第八九章方差分析优秀PPT.ppt

第八九章方差分析第一页，本课件共有128页第一节第一节 单因素方差分析单因素方差分析(one-factoranalysisofvariance)一、一、一般概念及两种不同的处理效应一般概念及两种不同的处理效应方差分析方差分析是一类特定情况下的统计假设是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。种引伸。t 检验可以判断两组数据平均数的检验可以判断两组数据平均数的差异的显著性，差异的显著性，而方差分析则可以同时判断而方差分析则可以同时判断多组数据平均数之间的差异的显著性。当然，多组数据平均数之间的差异的显著性。当然，在多组数据的平均数之间做比较时，可以在平在多组数据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所有对之间做均数的所有对之间做 t 检验。但这样做会提高检验。但这样做会提高犯犯型错误的概率，因而是不可取的。型错误的概率，因而是不可取的。第二页，本课件共有128页例例如如，我我们们打打算算用用一一对对一一对对地地比比较较的的方方法法检检验验5个个平平均均数数之之间间的的相相等等性性，共共需需检检验验C2510对对。假假设设每每一一对对检检验验接接受受零零假假设设的的概概率率都都是是10.95，而而且且这这些些检检验验都都是是独独立立的的，那那么么10对对都都接接受受的的概概率率是是(0.95)100.60。10.600.40，犯犯型型错错误误的的概概率率明明显显增增加加。用用方方差差分分析析的的方方法法做做检检验验可可以以防防止止上上述述问问题题的的出出现现。方方差差分分析析的的内内容容很很广广泛泛，上上面面讲讲到到的的那那种种情情况况是是方方差差分分析析中中最最简简单单的的情情况况，称称为为单单因因素素方方差差分分析析或或者者称称为为一一种种方方式式分分组组的的方方差差分分析析(one-way classificationanalysisofvariance)。第三页，本课件共有128页例例2.1调调查查了了5个个不不同同小小麦麦品品系系的的株株高高，结结果列于表果列于表21。在这个例子中，只出现在这个例子中，只出现“品系品系”这样一个这样一个因素因素(factor)，故称单因素。共有，故称单因素。共有5个不同的品系，个不同的品系，我们称品系这一因素共有我们称品系这一因素共有5个水平个水平(level)。5个品系个品系可以认为是可以认为是5个总体，表个总体，表24的数据是从的数据是从5个总体个总体中抽出的中抽出的5个样本，通过比较这个样本，通过比较这5个样本，判断这个样本，判断这5个个总体是否存在差异。总体是否存在差异。表表215个小麦品系株高调查结果个小麦品系株高调查结果株号株号株株 高高12345和和64.665.364.866.065.8326.564.565.364.663.763.9322.076.866.367.166.868.5336.571.872.170.069.171.0354.069.268.269.868.367.5343.0平均数平均数65.364.467.370.868.6第四页，本课件共有128页例例2.2为了探讨不同窝的动物的出生重是否存在差异，为了探讨不同窝的动物的出生重是否存在差异，随机选取随机选取4窝动物，每窝中均有窝动物，每窝中均有4只幼仔，结果如下：只幼仔，结果如下：表表224窝动物的出生重（克）窝动物的出生重（克）动物号动物号窝窝别别1234和和34.733.326.231.6125.833.226.028.632.3120.127.123.327.826.7104.932.931.425.728.0118.0平均数平均数31.45030.02526.22529.500通过对以上数据的分析，判断不同窝别动物出生通过对以上数据的分析，判断不同窝别动物出生重是否存在差异。重是否存在差异。第五页，本课件共有128页以上两个例子的共同点是：每个实验都只有一个因素，以上两个例子的共同点是：每个实验都只有一个因素，该因素有该因素有a个水平或称为有个水平或称为有a个处理个处理(treatment)，这样的，这样的实验称为单因素实验。实验称为单因素实验。从单因素实验的每一处理所得到从单因素实验的每一处理所得到的结果都是一随机变量的结果都是一随机变量X i。对于。