2021届高三数学新高考“8+4+4”小题狂练(19)-答案解析.docx

2021 届新高考“8+4+4”小题狂练（19）一、单项选择题.本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A = x | x2 - 5x - 6 < 0 ， B = x | 3x +1 < 3，则 A I B = （）A. x | 0 < x < 6B. x | -1 < x < 0C. x | 0 £ x < 6D. x | x < 0【正确答案】：B【解析】【分析】解出集合 A 、 B 中的不等式即可.【详解】因为 A = x | x2 - 5x - 6 < 0 = x | -1 < x < 6 ， B = x | 3x+1 < 3 = x | x < 0所以 A I B = x | -1 < x < 0故选：B【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法、指数不等式的解法和集合的运算，较简单.z × z= +2. 已知复数 z1 bi 满 足z - z= -i ，其中 z 为复数 z 的共轭复数，则实数b = （）A. -1B. 2C. 1D. 1或-1【正确答案】：C【解析】【分析】根据条件得到 z × z = 1 + b2 ， z - z = 2bi ，代入已知等式，即可求得实数b 的值【详解】由题意得 z= 1- biìz - z = 2biî，所以íz × z = 1+ b2，所以由 z × zz - z= -i ，得1 + b2 = -2bi2 = 2b ，得b = 1故选：C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数等，考查考生对复数四则运算的掌握情况及运算求解能力，属于基础题.3. 若sina= 1 ，则cos2a=387A.B.99C. - 7 9D. - 8 9【正确答案】：B【解析】【详解】分析：由公式cos2 = 1 - 2sin2a可得结果.详解：cos2 = 1- 2sin2a= 1- 2 = 799故选 B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.( ) =ìïxe x，x ¹ 04. 函数 f xíïî2，x = 0的大致图象为（）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】【分析】当 x ® +¥ 时， f (x) ® +¥ ，可排除 AD；当 x < 0 时， f (x) < 0 ，可排除 C，得到答案.【详解】当 x ® +¥ 时， f (x) = xe|x| ® +¥ ，可排除 AD；当 x < 0 时， f (x) = xe|x| < 0 ，可排除 C.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题.5. 已知 a > 1 ，则“ loga x < loga y ”是“ x2 < xy ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】【分析】通过对数函数的单调性和举反例，并借助充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】因为 a > 1 ，所以由loga x < loga y ，得0 < x < y ， 所以 x - y < 0 ， x2 - xy = x(x - y) < 0 ，所以 x2 < xy ，则充分性成立；当 x = -1, y = -2 时， x2 < xy ，但是loga x, loga y 无意义，故必要性不成立. 综上，已知 a > 1，则“ loga x < loga y ”是“ x2 < xy ”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.若想说明一个 式子不成立，可以采用举反例法，给出一个反例即可.16. 已知双曲线 x2 - y2 = 与抛物线 y2 = 8x 的一个交点为 P, F 为抛物线的焦点，若 PF= 5 ，则双曲线的m渐近线方程为（）A. x ± 2 y = 0B. 2x ± y = 0C. 3x ± y = 0D. x ±3 y = 0【正确答案】：C【解析】由抛物线定义得 x + 2 = 5 Þ x = 3, y2 = 24 Þ 32 - 24 = 1 Þ m = 3 ， 因此双曲线的渐近线方程为PPPm2y2x -= 0, 3x ± y = 0 ，选 C.3点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若 P(x0 , y0 ) 为抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 上一点，由定义易得| PF |= x+ p ；若过焦点的弦 AB AB的端点坐标为02A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，则弦长为 AB = x1 + x2 + p, x1 + x2 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到7. 我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆 接雨水，天池盆盆口直径为 2 尺 8 寸，盆底直径为 1 尺 2 寸，盆深 1 尺 8 寸.若盆中积水深 9 寸，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；1 尺等于 10 寸；台体的体积s上s下V = 1 (s + s +) h ）（）3上下A. 3 寸B. 4 寸C. 5 寸D. 6 寸【正确答案】：A【解析】【分析】作出圆台的轴截面,根据已知条件,利用圆台体积公式可求得盆中积水体积,再求出盆口面积,根据平均降水量的定义可求得结果.