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第九章微分方程第一页，本课件共有134页例例1 一条曲线通过点一条曲线通过点(1，2),且该曲线上任一且该曲线上任一 点点 M(x,y)处的切线斜率为处的切线斜率为3x2，求这条曲线，求这条曲线 方程。方程。由由y(1)=2，得，得C=1.即所求的曲线方程为即所求的曲线方程为 y=x3+1第二页，本课件共有134页例例2 一列车在直线轨道上以一列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶，当的速度行驶，当 制动时，列车获得的加速度是制动时，列车获得的加速度是-0.4m/s2，问制，问制 动后，列车行驶了多少时间才停住？且列车动后，列车行驶了多少时间才停住？且列车 行驶了多少距离？行驶了多少距离？第三页，本课件共有134页定义定义1 凡表示自变量凡表示自变量、未知函数及其未知函数导数未知函数及其未知函数导数 的方程称为微分方程的方程称为微分方程。v未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。v未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。定义定义2 微分方程中出现未知函数的导数的最高阶数，微分方程中出现未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶称为微分方程的阶。定义定义3 若把一个函数及其各阶导数代入微分方程中若把一个函数及其各阶导数代入微分方程中 能使方程成为恒等式，称此函数为微分方程能使方程成为恒等式，称此函数为微分方程 的解（或积分曲线）的解（或积分曲线）。第四页，本课件共有134页定义定义4 若微分方程的解中含有一些独立的任意常数，若微分方程的解中含有一些独立的任意常数，当常数的个数与方程的阶数相同时，就称此当常数的个数与方程的阶数相同时，就称此 解为微分方程的通解（或通积分）。解为微分方程的通解（或通积分）。定义定义5 确定微分方程通解中的任意常数的值的条件确定微分方程通解中的任意常数的值的条件 称为称为定解条件（或初始条件）定解条件（或初始条件）。称不含任意常数的解为微分方程的特称不含任意常数的解为微分方程的特解。解。第五页，本课件共有134页一般地，一般地，n阶微分方程阶微分方程 其通解为其通解为方程的初始条件为：方程的初始条件为：初值初值问题问题（柯（柯西问西问题题）第六页，本课件共有134页建立微分方程举例建立微分方程举例1 利用导数的几何意义建立微分方程利用导数的几何意义建立微分方程例例 以点以点A(0,a)为起点，在第一象限内求一曲线，为起点，在第一象限内求一曲线，使曲线上任一点使曲线上任一点P处所作切线与处所作切线与x轴交于轴交于T，且，且|PT|=|OT|第七页，本课件共有134页例例 某种气体的气压某种气体的气压p对于温度对于温度T的变化率与气压成正比，的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比，求函数与温度的平方成反比，求函数p(T)满足的微分方程。满足的微分方程。2 利用物理意义建立微分方程利用物理意义建立微分方程第八页，本课件共有134页例例 某个地区人口总数某个地区人口总数 N 是时间是时间 t 的函数的函数,N=N(t).若这个地区人口的出生率为若这个地区人口的出生率为 n(此时单位时间出生数此时单位时间出生数为为nN),死亡率为死亡率为m(此时单位时间死亡数为此时单位时间死亡数为mN).现考现考察任一时刻的人口总数察任一时刻的人口总数.微元法微元法:t,t+dt时间段内时间段内,人口增量人口增量=这段时间内出生的人数这段时间内出生的人数-死亡的人数死亡的人数dN=nNdt-mNdt3 利用微元法建立微分方程利用微元法建立微分方程第九页，本课件共有134页例例 一个容器中装有体积一个容器中装有体积V0 m3的溶液，溶液中含有某种溶的溶液，溶液中含有某种溶质质x0，现以，现以Q m3/s流量向容器中注入清水（设容器中流量向容器中注入清水（设容器中装有搅拌器使溶解均匀），并以同样流量从容器排出装有搅拌器使溶解均匀），并以同样流量从容器排出溶液，求溶液中溶质含量溶液，求溶液中溶质含量x随时间变化的规律随时间变化的规律x(t)。