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第三章 环现在学习的是第1页，共54页第三章第三章 环与域环与域n加群、环的定义加群、环的定义n交换律、单位元、零因子、整环交换律、单位元、零因子、整环n除环、域除环、域n无零因子环的特征无零因子环的特征n子环、环的同态子环、环的同态n多项式环多项式环n理想理想n剩余类环、同态与理想剩余类环、同态与理想n最大理想最大理想n商域商域现在学习的是第2页，共54页1加群、环的定义定义：一个交换群叫做一个加群，假如将群的代数运算叫做加法，并且用称号+表示。因此在加群里n个元的和有意义，这个和用符号即：加群中的唯一元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示则有运算规则：现在学习的是第3页，共54页规定:则有：1加群、环的定义（0为中零元）现在学习的是第4页，共54页定义一个集合叫做环，假如1、是个加群，即对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群；、对于一个叫做乘法的运算来说是闭的；、关于乘法满足结合律：、关于乘法与加法满足分配律：则有运算规则：1加群、环的定义现在学习的是第5页，共54页（0为中零元）1加群、环的定义现在学习的是第6页，共54页规定：则有：1加群、环的定义现在学习的是第7页，共54页交换律、单位元、零因子、整环定义一个环叫做交换环，假如其中a,b为中任意元。所以有：定义一个环的一个元e叫做一个单位元，假如有其中a为中任意元。注：不是所有环都有单位元，如下例。现在学习的是第8页，共54页例所有偶数，对于普通数的加法和乘法作成一个环，但没有单位元。单位元的唯一性：一个环如果有单位元则其单位元是唯一的。证明：设有两个单位元e和e则有所以性质成立。注一个环中的单位元用1表示，且规定交换律、单位元、零因子、整环现在学习的是第9页，共54页定义一个有单位元环的一个元b叫做元a的逆元，假如逆元唯一性：环一个元a若有逆元，则最多只有一个逆元。证明：设a有两个逆元b和b，则所以性质成立。注：不是环中所有元都有逆元，如整数环中除和-1外其余元都滑逆元。交换律、单位元、零因子、整环现在学习的是第10页，共54页用a-1表示a的逆元，且规定则对任何整数都有交换律、单位元、零因子、整环定义若在一个环里但则称a是环的一个左零因子，b是环的一个右零因子。现在学习的是第11页，共54页例所有模n的剩余类规定R中的加法和乘法如下：可以验证是一个环，称为模n的剩余类环。若n不是素数，则但所以n非平凡因子均为的零因子。交换律、单位元、零因子、整环现在学习的是第12页，共54页例高等代数中一个数域上一切n阶方阵对于矩阵的加法和乘法来说做成一个有单位元的环，则当时有非0矩阵乘积为矩阵，所以有零因子。如但交换律、单位元、零因子、整环现在学习的是第13页，共54页定理在一个没有零因子的环里两个消去律成立。反之一个环里消去律成立，则这个环没有零因子。证明：因为没有零因子，所以由得和即消去律成立。交换律、单位元、零因子、整环现在学习的是第14页，共54页反之，假设消去律成立，因为所以由消去律知若则所以环没有零因子。交换律、单位元、零因子、整环推论一个环若有一个消去律成立，则另一个消去律也成立。现在学习的是第15页，共54页定义一个环叫做一个整环，若、乘法适合交换律：、有单位元:3、没有零因子：其中a,b为中任意元素。例如整数环是一个整环。交换律、单位元、零因子、整环现在学习的是第16页，共54页除环、域例只包括一个元a加法和乘法规定为：则是个环，它只一个元a既是0元，也是a的逆元等。例全体有理数作成的集合对于普通数的加法和乘法作成一个环，显然对于任意一个非有理数a，都有逆元a-1。定义一个环叫做一个除环，若、至少包含一个不等于零的元；、有一个单位元；、每一个不等零的元都逆元。定义一个交换除环叫做一个域。现在学习的是第17页，共54页除环的性质：、除环无零因子。因为、除环的不等零的元对于乘法来说作成一个群称为除环的乘法群。注：除环由两个群构成，分配律是一这两个群之间联系的桥梁。