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计量经济学第七章现在学习的是第1页，共71页引言n n对时间序列Yt的变动进行解释或预测l l单一方程回归模型单一方程回归模型l l联立方程回归模型联立方程回归模型l l上面两类模型均称为结构式模型上面两类模型均称为结构式模型n n以因果关系为基础以因果关系为基础n n具有一定的模型结构具有一定的模型结构2 2现在学习的是第2页，共71页引言（续1）n n若Yt波动的原因是无法解释的因素l l如气候、消费者偏好的变化等如气候、消费者偏好的变化等l l则用结构式模型解释则用结构式模型解释YYtt变动就较为困难或不可能变动就较为困难或不可能n n要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的很困难的n n即使估计出一个较为满意的因果关系回归方程，但对某些解即使估计出一个较为满意的因果关系回归方程，但对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难量的未来值更困难l l因此，因果关系模型及其预测技术就不适用了因此，因果关系模型及其预测技术就不适用了3 3现在学习的是第3页，共71页引言（续2）n n采用另一条预测途径l l通过时间序列的历史数据，得出关于其过通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论去行为的有关结论l l进而对时序未来行为进行推断进而对时序未来行为进行推断4 4现在学习的是第4页，共71页5 5引言（续引言（续3）n nARMA模型的提出l l由Box、Jenkins创立，亦称B-J方法l l是一种精度较高的时序预测方法n nARMA模型基本思想l l某些时序是依赖于时间t 的一簇随机变量，构成该时序的单个序列值虽然不具有确定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描述l l通过对该数学模型的分析研究，能够更本质的认识时序的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测现在学习的是第5页，共71页6 6第一节第一节 ARMA模型概述模型概述n n自回归模型自回归模型n n移动平均模型移动平均模型n n自回归移动平均模型自回归移动平均模型现在学习的是第6页，共71页7 7ARMA模型模型自回归自回归(AR:Auto-regressive)模型模型移动平均移动平均(MA:Moving Average)模型模型自回归移动平均自回归移动平均(ARMA:Auto-regressive Moving Average)模型模型现在学习的是第7页，共71页8 8自回归模型自回归模型n n自回归模型l l若时序yt 是它的前期值和随机项的线性函数n n l l则称该时序yt 是自回归序列，(1)式为p阶自回归模型，记为AR(p)n n实参数实参数 称为自回归系数，是待估参数称为自回归系数，是待估参数n n随机项随机项u ut t 是相互独立的白噪声序列，且服从均值是相互独立的白噪声序列，且服从均值为为0 0、方差为、方差为 的正态分布的正态分布n n随机项与滞后变量随机项与滞后变量y yt-1 t-1,y,yt-2 t-2,y,yt-pt-p不相关不相关l l不失一般性，在(1)式中假定序列yt 均值为0n n若若 ，则令，则令n n可将可将 写成写成(1)(1)式的形式式的形式现在学习的是第8页，共71页9 9自回归模型（续）自回归模型（续）n nAR(p)模型l l记Bk为k步滞后算子，即l l则(1)式可表示为n n l l令n n l l则模型可简写为n n n nAR(p)过程平稳的条件l l滞后多项式 的根均在单位圆外，即n n 的根大于的根大于1 1现在学习的是第9页，共71页1010移动平均模型移动平均模型n n移动平均模型l l若时序yt 是它的当期和前期的随机误差项的线性函数n n l l则称该时序yt 为移动平均序列，(3)式为q阶移动平均模型，记为MA(q)n n实参数实参数 为移动平均系数，是待估参数为移动平均系数，是待估参数n nMA(q)模型l l引入滞后算子，并令n n l l则模型(3)可简写为现在学习的是第10页，共71页1111移动平均模型（续移动平均模型（续1 1）n nMAARl lMA过程无条件平稳n