对于a个处理，各重复个处理，各重复n次次（或者说做（或者说做n次观察）的单因素方差分析的一般化表示次观察）的单因素方差分析的一般化表示方法见表方法见表23。表表23单因素方差分析的典型数据单因素方差分析的典型数据X1X2X3 X i X a 123：j nx11 x12x13：x1j：x1nx21 x22x23：x2j：x2nx31 xi1 xa1x32 xi2 xa2x33 xi3 xa3：x3j xij xaj：x3n xin xan平均数平均数x1 x2 x3 xi xa 第六页，本课件共有128页表表中中的的数数据据xij，表表示示第第i 次次处处理理下下的的第第j次次观观察值。其中的察值。其中的n个符号做如下说明：个符号做如下说明：用用“”表示下标的和，使用时很方便，在表示下标的和，使用时很方便，在以后会经常遇到。以后会经常遇到。第七页，本课件共有128页单因素方差分析的基本原理核心思想第八页，本课件共有128页单因素方差分析的基本原理单因素方差分析的基本原理 单因素方差分析是研究一个因素的变化对试验指标的影响单因素方差分析是研究一个因素的变化对试验指标的影响是否显著的统计分析方法。是否显著的统计分析方法。设因素设因素A有有r个水平个水平 在水平在水平 下下进行进行 次独立试验，试验记录如表次独立试验，试验记录如表9-2 表表 9-2 独立试验记录表独立试验记录表 样本水平第九页，本课件共有128页 其中其中 表示第表示第i水平水平 进行第进行第j次试验的可能结果。次试验的可能结果。假设，假设，。待检假设为：。待检假设为：不全相等。不全相等。如果如果 成立，那么成立，那么r个总体间无显著差异，即是说因素个总体间无显著差异，即是说因素A对试对试验结果的影响不显著，所有验结果的影响不显著，所有 可视为来自同一个总体可视为来自同一个总体 ,各各 间的差异只是由随机因素引起的。若间的差异只是由随机因素引起的。若 不成立，则在不成立，则在 所有的所有的总变差中，除随机波动引起的变差外，还应包括由于因素总变差中，除随机波动引起的变差外，还应包括由于因素A的不同的不同水平作用产生的差异。如果不同水平作用产生的差异比随机因素引水平作用产生的差异。如果不同水平作用产生的差异比随机因素引起的差异大得多，就认为因素起的差异大得多，就认为因素A对试验结果有显著影响，否则就认对试验结果有显著影响，否则就认为因素为因素A对试验的影响不显著。为此可在总变差中先将这两种差异对试验的影响不显著。为此可在总变差中先将这两种差异分开，然后进行比较。分开，然后进行比较。第十页，本课件共有128页记记 (9-1)称称 为第为第i组的样本均值，组的样本均值，为样本总均值。再记为样本总均值。再记 (9-2)称为总离差平方和。我们将称为总离差平方和。我们将 分解如下：分解如下：(9-3)其中，其中，(9-4)第十一页，本课件共有128页 是组间平方和，反映了不同水平作用产生的差异大是组间平方和，反映了不同水平作用产生的差异大小；小；是组内平方和，反映的是水平内部，或组内观测是组内平方和，反映的是水平内部，或组内观测值的离散状况，它实质上是随机因素带来的影响。值的离散状况，它实质上是随机因素带来的影响。在在 成立的条件下，由抽样分布定理，我们可以得到：成立的条件下，由抽样分布定理，我们可以得到：(9-5)且且 与与 独立独立 第十二页，本课件共有128页 若组间差异比组内差异大得多，则说明因素的不同水平间有显若组间差异比组内差异大得多，则说明因素的不同水平间有显著差异，应拒绝著差异，应拒绝 。否则，说明因素各水平之间的差异不显著，。否则，说明因素各水平之间的差异不显著，可接受可接受 。为此，选取统计量。为此，选取统计量 (9-6)当当 为真时，由为真时，由F分布的定义知，统计量分布的定义知，统计量 (9-7)如果因素如果因素A的各水平对总体的影响由显著差异，那么的各水平对总体的影响由显著差异，那么 相对较相对较大，因而大，因而F也较大。由此可见，对于给定的显著性水平也较大。由此可见，对于给定的显著性水平 ，拒绝域，拒绝域为为 (9-8)第十三页，本课件共有128页 计算结果列成表，称为方差分析表（见表计算结果列成表，称为方差分析表（见表93）。）。