【详解】作出圆台的轴截面如图所示:由题意知, BF = 14 寸, OC = 6 寸, OF = 18 寸, OG = 9 寸, 即G 是OF 的中点,GE 为梯形OCBF 的中位线,GE = 14 + 6 = 10 寸,即积水的上底面半径为10 寸,2盆中积水的体积为 1p´(100 + 36 +10´ 6)´ 9 = 588p（立方寸）,3又盆口的面积为142p= 196p（平方寸）,平均降雨量是 588p = 3 寸,即平均降雨量是 3 寸,196p故选:A【点睛】本题考查圆台体积的有关计算,关键是能够根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高,考查运算 能力.8. 如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，点O 为底面 ABCD 的中心，点 P 在侧面 BB1C1C 的边界及其内部运动若 D1O OP ，则D1C1P 面积的最大值为（）2 554 55A.B.55C.D. 2【正确答案】：C【解析】【分析】取 BB1 的中点 F ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得OD1 OC ， OD1 OF ，由线面垂直的判定与性质可得OD1 CF ，进而可得点 P 的轨迹为线段CF ，找到C1P 的最大值即可得解.【详解】取 BB1 的中点 F ，连接OF 、 D1F 、CF 、C1F ，连接 DO 、 BO 、OC 、 D1B1 、 D1C ，如图：因为正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，22所以 B1F = BF = 1 , DO = BO = OC =， D1B1 = D1C = 2A1B1C1D1 ， C1D1 平面 BB1C1C ， BB1 平面 ABCD ， BB1 平面OD 2 + DD 21所以OD1 =6 ， OF =， D1F =D B 2 + B F 21 11= 3 ，OB 2 + BF 23所以OD 2 + OF 2 = D F 2 ， OD 2 + OC 2 = D C 2 ，1111所以OD1 OC ， OD1 OF ，由OC I OF = O 可得OD1 平面OCF ，所以OD1 CF ，所以点 P 的轨迹为线段CF ，B C 2 + B F 21 115又C1F => C1C = 2 ,55所以D C P 面积的最大值 S = 1 C F × D C = 1 ´ 2´=.1 12 11 12故选：C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点 P 的轨迹，属于中档题.二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分.）9. 随着 2022 年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是 2012-2018 年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图则下面结论中正确的是（）.A. 2012-2018 年，中国雪场滑雪人数逐年增加；B. 2013-2015 年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；C. 中国雪场 2015 年比 2014 年增加的滑雪人数和 2018 年比 2017 年增加的滑雪人数均为 220 万人，因此这两年的同比增长率均有提高；D. 2016-2018 年，中国雪场滑雪人数的增长率约为 23.4%.【正确答案】：AB【解析】【分析】根据条形图判断人数增减性，即可判断 A；根据折线图判断同比增长率增减性，即可判断 B； 根据折线图判断同比增长率,即可判断 C；计算 2016-2018年滑雪人数的增长率可判断 D.【详解】根据条形图知，2012-2018 年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以 A 正确； 根据条形图知，2013-2015 年，中国雪场滑雪人数逐年增加，根据折线图知，2013-2015 年，中国雪场滑雪人数同比增长率逐年增加，所以 B 正确；根据条形图知，中国雪场 2015 年比 2014 年增加的滑雪人数为1250 -1030 = 220 万人，2018 年比 2017 年增加的滑雪人数为1970 -1750 = 220 万人，根据折线图知，2015 年比 2014 年同比增长率上升，但 2018 年比 2017 年同比增长率有下降，故 C 错误；2016-2018 年，中国雪场滑雪人数的增长率约为1970 -1510 » 30.5% ，故 D 错误；1510故选：AB【点睛】本题考查条形图与折线图、增长率，考查数据分析能力，属基础题.10. 