6.3.26.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减运算的坐标表示同步练习含解析.doc

课时素养评价七平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示 (15分钟30分)1.已知向量a=(1,2),a+b=(3,2),则b=()A.(1,-2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)【解析】选D.b=a+b-a=(3,2)-(1,2)=(2,0).2.(2020·南充高一检测)已知A(1,1),B(-2,2),O是坐标原点,则+=()A.(-1,3)B.(3,-1)C.(1,1)D.(-2,2)【解析】选D.因为B(-2,2),O是坐标原点;所以+=(-2,2).3.(2020·沂水高一检测)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=()A.(2,4)B.(3,5)C.(1,1)D.(-1,-1)【解析】选C.=-=-=-(-)=(1,1).4.如图,向量a,b,c的坐标分别是,. 【解析】将各向量分别向基底i,j所在直线分解,则a=-4i+0·j,所以a=(-4,0);b=0·i+6j,所以b=(0,6);c=-2i-5j,所以c=(-2,-5).答案:(-4,0)(0,6)(-2,-5)5.已知点A(1,2),B(4,2),向量a=(x+y,x-2y),若a与向量相等,则x-y=. 【解析】因为=(3,0),a=,所以解得所以x-y=1.答案:16.已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量,的坐标.【解析】正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60°,2sin 60°),所以C(1,),D,所以=(2,0),=(1,),=(1-2,-0)=(-1,),=.【补偿训练】如图,取与x轴、y轴同向的两个单位向量i,j作为基底,分别用i,j表示,并求出它们的坐标.【解析】由题图可知,=6i+2j,=2i+4j,=-4i+2j,它们的坐标表示为=(6,2),=(2,4),=(-4,2). (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知O是坐标原点,点A在第一象限,|=4,xOA=60°,则向量的坐标为 ()A.(6,2) B.(2,3)C.(2,8) D.(2,6)【解析】选D.设点A(x,y),则x=|·cos 60°=4cos 60°=2,y=|·sin 60°=4sin 60°=6,即A(2,6),所以=(2,6).2.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),则向量的坐标是 ()A.(2,2)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(4,2)【解析】选B.因为平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),所以=(-2,1)-(-1,3)=(-1,-2),=(3,4)-(-1,3)=(4,1).所以=+=(-1,-2)+(4,1)=(3,-1).3.(2020·宁波高一检测)已知A(-1,2),B(2,-1),若点C满足+=0,则点C坐标为()A.B.(-3,3)C.(3,-3)D.(-4,5)【解析】选D.设C(x,y),由A(-1,2),B(2,-1),得=(x+1,y-2),=(3,-3);又+=0,所以=-,即解得所以点C坐标为(-4,5).4.如果将=绕原点O逆时针方向旋转120°得到,则的坐标是()A.B.C.D.【解析】选D.因为=,所以xOA=30°,绕原点O逆时针方向旋转120°得到,所以射线OB与单位圆的交点B的坐标为(cos 150°,sin 150°),即,所以=.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任意一向量a,下列结论中正确的是 ()A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)B.若x1,x2,y1,y2R,a=(x1,y1)(x2,y2),则x1x2,且y1y2C.若x,yR,a=(x,y),且a0,则a的起点是原点OD.若x,yR,a的起点坐标是(1,1),且a的终点坐标是(x,y),则a=(x-1,y-1)【解析】选AD.由平面向量基本定理知A正确;若a=(1,0)(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;根据向量坐标的计算方法可知D正确.6.在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j,则下列说法正确的是()A.=2i+3jB.=3i+4jC.=-5i+jD.=5i+j【解析】选AC.因为i,j互相垂直,故可作为基底,由平面向量基本定理,可得=2i+3j,=-3i+4j,=-=-5i+j,=-=5i-j,故AC正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,若=-4i+3j,=i-6j,O为坐标原点,向量与互为相反向量,则点M的坐标为. 【解析】因为=-4i+3j,=i-6j,所以=,=,所以=+=+=,又因为向量与互为相反向量,所=-=,所以点M的坐标为.答案:8.已知在非平行四边形ABCD中,ABDC,且A,B,D三点的坐标分别为(0,0),(2,0),(1,1),则顶点C的横坐标的取值范围是. 【解析】当ABCD为平行四边形时,则=+=(2,0)+(1,1)=(3,1),故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1,3)(3,+).答案:(1,3)(3,+)四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,AOx=45°,OAB=105°, =a,=b.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a,b的坐标;(2)求向量的坐标;(3)求点B的坐标.【解析】(1)作AMx轴于点M,则OM=OAcos 45°=4×=2,AM=OAsin 45°=4×=2.所以A(2,2),故a=(2,2).因为AOC=180°-105°=75°,所以COx=120°.又OC=AB=3,所以C,所以=,即b=.(2)=-=.(3)=+=(2,2)+=,故点B的坐标为.10.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),(1)若=+,求点P的坐标.(2)若+=0,求的坐标.【解析】(1)因为=(1,2),=(2,1),所以=(1,2)+(2,1)=(3,3),即点P的坐标为(3,3).(2)设点P的坐标为(x,y),因为+=0,又+=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).所以解得所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2).1.如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,求的坐标.【解析】设A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧长为2,ABP=2.设P(x,y),则x=2-1×cos=2-sin 2,y=1+1×sin=1-cos 2,所以的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).2.已知平行四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D的坐标依次为(3,-1),(1,2),(m,1),(3,n).求msin +ncos 的最大值.【解析】因为四边形ABCD为平行四边形,则=,即(3-3,n+1)=(m-1,1-2),即得m=1,n=-2,得msin +ncos =sin -2cos =sin(+),其中tan =-2,故msin +ncos 的最大值为.【补偿训练】以原点O及点A(2,-2)为顶点作一个等边AOB,求点B的坐标及向量的坐标.【解析】因为AOB为等边三角形,且A(2,-2),所以|=|=|=4.因为在02范围内,以Ox为始边,OA为终边的角为,当点B在OA的上方时,以OB为终边的角为,由三角函数的定义得:=(2,2).所以=-=(2,2)-(2,-2)=(0,4).当点B在OA的下方时,以OB为终边的角为,由三角函数的定义得:=(0,-4),所以=-=(0,-4)-(2,-2)=(-2,-2).综上所述,点B的坐标为(2,2),的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0,-4),的坐标为(-2,-2).- 8 -