VAR模型学习课件.pdf

向量自回归向量自回归(VAR)模型模型6*2 1 1 模型介绍模型介绍 2 2 估计与相关检验估计与相关检验 3 3 格兰杰因果关系格兰杰因果关系 4 4 脉冲脉冲响响应分析应分析 5 5 方差分解方差分解1 1 模型介绍模型介绍1.1 VAR1.1 VAR模型的基本概念模型的基本概念12,ttntyyy考虑一组变量定义12,1,2,tttntyyYtTy1122(n1)(VWN),()0()()0,tttptpttttttsYCYYYEEEst 代表维的向量白噪声满足11,112,112 221,122 1VWN,()()()0()()ttttt tttttEEEEE 不是序列相关的。例如，在两变量的模型中212,()()ttpnpL YCLLLL 如果使用滞后算子 则11,111111122,122221221111,1122,112211,1222,12(VAR),tttttttttttttttYCYyycyyccyycyy一个两变量模型的例子22112112222122121112212211122122()()()()()10()0111ttttttttEEEEELLLLLLLLLL (1)(1)(1)11111,1122,11,1(2)(2)(2)111,2122,21,2()()()111,122,1,tttnn tttnn tpppt pt pnn t ptycyyyyyyyyy11VARij（）高阶模型要使用很多的上标和下标。若用表示的第i行第j列的元素，则有1.2 VAR1.2 VAR模型的平稳性条件模型的平稳性条件0VAR()()()()()ttttt jjjtEYEYYEYYYj如果以下条件满足，则对应的模型为平稳的:其中，定义的是 在第 期的自协方差矩阵。2121212VAR()0 0pnppppnpzzzz 对于一个模型，其平稳条件是的根落在单位圆外，其中表示行列式符号。同样地，平稳条件也可以表述为的根落在单位圆内。为了深入地理解VAR模型的平稳性条件，为了考虑含有2个变量的简单VAR（1）模型：1,1112,12211.60.50.7ttttttyyyy1221210.6()00.51 0.7(1)(1 0.7)0.300.752.505/4,2nzzzzzzzzzzzzz 整个VAR模型系统的平稳与否，不能单凭某一个等式中的自回归系数判断，而是要考虑整个系统的平稳性条件。整个VAR模型是一个互动的动态系统！1,1112,1221212,0.90.10.20.810.90.1()00.210.8(10.9)(10.8)0.0201,10/7ttttttnyyyyzzzzzzzzzzz 另一个例子1.1.3 3 向量自协方差和向量自相关函数向量自协方差和向量自相关函数 112VAR(p)()().()jttjnpE YYIC 一个平稳的模型的向量自协方差的一般定义式可以写成：此外，11221122()()()()()()()()(),1jtt jtt jtt jpt pt jtt jjjpj pEYYEYYEYYEYYEYj 用自协方差除以方差矩阵对应的对角线元素，就可以获得向量自相关函数VACF。1.1.4 4 VAR VAR模型与模型与VMAVMA模型的转化模型的转化 VMA过程，就是用向量形式表示的移动平均过程，在这样的移动平均过程中，随机扰动项以向量白噪声的形式出现。所以，一个VMA(q)过程的定义为：其中，表示常数向量，表示系数矩阵，仍然表示向量白噪音。1122ttttq t qYCCit1 1）VAR(1)VAR(1)模型的转化模型的转化12222120122()()()()()()()ntttntntntttit iinnL YCYLCLLCCLLL 因为2 VAR2 VAR模型的估计与相关检验模型的估计与相关检验 2.1 VAR2.1 VAR模型的估计方法模型的估计方法 虽然VAR模型系统比一维模型看上去复杂得多，但是用来估计VAR的方法却并不一定很繁难。常见的估计方法包括最大似然估计（Maximum Likelihood Estimator，MLE）和常见的最小二乘估计（OLS）。在特定条件下，MLE与OLS估计获得的系数是完全相同的。2.2 VAR2.2 VAR模型的设定模型的设定 1)1)使用平稳变量还是非平稳变量使用平稳变量还是非平稳变量 Sims,Stock,和 Watson(1990)提出，非平稳序列仍然可以放在VAR模型中，通过估计结果分析经济、金融含义。但是，如果利用VAR模型分析实际问题时，使用非平稳序列变量，却会带来统计推断方面的麻烦，因为标准的统计检验和统计推断要求分析的所有序列必须都是平稳序列。作为指导性的原则，如果要分析不同变量之间可能存在的长期均衡关系，则可以直接选用非平稳序列；而如果分析的是短期的互动关系，则选用平稳序列，对于涉及到的非平稳序列，必须先进行差分或去除趋势使其转化成对应的平稳序列，然后包含在VAR模型中进行进一步分析。2)2)VARVAR模型中的变量选择模型中的变量选择 VAR模型中选择哪些变量来进行分析，一般来说没有确定性地严格规定。变量的选择需要根据经济、金融理论，同时还需要考虑手中的样本大小。3)3)VARVAR模型中滞后期的选择模型中滞后期的选择 22(a)2lnln()lnpnA ICTpnTSICT 信 息 准 则 b)b)似然比率检验法，即似然比率检验法，即Likelihood Ratio Likelihood Ratio (LR)(LR)检验检验 简单地说，LR检验法就是比较不同滞后期数对应的似然函数值。实际应用中，首先需要给定一个最大的滞后期数，然后循环运用LR检验来判断最优滞后期数。正因为如此，有些计量软件的输出结果会显示“sequential LR test”（循环LR检验）的字样，实际上就是循环地应用了以上介绍的LR检验过程。最大滞后期数的设定具有一定的主观性。