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第六章变异度指标第一页，本课件共有59页第六章第六章 变异度指标变异度指标第二页，本课件共有59页例例17 有甲、乙两个培训班，各有有甲、乙两个培训班，各有10名学员，其年龄名学员，其年龄（岁）形成的数列如下：（岁）形成的数列如下：甲班甲班 19 23 29 35 36 37 44 48 49 60 乙班乙班 30 37 38 38 38 39 39 40 40 41从此例可看出，平均水平掩盖了总体内从此例可看出，平均水平掩盖了总体内部各单位标志值的差异程度，所以，在部各单位标志值的差异程度，所以，在分析实际问题时，除了要反映总体的一分析实际问题时，除了要反映总体的一般水平外，还需要把总体内部各单位标般水平外，还需要把总体内部各单位标志值之间的差异程度反映出来，即需用志值之间的差异程度反映出来，即需用标志变异指标来反映这些问题。标志变异指标来反映这些问题。第三页，本课件共有59页第一节第一节 变异度指标变异度指标一、变异度指标的概念一、变异度指标的概念 变异度指标又称标志变动度指标，是综合反映总体变异度指标又称标志变动度指标，是综合反映总体各单位标志值及其分布的差异程度的指标。各单位标志值及其分布的差异程度的指标。如：七个人的工资分别为：如：七个人的工资分别为：320320元，元，320320元，元，400400元，元，400400元，元，500500元，元，500500元，元，20002000元。元。平均工资为平均工资为634.29634.29元（平均指标元（平均指标 ，集中趋势），集中趋势）最高和最低之差为最高和最低之差为16801680元（变异度指标，内部差异，离元（变异度指标，内部差异，离中趋势）。中趋势）。第四页，本课件共有59页变异指标二变异指标的意义：1、变异指标又称标志变动度，综合反映各个单位标志值差异的程度。2、变异指标能说明总体中各单位标志值之间的差异程度或标志值分布的变异情况，它是说明总体的另一个重要指标。例：A组：65、68、72、75分B组：34、51、95、100分A组的总成绩：280分，平均成绩70分B组的总成绩：280分，平均成绩70分第五页，本课件共有59页3、变异指标在统计分析研究中的作用：变异指标反映总体各单位标志值分布的离中趋势：变异指标可以说明平均指标的代表性程度：标志变异愈大，平均数的代表性愈小；标志变异愈小，平均数的代表性大。例：上例中A组各成绩都接近70分，B组各成绩都离70分远，说明70分在A组相比在B组更能说明学生学习情况。第六页，本课件共有59页二、变异度指标的作用二、变异度指标的作用1 1、衡量平均数代表性的大小衡量平均数代表性的大小 变异度指标值与平均数的代表性大小成反比。变异度指标值与平均数的代表性大小成反比。2 2、衡量现象变动的稳定性和均衡程度。、衡量现象变动的稳定性和均衡程度。变异度指标越小，现象变动的稳定性和均衡程度越高。变异度指标越小，现象变动的稳定性和均衡程度越高。3 3、计算抽样误差和确定样本容量的依据。、计算抽样误差和确定样本容量的依据。第七页，本课件共有59页三、变异度指标的种类三、变异度指标的种类1 1、全距、全距 2 2、四分位差、四分位差 3 3、平均差、平均差 4 4、标准差、标准差 5 5、方差、方差 6 6、离散系数、离散系数 7 7、偏度、偏度 8 8、峰度、峰度掌握它们的计算、特点和适用范围。第八页，本课件共有59页概概念念计计算算特特点点数列中最大值数列中最大值与最小值之差与最小值之差1极差极差（R）R=最大值最大值-最小值最小值优点：容易理解，优点：容易理解，计算方便计算方便缺点：不能反映全部缺点：不能反映全部数据分布状况数据分布状况2平均差平均差（A、D）各标志值与各标志值与均值离差绝均值离差绝对值的算术对值的算术平均平均简单：简单：加权：加权：优点：反映全部数据优点：反映全部数据分布状况分布状况缺点：取绝对值缺点：取绝对值，数字上，数字上不尽合理不尽合理第九页，本课件共有59页概概念念计计算算特特点点各标志值与均值各标志值与均值离差平方的平均。离差平方的平均。方差的平方根方差的平方根（取正根）（取正根）3方差方差（2）和和标准差标准差()优点：反映全部优点：反映全部数据分布状况，数据分布状况，数字上合理。数字上合理。缺点：受计量单位缺点：受计量单位和平均水平影响，和平均水平影响，不便于比较不便于比较4标准标准差系差系数数（V）标准差与均值标准差与均值之商，是无量之商，是无量纲的系数纲的系数简单：简单：加权：加权：优点：适宜不同优点：适宜不同数据集的比较数据集的比较缺点：对数据结构变缺点：对数据结构变化反应不灵敏化反应不灵敏方差（方差（2）和标准差（）和标准差（）是应用最广的标志变异指标）是应用最广的标志变异指标第十页，本课件共有59页第二节第二节 变异度指标的计算变异度指标的计算一、全距一、全距 1 1、全距是总体各单位标志值中最大值与最、全距是总体各单位标志值中最大值与最小值之差，又称极差。