向量的数量积与向量积.PPT

第四节第四节 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积一、向量的数量积 引例 外力做功问题 由物理学可知，若质点受外力F的作用，沿直线移动，得到位移s.设位移方向与力的方向间的夹角为(F,s)，则这个力所做的功W为 W=|F|s|cos(F,s).定义1 若给定向量a，b，定义|a|b|cos(a,b)为向量a与b的数量积，记为ab，即 ab=|a|b|cos(a,b)，又称之为点积.性质 两个非零向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为零.由数量积的定义可以证明 ab=ba，(a)b=a(b)=(ab)(为一数量)，(a+b)c=ac+bc.若a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，则向量的数量积可以用向量的坐标来表示：由于i，j，k是互相垂直的基本单位向量，因此于是可得由此可得知两个非零向量a，b垂直的充分必要条件的坐标表达式:特别地，当a=b时，有 注意到ab=|a|b|cos(a,b)，可知当a，b都是非零向量时，它们间夹角的方向余弦可以由坐标表达式表示为例1 证明证 (a+b)(ab)例2 已知a=(3,0,1)，b=(2,1,3)，求ab，(a,b).由于 且解例3 设a=2i+xjk，b=3ij+2k，且ab，求x.解 由于ab，可知必有即 23+x(1)+(1)2=0.整理得方程x+4=0，解方程得x=4.二、两向量的向量积 引例 当用扳手拧螺母时，若扳手沿逆时针方向转动，则其螺母朝外移动.若扳手沿顺时针方向转动，则螺母朝里移动，而其移动的距离，取决于所施外力及扳手的臂的长短.其移动的方向垂直于外力方向与扳手的臂所决定的平面.从力学上看螺母移动取决于力矩M，而力矩又取决于力臂L和力F，且定义2 由向量a，b可以作出向量c，使c满足下列三个条件：(2)ca，cb，(3)a，b，c成右手系，则称c为a，b的向量积，记为c=ab，通常也称c为a，b的叉积.(1)|c|=|a|b|sin(a,b)，对于OA，OB的向量积OC也可以给出几何解释：OC的模在数值上等于以OA，OB为两邻边的平行四边形的面积，而OC垂直于OA，OB所决定的平面，且OA，OB，OC成右手系.性质 两个非零向量平行的充分必要条件是它们向量积为零.若 ，可以导出ab的坐标表达式.由向量积的定义可以证明：由于i，j，k为互相垂直的基本单位向量，可得知因此可得若利用行列式的形式，上式可以写为形式记法注意ab=0意味着 当x2，y2，z2中有一个为零时，不妨设x2=0，而y2，z2不同时为零，则约定x1=0，此时上述比例记法仍可以认为有意义.因此可以说若a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，则ab的充要条件为例4 设a=(0,1,2)，b=(2,1,1)，求与a和b都垂直的单位向量.解 令c=ab，由向量积的定义知c与a和b都垂直.因此所以与a和b都垂直的单位向量为ec，即而与c同方向的单位向量 .例5 已知空间中的三点A(1,1,0)，B(2,1,3)，C(2,1,2)，求ABC的面积.解 由向量积的定义可以得到启发，作向量AB，AC，以AB，AC为邻边的平行四边形的面积值等于|ABAC|，而该平行四边形的面积=2SABC.由于因此