则其总能量将变为则其总能量将变为现在学习的是第21页，共30页小议链接4（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振动，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，倍，则其总能量将变为则其总能量将变为现在学习的是第22页，共30页8.28.2且 相同同在 X X 轴合成振动用旋转矢量法可求得合成振动方程与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用振动合成现在学习的是第23页，共30页续上合振动分振动；其中，合振幅若则为合振幅可能达到的最大值若则若为其它值，则 处于与之间若则为合振幅可能达到的最小值若则现在学习的是第24页，共30页例八0.050.060.07简谐振动(SI)(SI)(SI)合成的和合成的 最大时合成的 最小时8.9210 2(m)2.5068 12248 12(舍去）时当得合成的 达到最小当时合成的 达到最大得现在学习的是第25页，共30页随堂小议结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案（1 1）0；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为(SI)则其合振动的振幅为则其合振动的振幅为（3 3）4 cm；x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2现在学习的是第26页，共30页小议链接1（1 1）0；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2(SI)则其合振动的振幅为则其合振动的振幅为（3 3）4 cm；现在学习的是第27页，共30页小议链接2（1 1）0；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为（3 3）4 cm；(SI)则其合振动的振幅为则其合振动的振幅为x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2现在学习的是第28页，共30页小议链接3（1 1）0；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为（3 3）4 cm；(SI)则其合振动的振幅为则其合振动的振幅为x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2现在学习的是第29页，共30页小议链接4（1 1）0；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为（3 3）4 cm；(SI)则其合振动的振幅为则其合振动的振幅为x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2现在学习的是第30页，共30页