表表 9-3 单因素方差分析表单因素方差分析表 方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度F F值值F F的临界值的临界值组组 间间r-1r-1组组 内内n-rn-r总总 和和n-1n-1第十四页，本课件共有128页常用如下的所谓常用如下的所谓线性统计模型线性统计模型(linearstatisticalmodel)描述每一个观察值：描述每一个观察值：其其中中：xij 是是在在第第i水水平平（处处理理）下下的的第第 j次次观观察察值值。是是对对所所有有观观察察值值的的一一个个参参量量，称称为为总总平平均均数数(overallmean)。i是是仅仅限限于于对对第第 i次次处处理理的的一一个个参参量量，称称为为第第i次次处处理理效效应应(treatmenteffect)。方方差差分分析析的的目目的的，就就是是要要检检验验处处理理效效应应的大小或有无。的大小或有无。e eij是随机误差成份。是随机误差成份。第十五页，本课件共有128页上述模型中，包括两类不同的处理效应。第一上述模型中，包括两类不同的处理效应。第一类处理效应称为类处理效应称为固定效应固定效应(fixedeffect)，它是由，它是由固定固定因素因素(fixedfactor)所引起的效应。若因素的所引起的效应。若因素的a个水个水平是经过特意选择的，则该因素称为固定因素。平是经过特意选择的，则该因素称为固定因素。例如，几个不同的实验温度，几个不同的化学药例如，几个不同的实验温度，几个不同的化学药物或一种药物的几种不同浓度，几个作物品种以物或一种药物的几种不同浓度，几个作物品种以及几个不同的治疗方案和治疗效果等。及几个不同的治疗方案和治疗效果等。第十六页，本课件共有128页在这些情况中，因素的水平是特意选择的，所检在这些情况中，因素的水平是特意选择的，所检验的是关于验的是关于ai 的假设，得到的结论只适合与方差分析中的假设，得到的结论只适合与方差分析中所考虑的那几个水平，并不能将其结论扩展到未加考虑所考虑的那几个水平，并不能将其结论扩展到未加考虑的其它类似水平上。所以上述的那些因素：温度、药物、的其它类似水平上。所以上述的那些因素：温度、药物、品种等，称为固定因素。处理这样的因素所用的模型称品种等，称为固定因素。处理这样的因素所用的模型称为为固定效应模型固定效应模型（fixedeffectmodel）。例）。例2.1中的中的5个小麦品系是特意选择的，目的是从这个小麦品系是特意选择的，目的是从这5个品系中，选出个品系中，选出最优者，因而最优者，因而“品系品系”这个因素属于固定因素，所用这个因素属于固定因素，所用的模型是固定效应模型。的模型是固定效应模型。第十七页，本课件共有128页第二类处理效应称为第二类处理效应称为随机效应随机效应（ran-domeffect），它是由它是由随机因素随机因素（randomfactor）所引起的效应。若因素）所引起的效应。若因素的的a个水平，是从该因素全部水平的总体中随机抽出的样本，个水平，是从该因素全部水平的总体中随机抽出的样本，则该因素称为随机因素。从随机因素的则该因素称为随机因素。从随机因素的a个水平所得到的结个水平所得到的结论，可以推广到这个因素的所有水平上。处理随机因素所用论，可以推广到这个因素的所有水平上。处理随机因素所用的模型称为的模型称为随机效应模型随机效应模型（randomeffectmo-del）。例）。例2.2的动物窝别，是从动物所有可能的窝别中随机选出来的，的动物窝别，是从动物所有可能的窝别中随机选出来的，实验的目的是考查在窝别之间，出生重是否存在差异，因而实验的目的是考查在窝别之间，出生重是否存在差异，因而“窝别窝别”是随机因素。是随机因素。第十八页，本课件共有128页有时固定因素和随机因素很难区分，除上述有时固定因素和随机因素很难区分，除上述所讲的原则外，还可以从另一角度鉴别。所讲的原则外，还可以从另一角度鉴别。固定固定因素因素是指因素水平，可以严格地人为控制是指因素水平，可以严格地人为控制。在水平固定之后，它的效应值也是固定的。例如，在水平固定之后，它的效应值也是固定的。例如，研究三种温度对胰蛋白酶水解产物的影响。因为温研究三种温度对胰蛋白酶水解产物的影响。因为温度水平是可以严格控制的，即每一温度水平，在各度水平是可以严格控制的，即每一温度水平，在各个重复之间都可以准确地控制在一个固定值上，所个重复之间都可以准确地控制在一个固定值上，所以在重复该实验时，水解产物的产量也是固定的。以在重复该实验时，水解产物的产量也是固定的。简单地说，在水平（不同温度）固定以后，其效应简单地说，在水平（不同温度）固定以后，其效应值（产量）也是固定的。因此，温度是固定因素。值（产量）也是固定的。