将函数 f (x) = 2 sin æ 2x + pö 的图象向右平移 p 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到 g(x) 的ç6 ÷12èø图象，若 g ( x1 ) g ( x2 ) = 9 ，且 x1, x2 Î-2p, 2p ，则sin ( x1 + x2 ) 的可能取值为（）1A.B. -12C. 1D. 0【正确答案】：BC【解析】【分析】由三角函数图象变换得出 g(x) 的解析式，然后由正弦函数性质求出 x1 , x2 的可能值，再判断各选项【详解】由题意 g(x) = 2sin 2x +1 ， g(x) 的最大值为 3 ， 最小值为 1 ， 因此 g(x1 )g(x2 ) = 9 ， 则g(x ) = g(x ) = 3 ，由 g(x) = 2 sin 2x +1 = 3 得2x = 2kp+ p，x = kp+ p，k Î Z ，又 x , xÎ-2p, 2p ，122412所以x , x Î- 7 p, - 3pp 5p，设 x = k p+ p, x = k p+ p，k , k Î Z，则1244, 4 , 411422412x + x = (k + k )p+ p，则当 k + k偶数（例如 k = -1, x = - 3p, k = 1, x = 5p ）时，sin ( x + x ) 1212212114224 )121，当 k + k 奇数（例如k = 0, x= p, k = 1, x = 5p ）时， sin ( x + x) 1，12114224 )12故选：BC【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质解题关键是利用正弦函数性质得出 x1 , x2 的所有可能取值xy22C :-=>> F , FF11. 设双曲线a2b21(a0, b0) 的左，右焦点分别为 12 ，过 1 的直线 l 分别与双曲线左右两支交M , Nuuuur uuuurF1 uuuur2于两点，以 MN 为直径的圆过 2 ，且 MF2 × MN = 2 MN，则以下结论正确的是（）A. ÐF1MF2= 120° ；B. 双曲线 C 的离心率为；3C. 双曲线 C 的渐近线方程为 y = ±2x ；D. 直线 l 的斜率为 1.【正确答案】：BC【解析】【分析】由uuuur × uuuur = 1 uuuur2 推导出 F M= F N ，然后根据双曲线的定义推理判断各选项MF2 MN2 MN22【详解】如图，作F2 D MN于D，则uuuur uuuuruuuuruuuuruuuur uuur1 uuuur21 uuuur 2uuur1 uuuurMF2 × MN = MF2 × MN cos ÐF2 MN = MNMD =MN2=MN2，所以 MD=MN ，所以 D 是2MN 中点，从而 F2M = F2 N ，根据双曲线定义 MF2- MF1= 2a, NF1 - NF2= 2a ，所以 NF1 - NF2= MN= 4a ，2又以 MN 为直径的圆过 F2 ，所以 MF2 NF2 ， ÐMNF2 = ÐNMF2 = 45° ， 于是ÐF1MF2 = 135° ，A 错；又得 MF2= NF2= 2 2a ， NF1= (2+ 2)a ，由余弦定理 F F 2 = NF 2 + NF 2 - 2 NF NF cos 45° 得1 21212222222 22ce = c =34c = (2 2a)+ (2+ 2) a- 2 ´ 2 2a ´ (2+ 2)a ´，化简得= 3 ，所以22a2，B 正确；ac2a2 + b2b2由= 3 得a2a2a2= 2 ，即 b =a，所以渐近线方程为 y = ±2x ，C 正确；易知ÐNF1F2 < ÐNMF2 = 45° ，所以 kMN = tan ÐNF1F2 < 1 ，D 错 故选：BC【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查双曲线的离心率、渐近线方程，考查平面向量的数量积， 解题关键是由数量积的关系得出等腰三角形，由双曲线的定义得出各线段长（用 a 表示）本题属于中档题12. 如图，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，E 为边 AB 的中点，过 E 作 ED AC 于 D.把V ADE 沿 DE 翻折至A1DE 的位置，连结 A1C .翻折过程中，其中正确的结论是（）A. DE A1C ；B. 存在某个位置，使 A1E BE ；C. 若CF = 2FA1 ，则 BF 的长是定值；D. 若CF = 2FA ，则四面体C - EFB 的体积最大值为 4 319【正确答案】：ACD【解析】【分析】根据线面垂直的性质判断 A，B；取 AC 中点 M ，可证明 FM BM ，从而可计算出 BF ，判断 C；折叠过程中， VBCE 不动，当 F 到平面 ABC 的距离最大时，四面体C - EFB 的体积最大，从而计算出最大体积后判断 D【详解】由 DE DC ， DE A1D ， DC I A1D = D 得 DE 平面 A1DC ，又 A1C Ì 平面 A1DC ，所以DE A1C ，A 正确；若存在某个位置，使 A1E BE ，如图，连接 A1 A, A1B ，因为 BE = AE ，所以 A1E AB ，连接CE ，正V ABC 中，CE AB ，CE Ç A1E = E ，所以 AB 平面 A1CE ，而 A1C Ì 平面 A1CE ，所以 AB A1C ，由选项 A 的判断有 DE A1C ，且 DE I AB = E ， DE Ì 平面 ABC ， AB Ì 平面 ABC ， 所以 A1C 平面 ABC ，又 DC Ì 平面 ABC ，所以 A1C DC ，则 A1D > CD ，这是不可能的，事实上A D = AD = AE cos 60° = 1 AE = 1 AB = 1 AC = 1 CD ，B 错；12443设 M 是 AC 中点，连接 FM , BM ，则 BM AC ，所以 BM / /DE ，从而 BM A1D ， D 是 AM 中点，所以CM = AM = 2MD ，若CF = 2FA1 ，即CF = 2FA1 ，所以 FM/ A1D ，所以 BM FM ，且由11FM / A D 得CFM : CA D ，所以 FM= CM= 2 ，A1DCD33V ABC 边长为 4，则 A D = 1 ， FM = 2 ´1 = 2 ， BM = 2，BF =133BM 2 + FM 2(23+ ç)2æ 2 ö2è 3 ø÷4 7=3为定值，C 正确；折叠过程中， A1D 不变， VBCE 不动，当 F 到平面 ABC 的距离最大时，四面体C - EFB 的体积最大，由选项C 的判断知当 A D 平面 ABC 时， F 到平面 ABC 的距离最大且为 2 A D = 2 ，又13 133S= 1 ´3 ´ 42 = 2，所以此最大值为V= V= 1 ´ 2 3 ´ 2 = 4 3 ，D 正确BCE24C - EFBF - BCE339故选：ACD【点睛】本题考查折叠过程中的线面间的位置关系，考查线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算， 本题考查学生的分析问题解决问题的能力，考查空间想象能力，属于中档题三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知随机变量x服从正态分布 N (2,s2 ) ，且 P(x< 4) = 0.8 ，则R(0 <x< 2) = .