小值之差，又称极差。全距全距 R=R=最大值最大值x xmaxmax最小值最小值x xminmin 2 2、优缺：计算简便，意义清楚，反映现象的、优缺：计算简便，意义清楚，反映现象的差异程度较粗略，实用价值甚小。差异程度较粗略，实用价值甚小。第十一页，本课件共有59页标志变异指标的计算标志变异指标的计算全距全距 甲班甲班 19 23 29 35 36 37 44 48 49 60 乙班乙班 30 37 38 38 38 39 39 40 40 41如前面甲乙两培训班学员年龄之例中：如前面甲乙两培训班学员年龄之例中：甲班学员年龄全距甲班学员年龄全距 R=60一一1941（岁）（岁）乙班学员年龄全距乙班学员年龄全距 R41 30 11（岁）（岁）全距这个指标直观、易于理解且计算方便全距这个指标直观、易于理解且计算方便。第十二页，本课件共有59页（二）变异指标的计算方法：评价方法评价方法 全距值越小，标志值越集中，标志变动越小，平均数的全距值越小，标志值越集中，标志变动越小，平均数的代表性越高；代表性越高；全距值越大，标志值越分散，标志变动越大，平均数的全距值越大，标志值越分散，标志变动越大，平均数的代表性越低。代表性越低。第十三页，本课件共有59页二、四分位差二、四分位差1 1、四分位差是四分位数中间两个分位之差。、四分位差是四分位数中间两个分位之差。四分位差四分位差Q=Q=第三个四分位数第三个四分位数Q Q3 3第一个四分位数第一个四分位数Q Q1 1 2 2、优缺：、优缺：反映了中间50%数据的离散程度,不受极端值的影响,可用于衡量中位数的代表性，反映现象的差异程度较粗略和不，反映现象的差异程度较粗略和不全面，实用价值甚小。全面，实用价值甚小。全距和四分位差均只使用部分数据进行计算。第十四页，本课件共有59页四分位数(quartile)1.排序后处于25%和75%位置上的值2.不受极端值的影响3.主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据QLQMQU25%25%25%25%第十五页，本课件共有59页四分位数(位置的确定)原始数据：原始数据：顺序数据顺序数据：第十六页，本课件共有59页数值型数据的中位数(9个数据的算例)【例例】9个家庭的人均月收入数据原始数据原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排排 序序:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位位 置置:1 2 3 4 5 6 7 8 9中位数中位数 1080第十七页，本课件共有59页数值型数据的中位数(10个数据的算例)【例例】：10个家庭的人均月收入数据排排 序序:660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位位 置置:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第十八页，本课件共有59页数值型数据的四分位数数值型数据的四分位数 (9(9个数据的算例个数据的算例)【例例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排排 序序:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位位 置置:1 2 3 4 5 6 7 8 9内内 距：距：1565-815750第十九页，本课件共有59页数值型数据的四分位数(10个数据的算例)【例例】：10个家庭的人均月收入数据排排 序序:660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位位 置置:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第二十页，本课件共有59页顺序数据的四分位数(例题分析)解：解：解：解：Q QL L位置位置=(300)/4 (300)/4=7575 Q QU U位置位置 =(3300)/4(3300)/4 =225225 从从累累计计频频数数看看，Q QL L在在“不不满满意意”这这一一组组别别中中；Q QU U在在“一一般般”这一组别中。因此这一组别中。