因此，温度是固定因素。第十九页，本课件共有128页随机因素随机因素的水平的水平是不能严格地人为控制的是不能严格地人为控制的，在水平确，在水平确定之后，它的效应值并不固定。例如，在研究不同农家肥施用定之后，它的效应值并不固定。例如，在研究不同农家肥施用量对作物产量的影响试验中，农家肥是因素，不同施用量是该量对作物产量的影响试验中，农家肥是因素，不同施用量是该因素的不同水平，作物的产量是它的效应值。由于农家肥的有因素的不同水平，作物的产量是它的效应值。由于农家肥的有效成份很复杂，不能像控制温度那样，将农家肥的有效成份严效成份很复杂，不能像控制温度那样，将农家肥的有效成份严格地控制在某一个固定值上。在重复试验时即使施以相同数量格地控制在某一个固定值上。在重复试验时即使施以相同数量的肥料，也得不到一个固定的效应值。即在因素的水平（施肥的肥料，也得不到一个固定的效应值。即在因素的水平（施肥量）固定之后，它的效应值（产量）并不固定，因而农家肥是量）固定之后，它的效应值（产量）并不固定，因而农家肥是一随机因素。一随机因素。第二十页，本课件共有128页二、二、固定效应模型固定效应模型在固定效应模型中，在固定效应模型中，a ai 是处理平均数与总是处理平均数与总平均数的离差，且是个常量，因而平均数的离差，且是个常量，因而 要检验要检验a个处理效应的相等性，就要个处理效应的相等性，就要a ai 判断各判断各是否等于是否等于0。若各。若各a ai 都等于都等于0，则各处理效应之间，则各处理效应之间无差异。因此，零假设为：无差异。因此，零假设为：备备择择假假设设为为：HA：a ai0（至至少少有有1个个i）。若若接接受受H0，则则不不存存在在处处理理效效应应，每每个个观观察察值值都都是是由由平平均均数数加加上上随随机机误误差差所所构构成成。若若拒拒绝绝H0，则则存存在在处处理理效效应应，每每个个观观察察值值是是由由总总平平均均数数、处处理理效效应应和和误误差三部分构成。差三部分构成。第二十一页，本课件共有128页方差分析的基本思想方差分析的基本思想，就是将总的变差分，就是将总的变差分解为构成总变差的各个部分。对单因素实验，解为构成总变差的各个部分。对单因素实验，可以将总平方和（可以将总平方和（totalsumofsqua-res）做如）做如下分解：下分解：对于每个固定的对于每个固定的xi，第二十二页，本课件共有128页因此，因此，（23）式式表表示示度度量量全全部部数数据据变变差差的的总总平平方方和和，可可以以分分解解为为处处理理平平均均数数与与总总平平均均数数之之间间离离差差的的平平方方和和，处处理理内内部部观观察察值值与与处处理理平平均均数数之之间间离离差差的的平平方方和和两两部部分分。处处理理平平均均数数与与总总平平均均数数之之间间的的离离差差，度度量量了了处处理理之之间间的的差差异异；而而处处理理内内部部观观察察值值与与处处理理平平均均数数之之间间的的离离差差，度度量量了了随随机误差的大小。机误差的大小。第二十三页，本课件共有128页用用SST表示表示总平方和总平方和，用用SSA表表示示（23）等等号号右右边边第第一一项项，称称为为处处理理平平方方和和（treatmentssumofsquares）或或称称为为处处理理间间平方和平方和（sumofsquaresbetweentreatments）。）。第二十四页，本课件共有128页用用SSe表示（表示（23）等号右边第二项，称为）等号右边第二项，称为误差平误差平方和方和（errorsumofsquares）或称为）或称为处理内平处理内平方和方和（sumofsquareswithintreatments）。因此：）。因此：自自由由度度可可以以做做同同样样的的分分割割：SST具具an1自自由由度度dfTan1；A因因素素工工有有a水水平平，因因而而SSA有有a1自自由由度度dfAa1；SSe有有ana自自由由度度，这这是是因因为为每每一一处处理理均均有有n1自自由由度度，共共有有a个个处处理理，因因而而SS e的的自自由由度度为为ana，dfeana。为为了了估估计计s s2，用用SS e除以相应的自由度除以相应的自由度第二十五页，本课件共有128页 MS e称为称为误差均方误差均方（errormeansquare）。）。用类似的方法，可以求出处理均方用类似的方法，可以求出处理均方MSA（treatmentsmeansquare）用用MSA与与MS e比较，就可以反映出比较，就可以反映出a i的大小。