5-1-2-定积分的性质.pdf

定积分的性质对定积分的补充规定:（1）当ba 时，0)(badxxf；（2）当ba 时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小一、定积分的性质证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)(badxxg badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1 babadxxfkdxxkf)()(k为常数为常数).证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)(badxxfk性质2由性质1、2可得线性性质：bababadxxgkdxxfkdxxgkxfk.)()()()(2121 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,假设假设bca 性质3性质3也叫定积分的区间可加性，常用于分段函数计算定积分。dxba 1dxba ab .则则0)(dxxfba.)(ba 证,0)(xf,0)(if),.,2,1(ni ,0 ix,0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 .0)(badxxf性质4性质5如果在区间如果在区间,ba上上0)(xf，性质5的推论：（1）（2）（此性质也叫比较定理）)(.)()(),()(,badxxgdxxfxgxfbaxbaba 则则时时若若 )(.)()(badxxfdxxfbaba 解令于是例 4 比较积分值dxex 20和dxx 20的大小.,)(xexfx 0,2 x,0)(xf,0)(02 dxxexdxex 02,02dxx dxex 20.20dxx 设M及m分别是函数（此性质可用于估计积分值的大致范围）则 )()()(abMdxxfabmba .)(xf在区间,ba上的最大值及最小值，性质6例 5 估计积分dxxx 24sin的值.解)(xf在2,4 上单调下降,故4 x为极大点，2 x为极小点,sin)(xxxf 2,4 x2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx ,0,22)4(fM,2)2(fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则在积分区间则在积分区间,ba上至少存在一个点上至少存在一个点 ，使使dxxfba)()(abf .)(ba 性质7（积分中值定理）积分中值公式在区间,ba上至少存在一个点 ，使,)(1)(badxxfabfdxxfba)()(abf .)(ba 即证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使得以区间使得以区间,ba为为以曲线以曲线)(xfy 底边，底边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。的一个矩形的面积。dxxfba)()(abf .,个点个点上至少存在一上至少存在一在区间在区间ba例 6 设)(xf可导，且1)(lim xfx，求dttfttxxx 2)(3sinlim.解由积分中值定理知有,2,xx 使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f)(3lim2 f.6 五、小结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）4典型问题（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小五、小结