n但通常希望但通常希望ARAR过程与过程与MAMA过程能相互表出，即过过程能相互表出，即过程可逆程可逆n n则要求滞后算子则要求滞后算子 的根都在单位圆外的根都在单位圆外l lMA(q)模型的逆转形式n n l l其中，其中，其他权重，其他权重 可递推得到可递推得到n n其等价于无穷阶的其等价于无穷阶的ARAR过程过程现在学习的是第11页，共71页1212移动平均模型（续移动平均模型（续2 2）n nARMAl lAR(p)模型的逆转形式n n(2)(2)式式满满足平足平稳稳条件条件时时，可改写，可改写为为l l l l其中，其中，n n其等价于无其等价于无穷阶穷阶的的MAMA过过程程现在学习的是第12页，共71页1313自回归移动平均模型自回归移动平均模型n n自回归移动平均模型l l若时序式它的当期和前期的随机误差项以及前期值的线性函数n n l l则称该序列是自回归移动平均序列，(4)式为(p,q)阶的自回归移动平均模型，记为ARMA(p,q)n n 为自回归系数，为自回归系数，为移动平均系为移动平均系数，都是模型的待估参数数，都是模型的待估参数现在学习的是第13页，共71页1414自回归移动平均模型（续）自回归移动平均模型（续）n nARMA(p,q)模型l lAR(p)和MA(q)都是ARMA(p,q)的特例n n若若q=0q=0，则，则ARMA(p,q)ARMA(p,q)AR(p)AR(p)n n若若p=0p=0，则则ARMA(p,q)ARMA(p,q)MA(q)MA(q)l l引入滞后算子B，模型(4)可简写为n n l lARMA过程平稳的条件n n滞后多滞后多项项式式 的根均在的根均在单单位位圆圆外外l lARMA过程可逆的条件n n滞后多滞后多项项式式 的根都在的根都在单单位位圆圆外外现在学习的是第14页，共71页1515第二节第二节 随机时序的特性分析随机时序的特性分析n n时序特性的研究工具时序特性的研究工具n n时序特性分析时序特性分析现在学习的是第15页，共71页1616时序特性的研究工具时序特性的研究工具n n自相关l l构成时序的每个序列值yt,yt-1,yt-k之间的简单相关关系称为自相关l l自相关程度由自相关系数rk 度量n n表示时序中相隔表示时序中相隔k k期的观测值之间的相关程度期的观测值之间的相关程度n n l l其中，其中，n n是样本量；是样本量；k k为滞后期；为滞后期；代表样本代表样本数据的算术平均值数据的算术平均值n n ，且，且|r rk k|越接近越接近1 1，自相关程度越高，自相关程度越高现在学习的是第16页，共71页1717时序特性的研究工具（续时序特性的研究工具（续1 1）n n偏自相关l l指对于时序yt，在给定yt-1,yt-k+1的条件下，yt 与yt-k 之间的条件相关关系l l相关程度用偏自相关系数度量n n l l其中，其中，r rk k 是滞后是滞后k k期的自相关系数期的自相关系数现在学习的是第17页，共71页1818时序特性的研究工具（续时序特性的研究工具（续2 2）n n自(偏自)相关分析图l l实际应用中，应综合考察序列的自相关与偏自相关l l将时序的自(偏自)相关系数绘制成图，并标出一定的随机区间，称为自(偏自)相关分析图l l是对时序进行自(偏自)相关分析的主要工具现在学习的是第18页，共71页1919时序特性的研究工具（续时序特性的研究工具（续3 3）n n操作l l最大滞后阶数k的选择n n一般，一般，k k取取 n n/10/10 或或 n n/4/4 n n考察季节数据时，取季节周期长度的整数倍考察季节数据时，取季节周期长度的整数倍l l输出结果n n左半部分是序列的自相关和偏自相关分析图左半部分是序列的自相关和偏自相关分析图n n右半部分包括五列数据右半部分包括五列数据l l第一列的自然数表示滞后期第一列的自然数表示滞后期k kl lACAC是自相关系数，是自相关系数，PACPAC是偏自相关系数是偏自相关系数l l最后两列是对序列进行独立性检验的最后两列是对序列进行独立性检验的QQ统计量统计量和相伴概率和相伴概率现在学习的是第19页，共71页2020时序特性分析时序特性分析n n随机性l l概念n n若时序是纯随机的，意味着序列没有任何规律性，若时序是纯随机的，意味着序列没有任何规律性，序列诸项之间不存在相关，即序列为白噪声序列序列诸项之间不存在相关，即序列为白噪声序列n n其自相关系数应该与其自相关系数应该与0 0没有显著差异没有显著差异l l判断方法n