的大小。若若MSA与与MS e相差不大，就可以认为各相差不大，就可以认为各a i与与0的差的差异不大，或者说各异不大，或者说各m i之间差异不大。若之间差异不大。若MSA与与MS e超出很多，则认为各超出很多，则认为各m i之间差异是显著的。之间差异是显著的。为此，用为此，用F单侧检验，具单侧检验，具dfA，dfe自由度。自由度。第二十六页，本课件共有128页当当FFa时时，则则可可以以认认为为MSA与与MSe差差异异不不大大，产产生生的的变变差差是是由由随随机机误误差差造造成成的的；接接受受零零假假设设，处处理理平平均均数数之之间间差差异异不不显显著著。当当FFa时时，拒拒绝绝零假设，处理平均数间差异显著。零假设，处理平均数间差异显著。以以上上所所述述可可以以归归纳纳成成方方差差分分析析表表（tableofvarianceanalysis），见表），见表24。表表24单因素固定效应模型方差分析表单因素固定效应模型方差分析表变差来源变差来源平方和平方和自由度自由度均均方方F处理间处理间误差或处理内误差或处理内SSASSea1naaMSAMSeMSAMS e总总和和SSTna1第二十七页，本课件共有128页其中的（其中的（x2n a）通常称为）通常称为校正项校正项（correc-tion），），用用C表示。表示。在实际计算时，通常将在实际计算时，通常将SST和和SSA写成下列形式：写成下列形式：第二十八页，本课件共有128页误差平方和可由（误差平方和可由（213）式求出，）式求出，现现在在用用以以上上各各式式计计算算例例2.1。在在方方差差分分析析中中，为为了了简简化化计计算算同同样样可可以以用用编编码码法法。方方差差分分析析的的编编码码，必必须须将将全全部部数数据据均均减减去去同同一一个个共共同同的的数数。在在例例2.1中中，每一个每一个xij都减去都减去65，列成下表，先计算校正项，列成下表，先计算校正项C再计算再计算第二十九页，本课件共有128页株号株号品品 系系123450.40.30.21.00.80.50.30.41.31.12.81.32.11.83.56.87.15.04.16.04.23.24.83.32.5总总和和x ix 2ixi j1.52.251.933.09.003.411.5132.2529.4329.0841.0174.4618.0324.068.06571308.50277.28第三十页，本课件共有128页将以上结果列成方差分析表将以上结果列成方差分析表(见表见表25)：表表25不同小麦品系株高方差分析表不同小麦品系株高方差分析表变变 差差 来来 源源平平 方方 和和自自 由由 度度均均 方方 F品品 系系 间间误误 差差131.7415.5842032.720.7841.95*总总 和和147.3224*a a0.01当分子自由度为当分子自由度为4，分母自由度为，分母自由度为20时，时，F4，20，0.052.87，F4，20，0.014.43，FF0.01。因此，不同小麦品系的株高差因此，不同小麦品系的株高差异极显著。习惯上用异极显著。习惯上用“*”表示在表示在0.05水平上差异显著，水平上差异显著，用用“*”表示在表示在0.01水平上差异显著，常常称为差异水平上差异显著，常常称为差异“极显著极显著”（highlysignificant）。）。第三十一页，本课件共有128页三、三、随机效应模型随机效应模型在在实实验验中中，经经常常回回遇遇到到某某个个因因素素有有许许多多可可能能的的水水平平，若若参参加加实实验验的的a个个水水平平，是是从从该该因因素素的的水水平平总总体体中中随随机机选选出出的的，那那么么这这一一因因素素称称为为随随机机因因素素。其其方方差差分分析析是是通通过过随随机机选选取取的的a个个水水平平对对该该因因素素的的水水平平总总体体做做推推断断。要要求求水水平平的的总总体体是是无无暇暇总总体体，即即使使不不是是无无限限总总体体，也也应应相相当当大大，以以至至于于可可以以认认为为是是无无限限总总体体。例例2.2中中动动物物的的“窝窝”是是随随机机因因素素，每每一一窝窝是是一一个个水水平平，这这种种动动物物所所有有的的窝窝构构成成一一水水平平总总体体。从从该该总总体体中中随随机机选选择择4个个水水平平（4窝窝）做做实实验验，实实验验的的目目的的是是希希望望由由这这4窝窝动动物物去去推推断断该该种种动动物物所所有有不不同同的的窝窝别别之之间间幼幼仔仔出出生生重重是是否否存存在在差差异。