第十页，本课件共有134页一阶微分方程一阶微分方程v可分离变量微分方程可分离变量微分方程v一阶线性微分方程一阶线性微分方程v齐次型方程齐次型方程v伯努利方程伯努利方程第十一页，本课件共有134页可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程f(x,y)可表示成一个可表示成一个 x 的函数与一个的函数与一个 y 的的函数的乘积函数的乘积,(分离变量法分离变量法)第十二页，本课件共有134页例例1解解:分离变量分离变量一般得到的一般得到的 y 是是 x 的一个隐函数的一个隐函数第十三页，本课件共有134页例例2解解:分离变量分离变量把初始条件代入通解得特解把初始条件代入通解得特解(1+y2)=2(1+x2)第十四页，本课件共有134页法法1:可以先求通解再求特解可以先求通解再求特解法法2:可以直接对方程两边同时求变上限定积分可以直接对方程两边同时求变上限定积分 第十五页，本课件共有134页例例3解解:设曲线设曲线 y=y(x)与椭圆族中的任一椭圆的与椭圆族中的任一椭圆的 交点为交点为M(x,y),则则曲线曲线 y=y(x)在交点在交点 M 处的切线斜率为处的切线斜率为k1=y,椭圆在该点处椭圆在该点处 的切线斜率为的切线斜率为由由k1k2=-1.可得可得第十六页，本课件共有134页第十七页，本课件共有134页例例5第十八页，本课件共有134页1 建立共焦抛物线族建立共焦抛物线族 （其中（其中C为任意常为任意常数）所满足的微分方程。数）所满足的微分方程。第十九页，本课件共有134页一阶线性微分方程一阶线性微分方程 定义定义：形如形如 的方程，的方程，称为一阶线性微分方程。称为一阶线性微分方程。称为一阶线性齐次方程称为一阶线性齐次方程,否则称为一阶线性非齐次方程。否则称为一阶线性非齐次方程。称为自由项称为自由项第二十页，本课件共有134页一阶线性齐次微分一阶线性齐次微分方程的通解方程的通解第二十一页，本课件共有134页即得通解即得通解对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解第二十二页，本课件共有134页例例6解解:常数变易法常数变易法,设设代入非齐次方程中得代入非齐次方程中得第二十三页，本课件共有134页例例7则通解为则通解为第二十四页，本课件共有134页例例9第二十五页，本课件共有134页例例10有一个质量为有一个质量为m的质点，从液面由静止状的质点，从液面由静止状态开始垂直下沉，设在沉降过程中质点所态开始垂直下沉，设在沉降过程中质点所受的阻力与沉降速度受的阻力与沉降速度v成正比，比例系数为成正比，比例系数为k(k0)，试求质点下沉速度，试求质点下沉速度v及位置及位置x与沉与沉降时间降时间t的关系。的关系。第二十六页，本课件共有134页.Mkvmg解解:设竖直向下为正设竖直向下为正,由牛顿第二运动定律得由牛顿第二运动定律得一阶线一阶线性非齐性非齐次方程次方程第二十七页，本课件共有134页第二十八页，本课件共有134页齐次方程齐次方程的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.解法解法作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义第二十九页，本课件共有134页第三十页，本课件共有134页例例12第三十一页，本课件共有134页第三十二页，本课件共有134页例例13第三十三页，本课件共有134页例例14解：变形为解：变形为代入方程得代入方程得第三十四页，本课件共有134页 可化为齐次的方程可化为齐次的方程为齐次方程为齐次方程.（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程.2.解法解法1.1.定义定义第三十五页，本课件共有134页有唯一一组解有唯一一组解.得通解代回得通解代回第三十六页，本课件共有134页解解代入原方程得代入原方程得第三十七页，本课件共有134页分离变量法得分离变量法得得原方程的通解得原方程的通解方程变为方程变为第三十八页，本课件共有134页第三十九页，本课件共有134页伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式伯努利方程伯努利方程解法解法:需经过需经过变量代换变量代换化为线性微分方程化为线性微分方程.第四十页，本课件共有134页求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得代入上式代入上式第四十一页，本课件共有134页解解例例 15第四十二页，本课件共有134页例例 16解：变形为解：变形为第四十三页，本课件共有134页用适当的用适当的变量代换变量代换解下列微分方程解下列微分方程:解解:整理得整理得代入原方程化为代入原方程化为第四十四页，本课件共有134页解：整理得解：整理得第四十五页，本课件共有134页解解代入原式代入原式总结总结第四十六页，本课件共有134页第四十七页，本课件共有134页小结小结加油啊！