n利用自相关分析图，其中给出了显著性水平利用自相关分析图，其中给出了显著性水平=0.05=0.05时的置信带时的置信带l l自相关系数落入置信区间内表示与自相关系数落入置信区间内表示与0 0无显著差异无显著差异n n若几乎所有自相关系数都落入随机区间，可认为序若几乎所有自相关系数都落入随机区间，可认为序列是纯随机的列是纯随机的现在学习的是第20页，共71页2121时序特性分析（续时序特性分析（续1 1）n n平稳性l l概念n n若时序若时序y yt t 满足满足l l对任意时间对任意时间t t，其均值恒为常数，其均值恒为常数l l对任意时间对任意时间t t和和s s，其自相关系数只与时间间隔，其自相关系数只与时间间隔t-st-s有关，而与有关，而与t t和和s s的起始点无关的起始点无关n n则该时序称为平稳时序则该时序称为平稳时序l l直观的讲n n平稳时序的各观测值围绕其均值上下波动平稳时序的各观测值围绕其均值上下波动n n且该均值与时间且该均值与时间t t无关，振幅变化不剧烈无关，振幅变化不剧烈l l判断方法n n若序列的自相关系数很快的若序列的自相关系数很快的(滞后阶数滞后阶数k k大于大于2 2或或3 3时时)趋于趋于0 0，即落入随机区间，则时序是平稳的，即落入随机区间，则时序是平稳的现在学习的是第21页，共71页2222时序特性分析（续时序特性分析（续2 2）n n季节性l l概念n n指在某一固定的时间间隔上，序列重复出现某种指在某一固定的时间间隔上，序列重复出现某种特性特性n n一般的，月度资料的时序，其季节周期为一般的，月度资料的时序，其季节周期为1212个月；个月；季度资料的时序，其季节周期为季度资料的时序，其季节周期为4 4个季度个季度l l判断标准n n月度数据，考察月度数据，考察k=12,24,36,k=12,24,36,时的自相关系数时的自相关系数是否与是否与0 0有显著差异有显著差异n n季度数据，考察季度数据，考察k=4,8,12,k=4,8,12,时的自相关系数是否时的自相关系数是否与与0 0有显著差异有显著差异现在学习的是第22页，共71页2323时序特性分析（续时序特性分析（续3 3）n n注意l l只有平稳时序才能建立ARMA模型l l否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求n n若原序列若原序列y yt t 非平稳，经过非平稳，经过d d 阶逐期差分后平稳，则阶逐期差分后平稳，则新序列新序列z zt t 称为齐次称为齐次(homogeneous)(homogeneous)序列，记为序列，记为l l n n平稳序列平稳序列z zt t 可建立可建立ARMAARMA模型，原序列模型，原序列y yt t 可表示为可表示为ARIMA(p,d,q)ARIMA(p,d,q)模型模型l l 现在学习的是第23页，共71页2424时序特性分析（续时序特性分析（续4 4）n n注意（续）l l差分法并非万能的，且存在明显的缺点n n存在很多时序不能通过差分而平稳存在很多时序不能通过差分而平稳n n差分虽能消除某些序列的趋势而易于建模，但同差分虽能消除某些序列的趋势而易于建模，但同时也消除了原序列的长期特征，会丢失某些信息时也消除了原序列的长期特征，会丢失某些信息n n实际的经济时序差分阶数实际的经济时序差分阶数d d 一般不超过一般不超过2 2l l季节性和趋势同时存在时n n必须事先剔除序列趋势性再识别序列的季节性必须事先剔除序列趋势性再识别序列的季节性n n否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误现在学习的是第24页，共71页2525时序特性分析（续时序特性分析（续5 5）n n例7-1 下表中，序列zt表示1994年1月至1998年12月经居民消费价格指数调整的中国城镇居民可支配收入时间序列。