除环、域现在学习的是第18页，共54页所以在域中可以用表示a-1b和ba-1。则有以下结论：但是a-1b不一定等于ba-1，而在域中，则有a-1bba-1方程ax=b和ya=b各有一个唯一解是a-1b和ba-1.除环、域、当且仅当ad=bc时成立；、现在学习的是第19页，共54页例所有复数对。这里规定则是一个除环，但不是交换环。因为对于非零元均有逆元但是(i,0)(0,1)=(0,i),(0,1)(i,0)=(0,-i)所以这个环是四元数除环。除环、域现在学习的是第20页，共54页环的分类：环交换环有单位元环无零因子环整环除环域除环、域现在学习的是第21页，共54页无零因子环的特征例设p是一个素数，则模p的所有剩余类构成一个环，则可以证明是一个域。证明：只需证明的所有非零元作成一个乘群。、结合律成立，则数的乘法结合律知；、由于p是素数，所以p不整除a，p不整除b时一定有p不整除ab,所以时有即讨论规则：现在学习的是第22页，共54页、p不整除a，但p整除a(x-x)时，则p整除x-x，即有所以是一个乘法群，则是一个域。无零因子环的特征注：在该域中，一个非零元a有pa=0。证明：因为pa=a+a+a=pa=0.分析原因：是因为中除零元外，其余元的阶（加法）均为p是一个有限数。现在学习的是第23页，共54页定理在一个无零因子环中所有不等于零的元的阶（对于加法来说）都一样。证明：如果每个非零元的阶都是无限大，则结论成立。假设的某一个元a的阶是有限整数n，b是的另一个非零元，则(na)b=a(nb)=0,由R是无零因子环知nb=0。所以a的阶不超过b的阶，b的阶不超过a的阶，所以a的阶b的阶.无零因子环的特征现在学习的是第24页，共54页定义一个无无零子环的非零元的相同的（加法）阶叫做环的特征。定理若无零因子环的特征是一个有限数n，则n一定是素数.证明：假如n不是素数，n=n1n2，那么对于的一个非零元a有但是与是无零因子环矛盾，所以n是素数。无零因子环的特征现在学习的是第25页，共54页推论整环、除环、域的特征或是无限大，或是一个素数。结论：在一个特征为p的交换环中有无零因子环的特征现在学习的是第26页，共54页 5 子环、环的同态定义 一个环R的一个子集S叫做R的一个子环，假如S本身对于R的代数运算来说作成一个环。一个除环R的一个子集S叫做R的一个子除环，假如S本身对于R的代数运算来说作成一个除环。同样可以规定子整环、子域概念。结论：一个环的非空子集S作成子环的充要条件是：现在学习的是第27页，共54页一个除环的非空子集S作成子除环的充要条件是：1、S包含一个不等于零的元；2、5 子环、环的同态例1 R本身是环R的子环。由0一个元作成的集合也是R的子环。例2 一个环R可以同每一个元交换的元作成一个子环，叫作环R的中心。现在学习的是第28页，共54页定理2 设R和 是两个环，并且R与 同态，则R的零元的象是 的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元，R是交换环则 也是交换环，R若有单位元1，则 也有单位元 而且 是1的象。定理1 设R是一个环，是一个不空子集，且有一个加法和一个乘法运算，若存在一个R到的满射，使得R与对于一对加法和一对乘法来说同态，则也是一个环。5 子环、环的同态现在学习的是第29页，共54页例3 设R是整数环，是模n的剩余类环，则显然是R到 的一个同态满射。注：R是无零因子环，是一个有零因子。5 子环、环的同态现在学习的是第30页，共54页显然是R到 的一个同态满射。R的零元是（0，0），而注：R是有零因子环，是一个无零因子。例4 R=所有整数对(a,b)，对于代数运算R是一个环，用 表示整数环，则 5 子环、环的同态现在学习的是第31页，共54页定理3 假设R与 是两个环，且若R是整环，则 也是整环；若R是除环，则 也是除环；若R是域，则 也是域。5 子环、环的同态现在学习的是第32页，共54页 5 子环、环的同态定理4（挖补定理）设S是环R的一个子环，S在R里的补足集合与另一个环 没有共同元，并且 ，则存在一个与R同构的环 而 是 的子环。