异。第三十二页，本课件共有128页固固定定效效应应模模型型中中a ai0的的假假设设在在这这里里不不再再适适用用。在在随随机机模模型型中中，对对单单个个处处理理效效应应的的检检验验是是无无意意义义的的，所所要要检检验验的的是是关关于于a ai的的变变异异性性的的假假设，因而，设，因而，H0：s sa a20HA：s sa a20如果接受如果接受H0：s sa a20，则表示处理之间没，则表示处理之间没有差异；若拒绝有差异；若拒绝H0而接受而接受HA：s sa a20，则表，则表示处理之间存在差异，方差分析的做法仍然示处理之间存在差异，方差分析的做法仍然是将总平方和分解，是将总平方和分解，第三十三页，本课件共有128页自由度做同样分解自由度做同样分解,由此可得出由此可得出MSA和和MSe。然后用然后用F 单侧检验单侧检验（具（具dfA，dfe自由度），自由度），方差分析的程序与固定效应模型的方差分析程序方差分析的程序与固定效应模型的方差分析程序完全一样，但是结论不同。随机效应模型适用于全部完全一样，但是结论不同。随机效应模型适用于全部水平的总体，而固定效应模型只适用于所选水平的总水平的总体，而固定效应模型只适用于所选水平的总体。下面计算例体。下面计算例2.2，并对结果加以解释。将表，并对结果加以解释。将表22中的每一个数值都减去中的每一个数值都减去30，列成下表，列成下表，第三十四页，本课件共有128页4.73.22.92.93.34.06.71.43.81.42.24.31.62.33.32.0总总和和c ci5.800.1015.102.00c c2i33.640.01228.014.00c c2i j49.9833.4969.0332.8611.20265.66185.36第三十五页，本课件共有128页将上述结果列成方差分析表：将上述结果列成方差分析表：表表26动物出生重方差分析动物出生重方差分析变变差差来来源源平平方方和和自自由由度度均均方方F窝窝别别误误差差58.575118.94531219.5259.9121.97总总和和177.5215查表得知，查表得知，F3，12，0.053.49，因因FF0.05，所以差异不显著。通过对所以差异不显著。通过对4窝动物出生重的调查，窝动物出生重的调查，可以推断不同窝别动物的出生重没有显著差异。可以推断不同窝别动物的出生重没有显著差异。第三十六页，本课件共有128页四、四、多重比较（多重比较（multiplecomparison）假假设设对对一一个个固固定定效效应应模模型型经经过过方方差差分分析析之之后后，结结论论是是拒拒绝绝H0，处处理理之之间间存存在在差差异异。但但这这并并不不说说在在每每对对处处理理之之间间都都存存在在差差异异。为为了了弄弄清清究究竟竟在在哪哪些些对对之之间间存存在在显显著著差差异异，哪哪些些对对之之间间无无显显著著差差异异，必必须须在在个个处处理理平平均均数数之之间间一一对对一一对对地地做做比比较较，这这就就是是多多重重比比较较。多多重重比比较较的的方方法法很很多多，这这里里只只介介绍绍LSD法和法和Duncan法。法。LSD称为称为最小显著差数最小显著差数（leastsignificantdifference），），它的计算方法简述如下。它的计算方法简述如下。第三十七页，本课件共有128页对于任意两组数据的平均数，差数（对于任意两组数据的平均数，差数（x1x2）的差异显著性检验，可以用成组数据）的差异显著性检验，可以用成组数据t 检检验，验，当当n1n2时时第三十八页，本课件共有128页其中其中MSe为误差均方，为误差均方，n为每一处理的观察为每一处理的观察次数，于是次数，于是具具anana a自由度，当自由度，当t tt t0.050.05时差异显著，当时差异显著，当 t tt t0.010.01时差异极显著。因此，当差异显著时时差异极显著。因此，当差异显著时 第三十九页，本课件共有128页并可得到，当并可得到，当时时差差异异显显著著。t0.052MSen称称为为最最小小显显著著差差数数，记记为为LSD。每每一一对对平平均均数数的的差差与与LSD比比较较，当当x1x2LSD时，差异显著；否则差异不显著。时，差异显著；否则差异不显著。LSD是一种很有用的检验方法，计算起来很方便，是一种很有用的检验方法，计算起来很方便，也容易比较。但是它有难以克服的缺点，即这种比较方也容易比较。