用自相关分析图识别序列的季节性l l为减小序列波动，对序列zt作自然对数变换，记新序列为lzt现在学习的是第25页，共71页2626时序特性分析（续时序特性分析（续6 6）n n作序列lzt的折线图l l由图可知，1994-1998年我国城镇居民人均可支配收入水平总体呈上升趋势，且每年二月的观测值都远大于相临月份，表现出明显的季节波动现在学习的是第26页，共71页2727时序特性分析（续时序特性分析（续7 7）n n绘制序列lzt的自相关分析图l l由图可知，序列的自相关系数没有很快趋于0，说明序列是非平稳的n n正好与折线图显示的上升趋势一致正好与折线图显示的上升趋势一致l l则由自相关图很难看出序列是否具有季节性，需对原序列进行逐期差分，以消除趋势n n经过差分的新序列为经过差分的新序列为dlzdlzt t现在学习的是第27页，共71页2828时序特性分析（续时序特性分析（续8 8）n n绘制序列dlzt的自相关分析图l l与上图相比，经过一阶逐期差分的序列趋势已基本消除l l但滞后期k=12时序列自相关系数是0.597，大大超出了随机区间的范围，与0有显著差异n n表明序列有周期为表明序列有周期为1212个月的季节波动个月的季节波动现在学习的是第28页，共71页2929时序特性分析（续时序特性分析（续9 9）n n一般的l l包含季节性的时序也不能直接建立ARMA模型，需进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一致n n上例中，对上例中，对dlzdlzt t 进行一阶季节差分可表示为进行一阶季节差分可表示为l l l l若序列yt 经过D阶周期长度为s 的差分，季节性基本消除，新序列wt 可表示为n n 现在学习的是第29页，共71页3030时序特性分析（续时序特性分析（续1010）n nARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型l l若序列在季节差分之前还进行了d阶的逐期差分才平稳，则可对原序列建立ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型n n n n其中，其中，P P是季节自回归阶数，是季节自回归阶数，Q Q是季节移动平均阶是季节移动平均阶数，且分别称数，且分别称 和和 为季节为季节P P阶自回归阶自回归算子和算子和QQ阶移动平均算子阶移动平均算子非季节AR(p)季节AR(P)d阶逐期差分D阶季节差分非季节MA(q)季节MA(Q)现在学习的是第30页，共71页3131时序特性分析（续时序特性分析（续1111）n n例7-2续例7-1，绘制一阶逐期差分和一阶季节差分后的城镇居民人均可支配收入序列sdlzt 的自相关分析图现在学习的是第31页，共71页3232第三节第三节 模型的识别与建立模型的识别与建立n n自相关函数与偏自相关函数自相关函数与偏自相关函数n n模型的识别模型的识别n n模型的参数估计模型的参数估计n n模型的检验模型的检验现在学习的是第32页，共71页3333自相关函数与偏自相关函数自相关函数与偏自相关函数n nMA(q)的自相关与偏自相关函数l l模型l l自相关函数的截尾性n n n n自相关函数的截尾性自相关函数的截尾性l l序列的自相关函数序列的自相关函数 k k在在kqkq以后全部是以后全部是0 0l l有利于识别移动平均过程的阶数有利于识别移动平均过程的阶数q ql l偏自相关函数的拖尾性n n序列的偏自相关函数随着滞后期序列的偏自相关函数随着滞后期k k的增加，呈现的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于指数或者正弦波衰减，趋向于0 0现在学习的是第33页，共71页3434自相关函数与偏自相关函数（续自相关函数与偏自相关函数（续1 1）n nAR(p)的自相关与偏自相关函数l l模型l l偏自相关函数的截尾性n n n n序列的偏自相关函数序列的偏自相关函数 kk kk 是是p p步截尾的，即当步截尾的，即当kpkp时，时，kk kk 的值是的值是0 0n n有利于识别自回归模型和确定阶数有利于识别自回归模型和确定阶数p pl l自相关函数的拖尾性n n序列的自相关函数呈现指数或者正弦波衰减序列的自相关函数呈现指数或者正弦波衰减现在学习的是第34页，共71页3535自相关函数与偏自相关函数（续自相关函数与偏自相关函数（续2 2）n nARMA(p,q)的自相关和偏自相关函数l l较为复杂l l可证明，它们均是拖尾的现在学习的是第35页，共71页3636模型的识别模型的识别n n例7-3序列pt是某国1960-1993年GNP平减指数的季度时间序列，要求对平稳序列iilpt()进行模型识别l l将序列命名为pl l对序列取对数后进行逐期差分，新序列命名为iilp，即n n 现在学习的是第36页，共71页3737模型的识别（续模型的识别（续1 1）n n绘制序列iilp的线图l l由上图可知，序列基本已平稳，且均值为0现在学习的是第37页，共71页3838模型的识别（续模型的识别（续2 