证明思路：令因所以有同构映射现在学习的是第33页，共54页R中不属于S的元为a,b,c,则规定一个映射则可以证明。5 子环、环的同态现在学习的是第34页，共54页 6、多项式环定义 一个可以写成形式的R0的元叫做R上的一个多项式，ai叫做多项式的系数。其中系数是R上的所有多项式构成 一个集合记为定义加法与乘法运算如下：加法现在学习的是第35页，共54页其中结论：1、加法与乘法封闭。2、是一个环（包含R0和 的最小子环）。定义 叫做R上的 的多项式环。乘法 6、多项式环现在学习的是第36页，共54页定义 R0的一个元x叫做R上的一个未定元，若R中找不到不都等于0的元a0,a1,an，使得 6、多项式环定义 令是环R上的多项式，则n称为为个多项式的次数，0多项式没有次数。现在学习的是第37页，共54页定理1 有单位元交换一定有未定元x存在。证明思路：1、利用交换环R构造一环其中只有有限个ai不等于零.则定义加法和乘法可证明其为交换环。2、利用 可以得到一个包含R的环P3、证明P包含R上的未定元。6、多项式环现在学习的是第38页，共54页定义 一个有形式的元叫做R上的的多项式。多项式环记作则R上的所有的多项式构成一个环称为定义 R上的x1,x2,xn任何一个系数不全为零的多项式不等于0，则称x1,x2,xn为R上的无关未定元。6、多项式环现在学习的是第39页，共54页定理2 R为一个交换环，n为一个正整数，则一定有R上的无关未定元x1,x2,xn存在。证明思路：由定理1和数学归纳法得到。定理3 设和是R上的多项式环，x1,x2,xn是无关未定元则与同态。6、多项式环现在学习的是第40页，共54页证明思路：则定义映射：可以证明其为一个同态映射。6、多项式环现在学习的是第41页，共54页 7 理想定义环R的一个非空子集叫做一个理想子环（理想）若：1、2、显然：只包含零元的集合，是R的理想，称为R的零理想。R自己也是R的理想，称为R的单位理想。现在学习的是第42页，共54页定理1 除环R中有零理想和单位理想。证明：设 是R的一个理想，且不是零理想，则由得所以对任意所以注：理想对除环和域没有用处。7 理想现在学习的是第43页，共54页例1 设R是整数环，n为是0，1的整数，则所有倍数rn作成一个理想。例2 环R上的一元多项式环Rx则所有次数不超过n次的多项式构成的集合是Rx的理想。7 理想现在学习的是第44页，共54页设R一个环，若a为R的一个非0元，则所有形式为的元构成一个集合是R的一个理想记作 。结论：是包含a的最小理想。7 理想现在学习的是第45页，共54页定义 上面得到的理想叫做由a生成的主理想，记作(a).当R为交换环时当R有单位元时当R有单位元且为交换环时 7 理想现在学习的是第46页，共54页设R是一个环，若是R的m个元，则是R的一个理想。证明：因为则所以是R的理想。7 理想现在学习的是第47页，共54页注：是包含的最小理想。定义 称为由生成的理想。记作 7 理想现在学习的是第48页，共54页例3 设Rx整数环R上的一元多项式环，则1、可以证明2、可以证明不是Rx主理想。因为若则则矛盾。7 理想现在学习的是第49页，共54页 8 剩余环、同态与理想设R为一个环，为其一个理想，则对加法运算是R的一个不变子群，所以的陪集是R的一个分类，称为R的模 的剩余类。显然现在学习的是第50页，共54页 8 剩余环、同态与理想把R的所有剩余类作成的集合记作在其上规定加法乘法则有结论：定理1 设R是一个环，是它的一个理想，是所有模 的剩余类作成的集合，则 是一个环且与R同态。现在学习的是第51页，共54页证明 映射是R到 的同态满射，所以与R同态，所以 是一个环。定义 叫做环R的模 的剩余类环记作 8 剩余环、同态与理想定理2 设R与 是两个环，并且同态，则同态满射的核 是R的一个理想，并且现在学习的是第52页，共54页证明：1、证明 是R的一个理想。8 剩余环、同态与理想假设那么则有即假设那么则有即所以是R的一个理想.现在学习的是第53页，共54页 8 剩余环、同态与理想2、证明规定一个法则则由得是一个映射，且是一个满射。而所以是一个一一映射。由于所以现在学习的是第54页，共54页