但是它有难以克服的缺点，即这种比较方法将会加大法将会加大型错误的概率。型错误的概率。第四十页，本课件共有128页为为了了克克服服上上述述缺缺点点，Duncan（1955）提提出出了了Duncan多多范范围围检检验验（Duncanmultipletest）。检验方法如下：检验方法如下：首先，将需要比较的首先，将需要比较的a个平均数依次排列好，个平均数依次排列好，使之使之并将每一对并将每一对 x之间的差（范围）列成下表之间的差（范围）列成下表aa1321x1xax1xa1x1x3x1x22x2xax2xa1x2x3 a2xa2xaxa2xa1a1xa1xa注：表中的注：表中的x 均为均为x第四十一页，本课件共有128页Duncan检验与检验与LSD的一个明显不同是的一个明显不同是Duncan检验中，不同对平均数的差有不同的临界检验中，不同对平均数的差有不同的临界值值Rk。其中其中第四十二页，本课件共有128页 rara（k，df）的值可以从附表）的值可以从附表“多重比多重比较中的较中的Duncan表表”中查出：表的最左边一列中查出：表的最左边一列是误差自由度是误差自由度dfa（n1），最上一列为），最上一列为k值，值，表体为表体为ra(k,df)。表中的。表中的 k值是相比较的两个平值是相比较的两个平均数之间所包含的平均数的个数。如两个要比较均数之间所包含的平均数的个数。如两个要比较的平均数相邻时的平均数相邻时k2，两个要比较的平均数中，两个要比较的平均数中间隔一个平均数时间隔一个平均数时k3，依此类椎。因为平均，依此类椎。因为平均数共有数共有a个，所以需查出个，所以需查出a一一1个个ra，分别乘以，分别乘以S，得：，得：第四十三页，本课件共有128页先从表的第一行最左边的一个差先从表的第一行最左边的一个差x1xa开始比较。若开始比较。若x1xaRa，则则x1与与xa的差异显著；否则差异不显著，然后比较的差异显著；否则差异不显著，然后比较下一个。若下一个。若x1xa1R a一一1，则，则x1与与xa1差异显著，否则差差异显著，否则差异不显著，异不显著，。第一行比较完之后用同样的方法比较第。第一行比较完之后用同样的方法比较第二行。先从第二行最左边的一个差二行。先从第二行最左边的一个差x2xa开始，在开始，在x2到到xa这个这个范围内共包含范围内共包含a1个平均数，因此个平均数，因此x2xa应与应与R a1比较，若比较，若x2xaR a1，则差异显著，否则不显著，则差异显著，否则不显著，。第二。第二行比较完再比较第三行，第四行，行比较完再比较第三行，第四行，。直到所有平。直到所有平均数的差均与其相应的均数的差均与其相应的R k比较完为止。对于显著的标上比较完为止。对于显著的标上“*”，极显著的标上，极显著的标上“*”。第四十四页，本课件共有128页下下面面比比较较例例2.1中中各各平平均均数数的的差差数数。首首先先将将各各平均数按次序排列好。平均数按次序排列好。品系号品系号VIIIIII平均数平均数70.868.667.365.364.4顺序号顺序号12345再列成下表再列成下表54321x1x56.4*x1x45.5*x1x33.5*x1x22.2*2x2x54.2*x2x43.3*x2x31.3*3x3x52.9*x3x42.0*4x4x50.9注：表中的注：表中的x 应是应是x第四十五页，本课件共有128页临界值也列成表格。表临界值也列成表格。表25已给出，误差已给出，误差均方均方MSe 0.78，n5，于是，于是，对于对于k2，3，4，5，dfa（n一一1）5（51）20，分别求出，分别求出r0.05和和r0.01的的Rk值并列成表：值并列成表：dfkr0.05Rk r0.01Rk2023452.951.1653.101.2253.181.2563.251.2844.021.5884.221.6674.331.7104.401.738第四十六页，本课件共有128页首先用首先用0.05水平做检验。水平做检验。x1x5与与R5，比较比较x1x56.4R51.28，因此，因此x1与与x5差异是差异是显著的，在显著的，在6.4上打一个上打一个“*”。x1xR，在在5.5上打一个上打一个“*”，第一行全部是显著的。第一行全部是显著的。然后比较第二行。然后比较第二行。x2x54.2R41.256，第二行也都是显著的。第三行的两对也都是显著第二行也都是显著的。第三行的两对也都是显著的。只的。只x4与与x5的差不显著。