第三章 一元函数的积分学优秀PPT.ppt
第三章 一元函数的积分学现在学习的是第1页，共49页要求要求1理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法分的换元积分法和分部积分法2了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法3会利用定积分计算平面图形的面积旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积会利用定积分计算平面图形的面积旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题分求解简单的经济应用问题4了解反常积分的概念，会计算反常积分了解反常积分的概念，会计算反常积分现在学习的是第2页，共49页3.1 不定积分内容重点内容重点：1.不定积分、原函数的定义不定积分、原函数的定义2.不定积分的计算不定积分的计算(主要是换元法和分部积分法主要是换元法和分部积分法)现在学习的是第3页，共49页例例定义：定义：1、原函数与不定积分的概念现在学习的是第4页，共49页原函数存在定理：原函数存在定理：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.注意：注意：(1)原函数不唯一原函数不唯一;(2)原函数之间的关系原函数之间的关系:若若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，现在学习的是第5页，共49页任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量现在学习的是第6页，共49页显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.现在学习的是第7页，共49页基基本本积积分分表表是常数是常数);说明：说明：简写为简写为2、基本积分表现在学习的是第8页，共49页现在学习的是第9页，共49页现在学习的是第10页，共49页（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）3、不定积分的性质现在学习的是第11页，共49页凑微分法凑微分法说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为4、不定积分的计算即现在学习的是第12页，共49页则有换元公式则有换元公式定理定理2 2一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令换元法换元法 积分中为了化掉根积分中为了化掉根式是否一定采用三式是否一定采用三角代换并不是绝对角代换并不是绝对的，需根据被积函的，需根据被积函数的情况来定数的情况来定.现在学习的是第13页，共49页基基本本积积分分表表现在学习的是第14页，共49页现在学习的是第15页，共49页由导数公式积分得:分部积分公式分部积分公式或1)v 容易求得;容易计算.分部积分法现在学习的是第16页，共49页 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .若分部产生循环式,由此解出积分式(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C)现在学习的是第17页，共49页3.2 定积分内容重点内容重点：1.定积分的定义定积分的定义3.定积分的计算定积分的计算(主要是换元法和分部积分法主要是换元法和分部积分法)4.定积分的性质及积分中值定理定积分的性质及积分中值定理5.定积分在几何（求面积及旋转体的体积）上的应用定积分在几何（求面积及旋转体的体积）上的应用6.广义积分的收敛与发散，广义积分的计算广义积分的收敛与发散，广义积分的计算2.变上限积分及其导数变上限积分及其导数现在学习的是第18页，共49页1、定积分定义定义定义现在学习的是第19页，共49页被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和现在学习的是第20页，共49页注意：注意：现在学习的是第21页，共49页定理定理1 1定理定理2 2 存在定理现在学习的是第22页，共49页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负曲边梯形的面积的负值值 定积分的几何意义现在学习的是第23页，共49页几何意义：几何意义：现在学习的是第24页，共49页2、定积分的性质、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k 为常数)现在学习的是第25页，共49页6.若在 a,b 上则推论推论1.若在 a,b 上则推论推论2.7.设则8.积分中值定理积分中值定理则至少存在一点使现在学习的是第26页，共49页考察定积分考察定积分记记积分上限函数积分上限函数3、积分上限函数及其导数现在学习的是第27页，共49页 积分上限函数的导数积分上限函数的导数补充补充现在学习的是第28页，共49页定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）4、牛顿莱布尼茨公式现在学习的是第29页，共49页微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.现在学习的是第30页，共49页定理定理5、定积分的换元法和分部积分法设函数单值函数满足:1)2)定积分的换元公式定积分的换元公式现在学习的是第31页，共49页应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）现在学习的是第32页，共49页定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 定积分的分部积分法现在学习的是第33页，共49页现在学习的是第34页，共49页6、广义积分无穷限的广义积分无穷限的广义积分现在学习的是第35页，共49页现在学习的是第36页，共49页则定义(c 为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分.并非不定型,说明说明:上述定义中若出现 它表明该反常积分发散.现在学习的是第37页，共49页引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式:现在学习的是第38页，共49页 无界函数的反常积分无界函数的反常积分现在学习的是第39页，共49页现在学习的是第40页，共49页定义中定义中C为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.现在学习的是第41页，共49页注意注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则则可相消吗可相消吗?现在学习的是第42页，共49页微元法微元法7.定积分的应用现在学习的是第43页，共49页这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积。平面图形的面积；体积。现在学习的是第44页，共49页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积 平面图形的面积1.直角坐标系情形现在学习的是第45页，共49页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台 旋转体的体积现在学习的是第46页，共49页xyo旋转体的体积为旋转体的体积为现在学习的是第47页，共49页现在学习的是第48页，共49页平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算体积也可用定积分来计算.立体体积立体体积现在学习的是第49页，共49页