因此 Q QL L =不满意不满意不满意不满意 Q QU U =一般一般一般一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别回答类别甲城市甲城市户数户数 (户户)累计频数累计频数 非常不满意非常不满意 不满意不满意 一般一般 满意满意 非常满意非常满意2410893453024132225270300合计合计300第二十一页，本课件共有59页三、平均差三、平均差1 1、平均差是总体各单位标志值对其算术平数的离差、平均差是总体各单位标志值对其算术平数的离差绝对值的算术平均数。绝对值的算术平均数。平均差平均差 （简单式）简单式）（加权式）（加权式）2 2、含义明确，计算也较简便，能充分、客观反映总含义明确，计算也较简便，能充分、客观反映总体各单位标志值之间的差异程度，但以绝对值为计算体各单位标志值之间的差异程度，但以绝对值为计算基础不利于进一步的代数运算。基础不利于进一步的代数运算。第二十二页，本课件共有59页平均差(例题分析)某电脑公司销售量数据平均差计算表某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组按销售量分组组中值组中值(Mi)频数频数(fi)14015015016016017017018018019019020020021021022022023023024014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合计合计1202040第二十三页，本课件共有59页平均差(例题分析)含义：每一天的销售量平均数相比，含义：每一天的销售量平均数相比，平均相差平均相差17台台第二十四页，本课件共有59页四、标准差和方差四、标准差和方差1 1、标准差是总体各单位标志值对其算平均、标准差是总体各单位标志值对其算平均数离差平方的算术平均数的平方根又称均方数离差平方的算术平均数的平方根又称均方差或均方根差。差或均方根差。标准差的平方即为方差。标准差的平方即为方差。标准差标准差 （简单式）（简单式）方差方差 第二十五页，本课件共有59页标准差标准差 =（加权式）（加权式）方差方差 2 2、优缺：最常用、最重要的测定变异度指标，计算、优缺：最常用、最重要的测定变异度指标，计算繁杂。繁杂。标准差和方差会经常用到，是重点哦。第二十六页，本课件共有59页（三）标准差（三）标准差标准差是总体各单位标志值对其算术平均数离差标准差是总体各单位标志值对其算术平均数离差的平方的算术平均数的平方根。又称均方差，的平方的算术平均数的平方根。又称均方差，用用 表示表示1、简单标准差、简单标准差如掌握的资料未分组时可用简单标准差来计算，如掌握的资料未分组时可用简单标准差来计算，其计算公式为：其计算公式为：第二十七页，本课件共有59页例例17 有甲、乙两个培训班，各有有甲、乙两个培训班，各有10名学员，名学员，其年龄（岁）形成的数列如下：其年龄（岁）形成的数列如下：甲班甲班 19 23 29 35 36 37 44 48 49 60 乙班乙班 30 37 38 38 38 39 39 40 40 41第二十八页，本课件共有59页例例20 对于为分组资料，仍以甲、乙两班学员的年龄为例，计对于为分组资料，仍以甲、乙两班学员的年龄为例，计算其标准差，见表算其标准差，见表517第二十九页，本课件共有59页由表中资料计算：由表中资料计算：甲班标准差甲班标准差 （岁）（岁）乙班标准差乙班标准差 （岁）（岁）第三十页，本课件共有59页2、加权标准差、加权标准差如掌握的资料为分组资料时，可采用下面公式计算加权如掌握的资料为分组资料时，可采用下面公式计算加权标准差：标准差：式中式中f是各组的权数，其他符号与简单标准差计算式中是各组的权数，其他符号与简单标准差计算式中的意义相同。的意义相同。第三十一页，本课件共有59页例例21对于分组资料：已知甲车间工人的平均日产量对于分组资料：已知甲车间工人的平均日产量42千克，其标准差为千克，其标准差为5.6千克。乙车间工人的产量千克。乙车间工人的产量资料如下，计算乙车间工人的平均日产量及标准差。资料如下，计算乙车间工人的平均日产量及标准差。见表见表518。第三十二页，本课件共有59页乙车间平均产量：乙车间平均产量：（千克）（千克）乙车间标准差：乙车间标准差：（千克）（千克）说明乙车间工人平均日产量的代表性小说明乙车间工人平均日产量的代表性小于甲车间。于甲车间。第三十三页，本课件共有59页 2和和 的简易计算公式的简易计算公式由组方差（或组标准差）求总方差（或总标准差）由组方差（或组标准差）求总方差（或总标准差）平均组内方差平均组内方差组间方差组间方差第三十四页，本课件共有59页（四）标准差系数（离散系数）（四）标准差系数（离散系数）例例22 某车间某小组有某车间某小组有6个工人，分别带了个工人，分别带了1个徒工，个徒工，其日产量（件）数列如下：其日产量（件）数列如下：甲组（甲组（6个工人组）：个工人组）：62 65 70 73 80 82乙组（乙组（6个徒工组）：个徒工组）：8 13 17 19 22 24由以上资料可以算出：由以上资料可以算出：甲组平均数为：甲组平均数为：（件）（件）乙组平均数为：乙组平均数为：（件）（件）第三十五页，本课件共有59页通过观察可以看出甲组标志值变异程度较小，平均通过观察可以看出甲组标志值变异程度较小，平均数更具有代表性，但进一步计算数更具有代表性，但进一步计算甲组标准差为：甲组标准差为：7.97（件）（件）乙组标准差为：乙组标准差为：5.91（件）（件）第三十六页，本课件共有59页计算结果发现。