加油啊！v可分离变量微分方程可分离变量微分方程v一阶线性微分方程一阶线性微分方程v齐次型方程齐次型方程v伯努利方程伯努利方程第四十八页，本课件共有134页 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程本节介绍通过本节介绍通过变量代换变量代换将特殊的高阶微分方程将特殊的高阶微分方程化成一阶微分方程的化成一阶微分方程的降阶法降阶法.一一.型方程型方程二二.型方程型方程三三.型方程型方程第四十九页，本课件共有134页 两边积分两边积分:连续积分连续积分n次得出含有次得出含有n个任意常数的通解个任意常数的通解.再积分再积分:一一.型方程型方程第五十页，本课件共有134页例例:逐次积分得逐次积分得:第五十一页，本课件共有134页特点：特点：二阶方程不显含二阶方程不显含 因变量因变量y,二二.型方程型方程方程变为方程变为解出这个一阶方程的通解解出这个一阶方程的通解:则原方程的通解为则原方程的通解为:第五十二页，本课件共有134页例例2解：令解：令 ,则则方程变为方程变为:因为因为分部积分可得结果分部积分可得结果第五十三页，本课件共有134页例例:解：令解：令 ,则则方程变为方程变为:第五十四页，本课件共有134页例例:因为因为则则因为因为所求特解为所求特解为:解：令解：令 ,则则第五十五页，本课件共有134页例例3解：以绳索的最低端为坐标原点建立直角坐标系，如图解：以绳索的最低端为坐标原点建立直角坐标系，如图设曲线方程为设曲线方程为y=y(x)，在曲线上任取，在曲线上任取一点一点M，分析弧段，分析弧段OM的受力情况的受力情况OMHmgT 根据受力平衡，可得根据受力平衡，可得第五十六页，本课件共有134页令令 ,直接积分即可直接积分即可第五十七页，本课件共有134页特点：特点：方程不显含自变量方程不显含自变量 x,三三.型方程型方程令令 ,方程变为方程变为:解出这个以解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解为自变量的一阶方程的通解:则原方程的通解为则原方程的通解为:第五十八页，本课件共有134页例例:解：令解：令 ,则则方程变为方程变为:即即:或者或者第五十九页，本课件共有134页的通解为的通解为:其通解为其通解为:即即其通解为其通解为:第六十页，本课件共有134页例例6解：令解：令 ,则则方程变为方程变为:代入上式得代入上式得利用公式可得利用公式可得第六十一页，本课件共有134页分离变量分离变量凑微分得凑微分得积分得积分得第六十二页，本课件共有134页例例:此题看作类型二和类型三此题看作类型二和类型三皆可皆可,经过尝试用前者简单经过尝试用前者简单解：令解：令 ,则则方程变为方程变为:即即:第六十三页，本课件共有134页例例8 脱离速度问题脱离速度问题解：以球心为坐标原点建立坐标系解：以球心为坐标原点建立坐标系OF(r)r根据牛二律根据牛二律方程简化为方程简化为第六十四页，本课件共有134页方程变为方程变为两边同时变上限两边同时变上限定积分得定积分得第六十五页，本课件共有134页例：例：第六十六页，本课件共有134页第六十七页，本课件共有134页解解例例则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得第六十八页，本课件共有134页解解平衡位置处重物的受力分析平衡位置处重物的受力分析以平衡位置处为坐标原点以平衡位置处为坐标原点O，竖直，竖直向下为向下为 x 轴正向。轴正向。设设t时刻物体的位移为时刻物体的位移为x(t)此时物体的受力分析此时物体的受力分析第六十九页，本课件共有134页物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程第七十页，本课件共有134页二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程线性微分方程线性微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程第七十一页，本课件共有134页 线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构:即齐次方程的任何两个解的线性组合仍是齐次方程的解。即齐次方程的任何两个解的线性组合仍是齐次方程的解。第七十二页，本课件共有134页证明：证明：问题问题:反例：反例：第七十三页，本课件共有134页例如例如线性无关线性无关线性相关线性相关第七十四页，本课件共有134页特别地特别地:例如例如第七十五页，本课件共有134页是方程的通解。