但是，通常可以根据分析的数据的频率来确定。例如，对于月度数据，可以考虑12、18或者24期为最大滞后期数；对于季度数据，一般可以先给定一个最大的4或8期滞后期；对于年度数据，可以考虑2、3或者4为最大滞后期数。Final Prediction Error(FPE)Hannan-Quinn(HQ)很多情况下，不同的准则或检验统计量选择的最优滞后期数可能会不同。在这种情况下，我们可以根据“多数原则”，即超过半数以上的可用判断准则指向的那个滞后期数，很可能就是一个最优的选择。表表1 1 EViews VAR EViews VAR模型滞后期数的判断结果模型滞后期数的判断结果 3 3 格兰杰因果关系格兰杰因果关系 从计量经济学发展的历史来看，格兰杰因果关系的概念要早于VAR模型。格兰杰因果关系检验经常被解释为在VAR模型中，某个变量是否可以用来提高对其他相关变量的预测能力。所以，“格兰杰因果关系”的实质是一种“预测”关系，而并非真正汉语意义上的“因果关系”。(1)(1)(2)(2)1,11,21111121112(1)(1)(2)(2)2,12,22221222122()()1,211112()()2,222122 VAR(p):ttttttppttpptyyycyyycyy 考虑一个简单的两个变量的模型t2,21(1)(2)()0121212,0,:0tjttpyyyH例如如果的系数都是不是的格兰杰因果关系,即备择假设是这些系数中至少有一个不为0。如果原假设成立，则有：(1)(2)1,11,2111111(1)(1)(2)(2)2,12,22221222122()1,111()()2,22122000ttttttpt ptppt ptyyycyyycyy LR:检验21111 1,12 1,21,12,122,22,-1012:0tttttpt pttpt ptpyyyCyyyyyyH如果拒绝原假设，则称是 的格兰杰因果关系。与此不同，表表2 2 格兰杰因果关系格兰杰因果关系LRLR检验结果检验结果表表3 3 格兰杰因果关系检验结果格兰杰因果关系检验结果 4 4 脉冲响应分析脉冲响应分析4.1 VAR4.1 VAR模型中的脉冲响应介绍模型中的脉冲响应介绍 在很多情况下，VAR模型中的各个等式中的系数并不是研究者最终关注的对象，VAR模型系统中的单个系数只是反映了一个局部的动态关系。脉冲响应函数脉冲响应函数（Impulse Response Functions,IRFImpulse Response Functions,IRF）能够较全面反映各个变量之间的动态影响，可以简单概括为响应序列在受到一个单位随机扰动因素的冲击后的动态变化路径。4.2 4.2 简单脉冲响应函数简单脉冲响应函数 简单IRF包括两种形式：“单位残差IRF”“单位标准差IRF”。1)1)单位残差单位残差IRFIRF1122,VMA(),d,ttttthhti thhijjthijhYYyij 考虑如下这个模型或 表示的第行 第列元素。0,10VAR()itnjthitijjtjti t hyijyjtith y 时，其他情况下。刻画了第 个随机扰动因素在时期 发生一个单位变化对模型中第 个变量在时间的影响情况，在这个过程中假定其他所有扰动项不变。2 2）单位标准差）单位标准差IRF IRF 从模型 可以看到，当随机冲击为单位1时，即 时，其影响马上就能体现在模型中。但是，因为VAR模型中的变量之间是线性关系，所以这种影响的大小会随随机冲击的单位变化而变化。为此，经常使用的是随机冲击的一个单位的标准差。1jtVMA()所以，单位标准差IRF的定义是变量在受到随机冲击一个单位标准差的变化后的动态变化路径。在这种IRF的计算过程中，同样不考虑各个随机扰动项之间的相关性（即假定相关性为0）。12t+h IRF:a).VAR 0).1,0c).=0 ).VARh=0,1,2,mYtttpjtitptYYYbijCd利用模拟方法获得对于给定的（）模型，选定一个特定时刻点，先设再令或其一个单位的标准差，并且如果则令。为方便起见，设。现在系统就可以用来递归式地计算对应的。4.3 4.3 正交脉冲响应函数正交脉冲响应函数 在简单IRF的介绍中，实际上有一个非常强假设，就是我们假设当 发生变化时，如变化了一个单位或者一个单位的标准差，其他的扰动项的变化为0。这种假设实质上是假定扰动项的方差-协方差矩阵为对角矩阵，即：21222000000n jt 但一般情况下，这个方差协方差矩阵却并不是一个对角矩阵。解决这个问题的办法之一就是使用所谓的“正交脉冲响应函数”。正交IRF的基本思想是依据VAR模型中变量的排列顺序，将互相有相关性的扰动项 转化成不相关的一组随机干扰项 ，这种互不相关的特性在计量经济里称为“正交”。jtujt 如果我们能够找到这样的 ，则有 。这样，就可以分析VAR模型中的变量在受到1个单位的 的冲击后的动态路径了，这就是正交IRF。关键是要将相关的扰动项向量分解成不相关的扰动项向量。有以下几种常用的分解方法。jtujiuuEjtit,0)(tu1)1)三角分解三角分解 triangular decomposition triangular decomposition2 2）乔莱斯）乔莱斯基基分解分解 Cholesky Cholesky decompositiondecomposition 3)3)广义广义IRFIRF Generalized Generalized IRFIRF 4)User Specified IRF 4)User Specified IRF 5 VAR 5 VAR模型和方差分解模型和方差分解 所谓方差分解，就是指我们希望知道一个冲击要素 的方差能由其他随机扰动项解释多少。通过获得这个信息，我们可以获知每个特定的冲击因素对于 的相对重要性。jtjt表表4 4 VAR VAR模型方差分析结果模型方差分析结果