2）n n绘制序列iilp的自相关(偏自相关)分析图l l由图可知n n偏自相关系数在偏自相关系数在k=2k=2后很快趋于后很快趋于0 0，则取，则取p=2p=2n n自相关系数在自相关系数在k=3k=3时似乎也与时似乎也与0 0有显著差异，可考虑有显著差异，可考虑q=1q=1或或q=2q=2l l则序列iilp可建立ARMA(2,1)或 ARMA(2,2)模型现在学习的是第38页，共71页3939模型的参数估计模型的参数估计n n参数估计l l采用非线性方法l lMA模型的参数估计相对困难n n尽量避免使用高阶的移动平均模型尽量避免使用高阶的移动平均模型n n或包含高阶移动平均项的或包含高阶移动平均项的ARMAARMA模型模型现在学习的是第39页，共71页4040模型的参数估计（续模型的参数估计（续1 1）n n例7-4续例7-3，对序列iilpt建立ARMA(2,1)和ARMA(2,2)模型l l可利用窗口菜单或命令方式建立模型n nar(i)(i=1,2,)ar(i)(i=1,2,)代表模型中的自回归部分代表模型中的自回归部分n nma(j)(j=1,2,)ma(j)(j=1,2,)代表模型中的移动平均部分代表模型中的移动平均部分l l选择模型的重要标准n n对参数对参数t t检验显著性水平的要求不像回归方程中检验显著性水平的要求不像回归方程中那么严格，更多的是考虑模型整体拟合效果那么严格，更多的是考虑模型整体拟合效果n n则调整后的决定系数、则调整后的决定系数、AICAIC和和SCSC准则都是选择模准则都是选择模型的重要标准型的重要标准现在学习的是第40页，共71页4141模型的参数估计（续模型的参数估计（续2 2）n n建立模型l lARMA(2,1)模型n n滞后多项式的倒数根落入单位圆内，满足过程平稳滞后多项式的倒数根落入单位圆内，满足过程平稳的基本要求的基本要求n n调整后的决定系数为调整后的决定系数为0.3877950.387795n nAICAIC和和SCSC值分别为值分别为-7.769828-7.769828和和-7.704310-7.704310l lARMA(2,2)模型n n滞后多项式的倒数根落入单位圆内，满足过程平稳滞后多项式的倒数根落入单位圆内，满足过程平稳的基本要求的基本要求n n调整后的决定系数为调整后的决定系数为0.3847680.384768，小于上模型，小于上模型n nAICAIC和和SCSC值分别为值分别为-7.7575-7.7575和和-7.6702-7.6702，大于上模型，大于上模型l l则可以认为ARMA(2,1)模型更合适现在学习的是第41页，共71页4242模型的检验模型的检验n n残差序列et的白噪声检验l l残差序列不是白噪声序列n n意味着残差序列还存在有用信息没被提取，需要进意味着残差序列还存在有用信息没被提取，需要进一步改进模型一步改进模型l l一般侧重于检验残差序列的随机性n n滞后期滞后期k k11，残差序列的，残差序列的样样本自相关系数本自相关系数应应近似近似为为0 0现在学习的是第42页，共71页4343模型的检验（续模型的检验（续1 1）n n检验方法残差序列的2检验l l零假设H0：残差序列et相互独立l l残差序列的自相关函数n n n n其中，其中，n n是计算是计算r rk k的序列观测量，的序列观测量，m m是最大滞后期是最大滞后期l l若观测量较多，若观测量较多，m m可取可取 n/10n/10 或或 l l若样本量较小，则若样本量较小，则m m一般取一般取 n/4n/4 现在学习的是第43页，共71页4444模型的检验（续模型的检验（续2 2）n n检验方法残差序列的2检验（续）l l当 时，l l检验统计量n n n n在零假设下，在零假设下，Q Q服从服从 分布分布现在学习的是第44页，共71页4545模型的检验（续模型的检验（续3 3）n n例7-5续例7-4，对ARMA(2,1)模型的残差序列进行检验l l该残差序列的样本n为132，最大滞后期可取132/10=13 或l l从k=13一行或k=11一行找到检验统计量Q值为8.7502或7.9992，检验的p值大于显著性水平(0.05或0.01)n n则不能拒绝序列相互独立的原假设，检验通过则不能拒绝序列相互独立的原假设，检验通过n n表明序列是纯随机的表明序列是纯随机的现在学习的是第45页，共71页4646第四节第四节 模型的预测模型的预测n n预测值的计算预测值的计算n