甲组标准差大于乙组标准差，似乎计算结果发现。甲组标准差大于乙组标准差，似乎可得出甲组平均数比乙组平均数代表性差的结论，可得出甲组平均数比乙组平均数代表性差的结论，这与事实不符。究其原因，是因为两数列原有标志这与事实不符。究其原因，是因为两数列原有标志值水平不一样，不能用来判断平均数的代表性。因值水平不一样，不能用来判断平均数的代表性。因此，当两数列标志值水平不一样或计量单位不同时，此，当两数列标志值水平不一样或计量单位不同时，要判断总体各单位标志值的离散程度，评价其平均要判断总体各单位标志值的离散程度，评价其平均数代表性，应进一步计算其标志变异的相对程度，数代表性，应进一步计算其标志变异的相对程度，这个相对指标就是标志变动系数。常见的有全距系这个相对指标就是标志变动系数。常见的有全距系数、平均差系数、标准差系数等，其中最常用的是数、平均差系数、标准差系数等，其中最常用的是离散系数。离散系数。第三十七页，本课件共有59页离散系数是，标准差与其算术平均数对比的相对数，其离散系数是，标准差与其算术平均数对比的相对数，其计算公式为：计算公式为：注意：离散系数常用于不同数列间变异程度(平均数代表性高低、均衡性、稳定性等)的比较。就例就例22，我们来计算离散系数。，我们来计算离散系数。第三十八页，本课件共有59页离散系数(coefficient of variation)1.标准差与其相应的均值之比2.对数据相对离散程度的测度3.消除了数据水平高低和计量单位的影响4.用于对不同组别数据离散程度的比较5.计算公式为第三十九页，本课件共有59页例例2为为比比较较两两个个不不同同城城市市居居民民家家庭庭收收入入的的差差异异程程度度，现现从从甲甲市市任任抽抽100户户，得得其其平平均均年年收收入入是是42000元元，年年收收入入的的标标准准差差是是38060元元；从从乙乙市市任任抽抽150户户，得得其其平平均均年年收收入入是是62000元元，年收入的标准差是年收入的标准差是50980元。元。解：利用离散系数进行比较解：利用离散系数进行比较 甲市：甲市：乙市：乙市：由由于于V乙乙V甲甲，据据上上述述抽抽样样资资料料可可知知，乙乙市市家家庭庭的的收收入入差差异异程程度度低低于于甲市家庭的收入差异程度。甲市家庭的收入差异程度。注意，在这里不能用标准差作比较，否则会得出错误结论。注意，在这里不能用标准差作比较，否则会得出错误结论。第四十页，本课件共有59页离散系数的重要特点是，不受计量单位和标的重要特点是，不受计量单位和标志值水平的影响，消除了不同总体之间在计志值水平的影响，消除了不同总体之间在计算单位、平均水平方面的不可比性。算单位、平均水平方面的不可比性。第四十一页，本课件共有59页偏态与峰态分布的形状扁平分布扁平分布扁平分布扁平分布尖峰分布尖峰分布尖峰分布尖峰分布偏态偏态峰态峰态左偏分布左偏分布左偏分布左偏分布右偏分布右偏分布右偏分布右偏分布与标准正态与标准正态分布比较分布比较！第四十二页，本课件共有59页偏 态第四十三页，本课件共有59页标准差的应用标准差的应用测定分布的偏度测定分布的偏度1.偏度系数偏度系数SK=0SK0SK0(对称分布对称分布)正偏态分布（右）正偏态分布（右）负偏态分布负偏态分布(左）左）第四十四页，本课件共有59页2.偏度系数偏度系数(m3三阶中心矩三阶中心矩)定义定义M=(X-A)k/n为变量为变量X关于关于A的的k阶矩阶矩。当当A=0，即以原点为中心，上式称为，即以原点为中心，上式称为“K阶原点矩阶原点矩”。K=1，2，3时，有：时，有：一阶原点矩一阶原点矩M1=(X-0)1/n=X/n二阶原点矩二阶原点矩M2=(X-0)2/n=X2/n三阶原点矩三阶原点矩M3=(X-0)3/n=X3/n当当A=，即以，即以为中心，上式称为为中心，上式称为“K阶中心矩阶中心矩”。K=1，2，3时，有：时，有：一阶中心矩一阶中心矩二阶中心矩二阶中心矩三阶中心矩三阶中心矩第四十五页，本课件共有59页所以，所以，m3可以测定偏度。为消除量纲，转变为系数，可以测定偏度。为消除量纲，转变为系数，再除以再除以3。