是方程的通解。第七十六页，本课件共有134页2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构:即非齐次方程的任何两个解的差是所对应的齐次方程的解。即非齐次方程的任何两个解的差是所对应的齐次方程的解。第七十七页，本课件共有134页证明：证明：第七十八页，本课件共有134页非齐次的解非齐次的解齐次的通解齐次的通解第七十九页，本课件共有134页证明：证明：第八十页，本课件共有134页第八十一页，本课件共有134页n阶线性非齐次微分方程阶线性非齐次微分方程的通解的通解非齐次的解非齐次的解齐次的通解齐次的通解第八十二页，本课件共有134页解的叠加原理解的叠加原理第八十三页，本课件共有134页证明：证明：第八十四页，本课件共有134页二阶线性微分方程二阶线性微分方程n阶线性微分方程阶线性微分方程第八十五页，本课件共有134页n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式第八十六页，本课件共有134页一一.二阶常系数线性齐次方程二阶常系数线性齐次方程一般形式一般形式:p,q为常数为常数 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程分析分析由方程特点可看出由方程特点可看出:为同一类型函数为同一类型函数,之间相差常数因子之间相差常数因子.因此假设因此假设当当 满足满足(2)时时,是是(1)的一个特解的一个特解.特征方程特征方程特征根特征根根据特征根的三种不同情形根据特征根的三种不同情形,方程方程(1)的通解有三种情形的通解有三种情形.第八十七页，本课件共有134页1.特征根为相异实根特征根为相异实根 :则则(1)的通解为的通解为得到得到第八十八页，本课件共有134页2.特征根为二重根特征根为二重根 :是是(1)的一个特解的一个特解,求另一个线性无关的特解求另一个线性无关的特解.取取得到另一个线性无关的特解得到另一个线性无关的特解则则(1)的通解为的通解为第八十九页，本课件共有134页线性无关特解线性无关特解3.特征根为共轭复根特征根为共轭复根:是是(1)的两个特解的两个特解,则则(1)的通解为的通解为第九十页，本课件共有134页第九十一页，本课件共有134页第九十二页，本课件共有134页第九十三页，本课件共有134页例例:则通解为则通解为第九十四页，本课件共有134页例例:则通解为则通解为则特解为则特解为第九十五页，本课件共有134页例例:则通解为则通解为第九十六页，本课件共有134页注注:上述解法可推广到上述解法可推广到 n 阶常系数线性齐次方程阶常系数线性齐次方程:特征方程特征方程第九十七页，本课件共有134页例例14:第九十八页，本课件共有134页特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为解解特征方程为特征方程为例例1515第九十九页，本课件共有134页 二阶常系数线性非齐次方程一般形式一般形式:p,q为常数为常数由解的结构可知由解的结构可知,(1)的通解是的通解是:故只要求出故只要求出(1)的一个特解的一个特解 .待定系数法待定系数法1.型型2.型型第一百页，本课件共有134页代入代入(1)式并整理得式并整理得:1.型型第一百零一页，本课件共有134页(1).当当 不是特征根时不是特征根时:则设则设(2).当当 是特征单根时是特征单根时:因此因此 是是 m 次多项式次多项式,是是m+1次多项式次多项式,则设则设第一百零二页，本课件共有134页(3).当当 是特征重根时是特征重根时:因此因此 是是 m次多项式次多项式,是是 m+2 次多项式次多项式,则设则设第一百零三页，本课件共有134页例例6:求求 型,由于由于 不是特征根不是特征根,将将 代入方程得代入方程得:第一百零四页，本课件共有134页由于由于 是特征二重根是特征二重根,则设则设将将 代入方程得代入方程得:因此通解为因此通解为:例例7:求求 的通解的通解.则对应的齐次方程的通解为则对应的齐次方程的通解为第一百零五页，本课件共有134页2.型型此时设特解为此时设特解为:不是特征根不是特征根是特征根是特征根n 次多项式次多项式第一百零六页，本课件共有134页例例8:求求 的一个特解的一个特解.由于由于 不是特征根不是特征根,则设则设将将 代入方程得代入方程得:第一百零七页，本课件共有134页第一百零八页，本课件共有134页解：要利用解：要利用叠加原理叠加原理将等号右边拆开将等号右边拆开第一百零九页，本课件共有134页例：写出微分方程例：写出微分方程的特解的形式的特解的形式.