n预测实例预测实例现在学习的是第46页，共71页4747预测值的计算预测值的计算n nL步预测l lB-J方法采用L步预测l l即根据已知n个时刻的序列观测值y1,y2,yn，对未来的n+L个时刻的序列值做出估计l l常用的方法：线性最小方差预测n n主要思想是使预测误差的方差达到最小主要思想是使预测误差的方差达到最小n n令令 表示用模型做的表示用模型做的L L步平稳线性最小方差预测步平稳线性最小方差预测n n预测误差预测误差l l n n并使下式达到最小并使下式达到最小l l 现在学习的是第47页，共71页4848预测值的计算（续预测值的计算（续1 1）n nAR(p)序列的预测l l模型 的L步预测值为n n n n其中其中l l 现在学习的是第48页，共71页4949预测值的计算（续预测值的计算（续2 2）n nMA(q)序列的预测l l对模型n n当当LqLq时时l l l l即所有白噪声的时刻都大于即所有白噪声的时刻都大于n n，则与历史取值无关，则与历史取值无关n n n n当当L Lqq时时，各步，各步预测值预测值可写成矩可写成矩阵阵形式形式l l递递推推时时，初，初值值 取取值为值为0 0现在学习的是第49页，共71页5050预测实例预测实例n n例7-6下表是我国1990年1月至1997年12月工业总产值的月度资料(1990年不变价格)，记作yt，共有96个观测值，对序列yt建立ARMA模型现在学习的是第50页，共71页5151预测实例（续预测实例（续1 1）n n时序特征分析l l绘制序列yt的线图n n序列具有明显的增长趋势，并包含周期为序列具有明显的增长趋势，并包含周期为1212个月个月的季节波动的季节波动现在学习的是第51页，共71页5252预测实例（续预测实例（续2 2）n n时序特征分析（续1）l l绘制序列yt的自相关与偏自相关图n n由图可知，序列是非平稳的由图可知，序列是非平稳的l l对原序列做一阶自然对数逐期差分n n目的在于消除趋势，同时减小序列的波动目的在于消除趋势，同时减小序列的波动n n差分后的序列为差分后的序列为ilyilyt tl l绘制序列的自相关与偏自相关图n n由图可知，序列的趋势基本消除，但当由图可知，序列的趋势基本消除，但当k=12k=12时，时，样本的自相关系数和偏自相关系数显著不为样本的自相关系数和偏自相关系数显著不为0 0，表明存在季节性表明存在季节性现在学习的是第52页，共71页5353预测实例（续预测实例（续3 3）n n时序特征分析（续2）l l对序列ilyt做季节差分，得到新序列silytl l绘制序列的自相关与偏自相关图n n序列的趋势已基本消除，但在序列的趋势已基本消除，但在k=12k=12时取值仍较大，时取值仍较大，即季节性依然比较明显即季节性依然比较明显n n尝试对序列进行二阶季节差分，但序列的季节性尝试对序列进行二阶季节差分，但序列的季节性未得到明显改善，则只做一阶季节差分即可未得到明显改善，则只做一阶季节差分即可l l为检验模型的预测效果，将1997年12个观测值留出，作为评价预测精度的参照对象n n建模的样本期：建模的样本期：1990.01-1996.121990.01-1996.12现在学习的是第53页，共71页5454预测实例（续预测实例（续4 4）n n模型的识别l l选用ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)sn n经过一阶逐期差分，序列趋势消除，则经过一阶逐期差分，序列趋势消除，则d=1d=1n n经过一阶季节差分，季节性基本消除，则经过一阶季节差分，季节性基本消除，则D=1D=1l l观察序列silyt的自相关与偏自相关图n n偏自相关图显示，偏自相关图显示，p=2p=2或或p=3p=3较为合适较为合适n n自相关图显示，自相关图显示，q=1q=1较为合适较为合适l lAR模型是线性方程估计，相对于MA和ARMA模型的非线性估计容易，且参数意义便于解释则实际建模时常希望用高阶的AR模型替换相应的MA或ARMA模型n n本例可供选择的本例可供选择的(p,q)(p,q)组合：组合：(3,1)(3,1)、(4,0)(4,0)、(2,1)(2,1)和和(3,0)(3,0)现在学习的是第54页，共71页5555预测实例（续预测实例（续5 5）n n模型的建立l l差分算子n n n n表示对序列表示对序列y y做做n n次一阶逐期差分和一次步长为次一阶逐期差分和一次步长为s s的的季节差分后的新序列季节差分后的新序列n n本例可将序列本例可将序列silysilyt