【正确答案】： 0.3【解析】试题分析：正态分布均值为m= 2 ， P (2 < x < 4) = 0.8 - 0.5 = 0.3，故 P (0 < x < 2) = 0.3.考点：正态分布14.若多项式 x2 + 2x11 = a + a ( x +1) +L+ a ( x +1)10 + a ( x +1)11 ，则 a= .01101110【正确答案】： -22【解析】【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得 2x11 = 2(x + 1) -111 展开式的通项为 T= 2Cr (x + 1)11-r (-1)r ， 令r +11111 - r = 10 ，解得 r = 1 ，则 a = 2C1 ´ (-1) = -22 ，得解1011【详解】由 2x11 = 2(x + 1) -111 展开式的通项为T= 2Cr (x + 1)11-r (-1)r ，r +111令11 - r = 10 ，解得r = 1 ，则 a = 2C1 ´ (-1) = -22 ，1011故答案为： -22 【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平15. V ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 a cos B + 2b cos A = 0 ，则 tan A =tan B， tan C 的最大值是 【正确答案】：(1). -2(2).24【解析】【分析】（1）由a cos B + 2b cos A = 0 可得tan A 与tan B 的关系，即可求得用tan A 、 tan B 表示，再利用基本不等式，即可得答案；【详解】Q a cos B + 2b cos A = 0 ，tan Atan B的值；（2）利用诱导公式将 tan C sin Acos B + 2 sin B cos A = 0 Þ sin Acos B = -2 sin B cos A Þ tan A = -2 tan B ， tan A = -2 ；tan B tan C = - tan(A + B) = - tan A + tan B= 11 - tan A × tan B2 tan B +1tan B由于求tan C 的最大值，只需考虑tan B > 0 的情况，tan C = 1£ 1 = 22 tan B = 12所以2 tan B +12tan B4 ，等号成立当且仅当.tan B故答案为：-2 ；2 .4【点睛】本题考查正弦定理、诱导公式、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考 查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用基本不等式求最值，要考虑等号成立的条件.16. 已知函数 f (x) 的导函数为 f ¢ (x) ，且对任意的实数 x 都有 f ¢(x) = 2x + 3 - f (x) ( e 是自然对数的底数)，ex且 f (0) = 1，若关于 x 的不等式 f (x) - m < 0 的解集中恰有两个整数，则实数 m 的取值范围是 【正确答案】： (-e, 0【解析】【分析】由f ' (x) = 2x + 3 - f (x)得exéë f ' ( x) + f ( x)ùû ex = 2x + 3，即éë f ( x )ex ùû ' = 2x + 3.设f ( x)ex = x2 + 3x + c ，由 f (0) = 1得c = 1，从而 f ' (x) = - ( x + 2)( x -1) .判断函数 f (x) 的单调性，数形ex结合求实数 m 的取值范围.【详解】Q f ' (x) = 2x + 3 - f (x),é f ' ( x) + f ( x)ù ex = 2x + 3 ，exëû即 éë f ( x )ex ùû ' = 2x + 3 .设 f ( x )ex= x2+ 3x + c, f (x ) =x2 + 3x + c.exQ f (0) = 1,c = 1, f (x ) =x2 + 3x +1,ex'-x2 - x + 2( x + 2)( x -1) f (x) = -.exex由 f ' (x) > 0 ，得-2 < x < 1；由 f ' (x) < 0 ，得 x > 1 或 x < -2 ，函数 f ( x ) 在(-2,1) 上单调递增，在(-¥, -2) 和(1, +¥) 上单调递减，如图所示当 x = -2 时， f ( x)= -e2 .min又 f (-1) = -e, f (-3) = e3 ，且 x > 0 时， f ( x ) > 0 ，由图象可知，要使不等式 f (x) < m 的解集中恰有两个整数， 需满足 f (-1) < m £ 0 ，即-e < m £ 0 .所以实数 m 的取值范围为(-e, 0.故答案为： (-e, 0.【点睛】本题考查利用导数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.