5-1-5-定积分的换元法.pdf

定积分的换元法一、换元公式定理 假设（1）)(xf在,ba上连续；（2）函数)(tx 在,上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间,上变化时，)(tx 的值在,ba上变化，且a)(、b)(，则 有dtttfdxxfba )()()(.注意 当 时，换元公式仍成立.证设)(xF是)(xf的一个原函数，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf )(t 是)()(ttf 的一个原函数.),()()()(dtttfba )(,)()()()()(FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()(.)()(dtttf 注意 当 时，换元公式仍成立.二、应用换元公式时的注意事项（3）（2）（1）换元一定换限)(tx 可微.求出)()(ttf 的一个原函数)(t 后，不必象计算不定积分那样再要把)(t 变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t 然后相减就行了.1例dttt 222cossin 解,sintx 令,costdtdx dttt 222cossin dxx 11211331 x.32 t2 2 x1 12例 053sinsindxxx 023)sin1(sindxxx)下一步？(cossin023 dxxx 2023cossin xdxx 223)cos(sindxxx)(sinsin2023 xxd 223)(sinsinxxd2025sin52 x 225sin52x.54 证重要结论：当)(xf在,aa 上连续，且有 )(xf为偶函数，则 aaadxxfdxxf0)(2)(；)(xf为奇函数，则 aadxxf0)(.,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在 0)(adxxf中令tx ,0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf为偶函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为奇函数，则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0 奇函数例3 计算解 原式偶函数单位圆的面积.11cos21122 dxxxxx 1122112dxxx 11211cosdxxxx 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 计算例4 4 44sin1 xdx利用解 aaadxxfxfdxxf0)()()(44sin1 xdx 40)sin11sin11(dxxx 402cos2 dxx40tan2 x.2 公式应该要会推导并记住的2201sin nnnInnxdxI 为奇数。为偶数；nnnnnnnnnnnnnn13254452312214345231.)()1(,)()()(,),()(12 1 16 6dxxfxyfxfyxfyxxf计算有上连续，对在设例“特性”处理通常利用奇偶性积分的对称区间，象因子的积分时，又有分析：被积函数含有抽)0()()()(fxfxfxxf 0)0()0(2)0()0()0()0()00(fffffff为奇函数即)(0)()(xfxfxf 0)()1(12 1 1dxxfx三、小结几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法dxxfba)(dtttf )()(