0正偏态正偏态第四十六页，本课件共有59页偏态系数(例题分析)某电脑公司销售量偏态及峰度计算表某电脑公司销售量偏态及峰度计算表 按销售量份组按销售量份组(台台)组中值组中值(Mi)频数频数 fi140150150160160170170180180190190200200210210220220230230240145155165175185195205215225235491627201710845-256000-243000-128000-270000170008000021600025600062500010240000729000025600002700000170000160000064800001024000031250000合计合计120540000 70100000 第四十七页，本课件共有59页偏态系数(例题分析)结论：结论：结论：结论：偏态系数为正值，但与偏态系数为正值，但与0的差异不大，说明电脑的差异不大，说明电脑销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，销售量为轻微右偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数而销售量较多的天数则占少数第四十八页，本课件共有59页偏态与峰态(从直方图上观察)按销售量分组按销售量分组按销售量分组按销售量分组按销售量分组按销售量分组(台台台台台台)结论结论结论结论：1.1.为右偏分布为右偏分布 2.2.峰态适中峰态适中140140 150150210210某电脑公司销售量分布的直方图某电脑公司销售量分布的直方图某电脑公司销售量分布的直方图某电脑公司销售量分布的直方图190190 200200180180160160 170170频频频频频频数数数数数数(天天天天天天)25252020151510105 53030220220 230230240240第四十九页，本课件共有59页峰 态第五十页，本课件共有59页峰态(kurtosis)1.统计学家Pearson于1905年首次提出2.数据分布扁平程度的测度3.峰态系数=0扁平峰度适中4.峰态系数0为尖峰分布第五十一页，本课件共有59页峰态系数(kurtosis coefficient)1.根据原始数据计算2.根据分组数据计算第五十二页，本课件共有59页峰态系数(例题分析)结论：结论：结论：结论：偏态系数为负值，但与0 0的差异不大，说明电脑销售量为轻微扁平分布第五十三页，本课件共有59页交替标志平均数交替标志平均数1 1、概念：交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答案的标、概念：交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答案的标志。如：性别只有男、女；一批产品只有合格品、不合格品等就志。如：性别只有男、女；一批产品只有合格品、不合格品等就可用是非标志来反映。可用是非标志来反映。2 2、表示形式：、表示形式：1 1：具有某种属性的单位标志值。：具有某种属性的单位标志值。0 0：不具有某种属性的单位标志值。：不具有某种属性的单位标志值。N N：全部总体单位数。：全部总体单位数。N N1 1：具有某种属性的总体单位数。：具有某种属性的总体单位数。N N2 2：不具有某种属性的总体单位数。：不具有某种属性的总体单位数。P=NP=N1 1/N/N：具有某种属性的单位数所占的比重。：具有某种属性的单位数所占的比重。Q=NQ=N2 2/N/N：不具有某种属性的单位数所占的比重。：不具有某种属性的单位数所占的比重。其中：其中：P+Q=1P+Q=1第五十四页，本课件共有59页3 3、交替标志平均数、交替标志平均数标准差标准差交替标志交替标志标准差计算表标准差计算表 交替标志交替标志(xi)次数次数(Ni)比重比重(Ni)/Nxi（xi）2*(Ni)/N10N1 N2PQ1-P0-P160270合计合计NP2040第五十五页，本课件共有59页(四)总方差、组间方差、平均组内方差总方差组间方差组内方差平均组内方差第五十六页，本课件共有59页作业1.要求：计算算术平均数、中位数和众数某企业工人完成作业所需时间资料如下按完成某一作业所需时间分（分钟）按完成某一作业所需时间分（分钟）工人数（人）工人数（人）20以下以下20-3030-4040-5050-6060-7070以上以上合计合计6253223752100第五十七页，本课件共有59页作业2.要求：A、计算工人人均产量B、计算全距、标准差、离散系数。某企业工人完成作业所需时间资料如下按日产量分（件）按日产量分（件）工人数（人）工人数（人）5060708090合计合计150100805020400第五十八页，本课件共有59页3.某企业生产某一产品要经过四个流水作业的车间，四个车间产品的合格率分别是98%，95%，92%，90%，则该企业产品平均合格率是多少？第五十九页，本课件共有59页