t记为记为l l分别建立以下模型n nARIMA(3,1,1)(1,1,1)ARIMA(3,1,1)(1,1,1)1212n nARIMA(4,1,0)(1,1,1)ARIMA(4,1,0)(1,1,1)1212n nARIMA(2,1,1)(1,1,1)ARIMA(2,1,1)(1,1,1)1212n nARIMA(3,1,0)(1,1,1)ARIMA(3,1,0)(1,1,1)1212现在学习的是第55页，共71页5656预测实例（续预测实例（续6 6）n n模型的选择与评价l l各个模型的参数估计结果如下(p,q)(p,q)1 1 2 2 3 3 4 4 1 11 12 2(3,1)(3,1)-0.2585-0.2585-0.2543-0.2543-0.3413-0.3413-0.0994-0.0994-0.0486-0.0486-0.8775-0.8775(4,0)(4,0)-0.3792-0.3792-0.2918-0.2918-0.3625-0.3625-0.0079-0.0079-0.0131-0.0131-0.8847-0.8847(2,1)(2,1)-0.0848-0.0848-0.1927-0.1927-0.1823-0.1823-0.0670-0.0670-0.8415-0.8415(3,0)(3,0)-0.3743-0.3743-0.2736-0.2736-0.3513-0.35130.00520.0052-0.8804-0.8804现在学习的是第56页，共71页5757预测实例（续预测实例（续7 7）n n模型的选择与评价（续1）l l各个模型的检验结果如下(p,q)(p,q)Adjusted RAdjusted R2 2AICAICSCSCp-Qp-QMAPEMAPE(3,1)(3,1)0.53200.5320-3.17-3.17-2.95-2.950.8020.8029.159.15(4,0)(4,0)0.53740.5374-3.16-3.16-2.94-2.940.9720.9729.979.97(2,1)(2,1)0.48290.4829-3.10-3.10-2.92-2.920.1280.12810.2510.25(3,0)(3,0)0.53210.5321-3.18-3.18-3.00-3.000.9260.9269.679.67现在学习的是第57页，共71页5858预测实例（续预测实例（续8 8）n n模型的选择与评价（续2）l l经计算，四个模型都满足ARMA过程的平稳条件及可逆条件，模型设定合理l l残差序列白噪声检验的相伴概率(p-Q)(k=11)显示，各模型残差都满足独立性假设l l比较检验结果n n第四个模型的第四个模型的AICAIC和和SCSC值较小，试预测的值较小，试预测的MAPEMAPE值略高于第一个模型，但仍显示其预测精度较高，值略高于第一个模型，但仍显示其预测精度较高，调整后的样本决定系数略低于第二个模型调整后的样本决定系数略低于第二个模型n n预测模型应力求简洁、有效，因而选择第四个模预测模型应力求简洁、有效，因而选择第四个模型型ARIMA(3,1,0)(1,1,1)ARIMA(3,1,0)(1,1,1)1212较为适合，展开式为较为适合，展开式为 现在学习的是第58页，共71页5959预测实例（续预测实例（续9 9）n n预测l l利用ARIMA(3,1,0)(1,1,1)12模型对我国1998年工业总产值进行预测，结果如下98.01-0498.01-044277.9554277.9553801.4833801.4835062.9365062.9365193.7185193.71898.05-0898.05-085408.5715408.5715647.6505647.6504879.0164879.0164939.8304939.83098.09-1298.09-125237.0095237.0095371.5105371.5105679.6165679.6166320.5936320.593现在学习的是第59页，共71页6060第五节第五节 序列相关与序列相关与ARMA模型模型n n序列相关理论与检验序列相关理论与检验n n残差序列的残差序列的ARMA模型模型现在学习的是第60页，共71页6161序列相关理论与检验序列相关理论与检验n n残差序列自相关l l在时间序列的回归模型中很常见在时间序列的回归模型中很常见l l模型形式模型形式n n n n其中，其中，X Xt t是是t