设设 的特解为的特解为解解：设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为第一百一十页，本课件共有134页例例10 两边对两边对x求导求导两边两边 再对再对x求导求导第一百一十一页，本课件共有134页例例11 解：由反函数求导公式解：由反函数求导公式第一百一十二页，本课件共有134页 n阶线性常系数非齐次微分方程阶线性常系数非齐次微分方程第一百一十三页，本课件共有134页不是特征根不是特征根是是 s重特征根重特征根n 次多项式次多项式第一百一十四页，本课件共有134页第一百一十五页，本课件共有134页例：例：第一百一十六页，本课件共有134页 建立微分方程举例建立微分方程举例例例1 单位质量的质点在力单位质量的质点在力F作用下离开原点作用下离开原点O作直线运动，作直线运动，F与运动方与运动方向同向，且大小与点向同向，且大小与点O到质点的距离成反比，比例系数为到质点的距离成反比，比例系数为k1，介质阻，介质阻力与质点运动速度成正比，比例系数为力与质点运动速度成正比，比例系数为k2，试建立质点的运动微，试建立质点的运动微分方程。分方程。OFf解：设解：设 t 时刻物体的位移为时刻物体的位移为x(t)第一百一十七页，本课件共有134页例例2 设有一质量为设有一质量为m的质点作直线运动，假定运动过程中只受到两个的质点作直线运动，假定运动过程中只受到两个力作用：一是拉力，方向与运动方向一致，大小正比于时间力作用：一是拉力，方向与运动方向一致，大小正比于时间t（比例系（比例系数为数为k1）；另一是阻力，方向与运动方向相反，大小与速度成正）；另一是阻力，方向与运动方向相反，大小与速度成正比（比例系数为比（比例系数为k2）。设运动之初速为）。设运动之初速为v0=0，求质点运动速度，求质点运动速度v(t)。OFf解：设以运动方向为正向解：设以运动方向为正向第一百一十八页，本课件共有134页一阶微分方程一阶微分方程第一百一十九页，本课件共有134页例：例：第一百二十页，本课件共有134页例：例：第一百二十一页，本课件共有134页第一百二十二页，本课件共有134页须讨论求特解的情况须讨论求特解的情况第一百二十三页，本课件共有134页解：两解：两边边关于关于x求导，得求导，得第一百二十四页，本课件共有134页二阶微分方程二阶微分方程第一百二十五页，本课件共有134页例：例：第一百二十六页，本课件共有134页例：例：第一百二十七页，本课件共有134页例：例：第一百二十八页，本课件共有134页例：例：第一百二十九页，本课件共有134页原方程变为原方程变为第一百三十页，本课件共有134页例例 有一体积为有一体积为V0=10800(m3)的车间，空气中含有的车间，空气中含有0.12%的的CO2，为了保证工作人员的身体健康，用一台通风能力为，为了保证工作人员的身体健康，用一台通风能力为1500m3/min的鼓风机，通入的新鲜空气中含有的鼓风机，通入的新鲜空气中含有0.04%CO2。假。假定新鲜空气通入后和原有的空气混合均匀排出，设时刻定新鲜空气通入后和原有的空气混合均匀排出，设时刻t，CO2含量含量为为x(t)，试求满足的微分方程。，试求满足的微分方程。解：考察解：考察 t,t+dt,CO2的增量的增量=排进的排进的-排出的排出的1500.dt.0.04%建立微分方程举例建立微分方程举例第一百三十一页，本课件共有134页例例 根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 其中其中g 为重力加速度，为重力加速度，h为液面与底部孔口为液面与底部孔口 之间的距离，之间的距离，A为孔口面积，为孔口面积，a为孔口收缩系数，实验为孔口收缩系数，实验 确定取其值为确定取其值为a=0.62，现有一直径为，现有一直径为1m，高为，高为2m的的 直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为d=1cm的的 圆孔流出，要多长时间容器内的水才会完全流尽？圆孔流出，要多长时间容器内的水才会完全流尽？第一百三十二页，本课件共有134页第一百三十三页，本课件共有134页解解以弹簧原长处为坐标原点以弹簧原长处为坐标原点O，竖直，竖直向下为向下为 x 轴正向轴正向。设设t时刻物体的位移为时刻物体的位移为x(t)此时物体的受力此时物体的受力例例 设弹簧的上端固定，下端挂一质量为设弹簧的上端固定，下端挂一质量为m的物体，开始时的物体，开始时 用手托住重物，使弹簧既不伸长也不缩短，然后突然放手用手托住重物，使弹簧既不伸长也不缩短，然后突然放手 使物体开始运动，弹簧的弹性系数为使物体开始运动，弹簧的弹性系数为k，求物体的运动规律。，求物体的运动规律。第一百三十四页，本课件共有134页