周期为2l的傅立叶级数.ppt

一一.以以2l 为周期的函数的傅立叶展开为周期的函数的傅立叶展开二、内容小结及作业二、内容小结及作业1第八节第八节 以以2l为周期的函数的傅立叶级数为周期的函数的傅立叶级数周期为 2l 函数周期为 2 函数变量代换作傅氏展开将的傅氏展开式2定理定理 设周期为2l 的周期函数则它的傅立叶展开式为(在 f(x)的连续点处)其中一一.以以2l 为周期的函数的傅立叶展开为周期的函数的傅立叶展开满足收敛定理条件,3证明证明:令则由令则所以 是以2为周期的周期函数,且它满足收敛定理条件,将它展成傅立叶级数:(在 F(z)的连续点处)变成4(在 F(z)的 连续点处)其中令令(在 f(x)的 连续点处)5(在 f(x)的 连续点处)其中如果 f(x)为奇函数奇函数,则有其中(在 f(x)的连续点处)6如果 f(x)为偶函数偶函数,则有(在 f(x)的连续点处)其中注注:无论哪种情况,在 f(x)的间断点 x 处,傅立叶级数收敛于7例例1.交流电压经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的傅立叶级数.解解:这个半波整流函数的周期是 ,它在 ,上的表达式为8时9 n 1 时10由于半波整流函数 f(t)在直流部分直流部分2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小,因此在实际应用中取展开式中前几项就够了.说明说明:交流部分交流部分上连续,由收敛定理可得11例例2.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解解:(1)将 作奇周期延拓,则有在 x=2 k 处级数收敛于何值?12(2)将 作偶周期延拓,则有13说明说明:此式对也成立,据此有由此还可导出14当函数定义在任意任意有限区间上时,其傅立叶展开方法为:方法方法1.令即在上展成傅立叶级数周期延拓将在代入展开式上的傅立叶级数.15方法方法2.令在上展成正弦正弦或余弦余弦级数奇奇或偶偶式周期延拓将 代入展开式在即上的正弦正弦或余弦余弦级数.16例例3.将函数展成傅立叶级数.解解:令设将F(z)延拓成周期为 10 的周期函数,则它满足收敛定理条件.由于F(z)是奇函数，故17二、内容小结二、内容小结1.周期为的函数的傅立叶级数展开公式(x 间断点)其中当为奇 函数时(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅立叶展开法变换延拓为正弦 函数.1819思考与练习思考与练习1.将函数展开为傅立叶级数时为什么最好画出其图形?答答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅立叶系数时为什么有些系数要单独算?答答:用系数公式计算时,如出现某些正整数作分母,这些正整数对应的系数就必须单独计算.从而便于计算系数和写出收敛域.20