t时刻所观测的解释变量向量；时刻所观测的解释变量向量；u ut t为随机扰为随机扰动项，称为非条件残差；动项，称为非条件残差；t t 为改进的随即扰动项，称为改进的随即扰动项，称为一期提前为一期提前(one-period-ahead)(one-period-ahead)预测误差；预测误差；z zt-1t-1是前期已知变是前期已知变量向量，可包括量向量，可包括u u和和 的滞后项；的滞后项；和和 为参数向量为参数向量l l一般的一般的n n当非条件残差当非条件残差u ut t存在自相关时，通过存在自相关时，通过(6)(6)式能得到显著改善，式能得到显著改善，使一期提前误差成为白噪声序列使一期提前误差成为白噪声序列现在学习的是第61页，共71页6262序列相关理论与检验（续序列相关理论与检验（续1 1）n n检验相关图与Q统计量l l即前述的残差序列独立性检验n n当序列任意滞后期的自相关和偏自相关系数与当序列任意滞后期的自相关和偏自相关系数与0 0无显著差异，即无显著差异，即QQ统计量与统计量与0 0无显著差异时，残差无显著差异时，残差序列诸项之间是独立的序列诸项之间是独立的n n否则存在自相关否则存在自相关现在学习的是第62页，共71页6363序列相关理论与检验（续序列相关理论与检验（续2 2）n n检验LM检验l l与与DWDW检验的区别检验的区别n nLM(Lagrange Multiplier)LM(Lagrange Multiplier)检验可对包含检验可对包含ARMAARMA误差误差项的模型残差序列进行高阶的自相关检验项的模型残差序列进行高阶的自相关检验n n且允许存在因变量的滞后项且允许存在因变量的滞后项l l检验假设检验假设n nH H0 0：残差序列不存在小：残差序列不存在小(等等)于于p p阶的自相关阶的自相关n nH H1 1：存在：存在ARMA(r,q)ARMA(r,q)形式的误差项形式的误差项n n其中，其中，现在学习的是第63页，共71页6464序列相关理论与检验（续序列相关理论与检验（续3 3）n n检验LM检验（续）l l对对(5)(5)式中的非条件残差建立辅助回归方程式中的非条件残差建立辅助回归方程n n l lBreusch-GodfreyBreusch-Godfrey利用上式的决定系数利用上式的决定系数R R2 2构造了构造了LMLM检验统计量检验统计量n nLM=nRLM=nR2 2l l其中，其中，n n是计算辅助回归时的样本数据个数是计算辅助回归时的样本数据个数n n在零假设下，在零假设下，LMLM统计量有渐进的统计量有渐进的 分布分布现在学习的是第64页，共71页6565序列相关理论与检验（续序列相关理论与检验（续4 4）n n例7-7续例7-4，对模型ARMA(2,1)的残差进行LM检验l l模型的残差二阶自相关检验结果如下(p=2)n n n n其中，第一行的其中，第一行的F F统计量在有限样本情况下的精确统计量在有限样本情况下的精确分布未知，其结果一般作为参考；第二行分布未知，其结果一般作为参考；第二行 Obs*R-squaredObs*R-squared后的数值是后的数值是LMLM统计量值及其检验统计量值及其检验的相伴概率的相伴概率l lLM检验的p值0.87大于显著性水平0.05，则不能拒绝原假设，即残差项不存在小于或等于二阶自相关F-statistic 0.149590 Probability0.861212Obs*R-squared0.270861 Probability0.873340现在学习的是第65页，共71页6666残差序列的残差序列的ARMA模型模型n n模型的建立l l若对某个线性回归模型残差序列进行若对某个线性回归模型残差序列进行LMLM检验，发现检验，发现序列存在自相关，可考虑对残差序列建立序列存在自相关，可考虑对残差序列建立ARMAARMA模型模型n n若非条件残差包含季节性，应考虑引入季节自回归和移动平若非条件残差包含季节性，应考虑引入季节自回归和移动平均项均项n n模型的形式、定阶、参数估计、检验及预测都可利用前述模型的形式、定阶、参数估计、检验及预测都可利用前述方法，只是处理对象为序列方法，只是处理对象为序列u ut tl l对于非线性回归模型，只能采用对于非线性回归模型，只能采用AR(p)AR(p)形式对非条件形式对非条件残差建模残差建模n n不能包含季节自回归与移动平均项不能包含季节自回归与移动平均项现在学习的是第66页，共71页6767残差序列的残差序列的ARMA模型（续模型（