对于显著的差数再的差不显著。对于显著的差数再以以0.01的水平做检验。除的水平做检验。除x2x3之外，全都之外，全都达到极其显著，对于极其显著的标上两个达到极其显著，对于极其显著的标上两个“*”。以上全部工作完成之后，便可一眼看出两两平均以上全部工作完成之后，便可一眼看出两两平均数之间的差异的显著程度。数之间的差异的显著程度。第四十七页，本课件共有128页五、五、方差分析应具备的条件方差分析应具备的条件1可可加加性性：每每个个处处理理效效应应与与误误差差效效应应是是可可加加的的，xijiij。为为总总体体平平均均数数，i为为第第i处处理理效效应应，ij为为误误差差效效应应。由由于于有有这这一一假假定定，不不同同的的效效应应才才能能被被分分解解，才才能能最最终终判判断断处处理理效效应是否比误差笋应更显著。应是否比误差笋应更显著。2正态性正态性：实验误差应当是服从正态分布：实验误差应当是服从正态分布N（0，2）的独立随机变量。若实验误差之间可）的独立随机变量。若实验误差之间可能存在某些关联时，可以采用随机化的方法破坏。能存在某些关联时，可以采用随机化的方法破坏。第四十八页，本课件共有128页3方方差差齐齐性性：各各处处理理的的误误差差方方差差应应具具备备齐齐性性，它它们们有有一一个个公公共共的的总总体体方方差差2，或或者者说说各各处处理理的的总总体体方方差差必必须须一一致致。一一般般来来说说，在在方方差差分分析析之前，应先做方差齐性检验。之前，应先做方差齐性检验。对于生物学数据来说，大多数都能满足以上对于生物学数据来说，大多数都能满足以上要求，有时也可能不能满足的。所以，在方差分析要求，有时也可能不能满足的。所以，在方差分析前，应先做方差齐性检验。如果有些条件不能满足，前，应先做方差齐性检验。如果有些条件不能满足，就需要对数据做适当的变换后再分析。数据变换将就需要对数据做适当的变换后再分析。数据变换将在第四节中讲述。在第四节中讲述。第四十九页，本课件共有128页六、多个方差齐性的检验六、多个方差齐性的检验（testforhomogeneityofseveralvariances）方方差差分分析析的的一一个个重重要要条条件件，就就是是各各处处理理组组的的总总体体方方差差必必须须一一致致。因因此此在在做做方方差差分分析析之之前前，首首先要对以下假设做检验。先要对以下假设做检验。H0：s s21s s22s s2a HA：至少有两个至少有两个s s2i不相等不相等对于多个方差的齐性做检验，用得最广对于多个方差的齐性做检验，用得最广泛的是泛的是Bartlett检验法。检验法。Bartlett检验法的基本原检验法的基本原理是：当理是：当a个随机样本是从独立正态总体中抽个随机样本是从独立正态总体中抽取时，可以计算出统计量取时，可以计算出统计量K2。当。当nminni充分充分大时（大时（n3），），K2的抽样分布非常接近于的抽样分布非常接近于a一一1自由度的自由度的2分布。检验的统计量：分布。检验的统计量：第五十页，本课件共有128页其中其中第五十一页，本课件共有128页S2i（i1，2，a）是是第第i个个总总体体的的样样本本方方差差，N是是所所有有测测定定值值的的个个体体数数目目，a是是样样本本数数目目，ni是是第第i个个样样本本的的重重复复次次数数。当当样样本本方方差差S2i变变异异很很大大时时，q值值也也很很大大；当当S2i相相等等时时，q值值等等于于0。因因此此，当当K2值相当大，以至于值相当大，以至于K22a一一1，a时时，拒拒绝绝H0，接接受受HA，方方差差不不具具有齐性；有齐性；K22a一一1，a时时，接接受受H0，拒拒绝绝HA，方方差差具具有有齐性。齐性。已已经经证证明明，当当满满足足正正态态性性的的假假设设时时，Bartlett检检验验是是很很敏敏感感的的。在在正正态态性性假假设设不不能能满满足足时时，不不能使用能使用Bartlett检验。检验。第五十二页，本课件共有128页下下面面用用Bartlett检检验验法法，检检验验例例2.1中中几几个个方方差差的的齐齐性。先计算每个处理的方差（性。先计算每个处理的方差（S2i），得：），得：c c24,0.059.49,K2c c20.05。结论是不能拒绝结论是不能拒绝H0，因而因而方差具有齐性。方差具有齐性。第五十三页，本课件共有128页当各处理样本含量相同时，（当各处理样本含量相同时，（2.19）式可简）式可简化为化为经经Bartlett检验发现各处理