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第四章插值和曲线拟合第一页，本课件共有31页第一节插值法的基本理论第一节插值法的基本理论一、插值问题 设函数设函数 y=f(x)y=f(x)给出了一组函数值给出了一组函数值 y yi i=f(x=f(xi i),i=0,1,),i=0,1,n,n，或，或者给出了如下的一张表者给出了如下的一张表 x x0 0,x,x1 1,x,x2 2,x,xn n y y0 0,y,y1 1,y,y2 2,y,yn n构造一个简单的函数构造一个简单的函数(x)(x)作为作为f(x)f(x)的近似表达式，以满足的近似表达式，以满足 (xi i)=yi i ,i=0,1,i=0,1,n,n我们称这样的问题为我们称这样的问题为插值问题插值问题插值问题插值问题。其中其中(x(xi i)=y)=yi i 称为称为插值原则插值原则插值原则插值原则;(x)(x)称为称为f(x)f(x)的插值函数；的插值函数；f(x)f(x)称为被插值函数称为被插值函数;x;x0 0,x,x1 1,x,x2 2,x,xn n称为插值基点称为插值基点(或节点或节点)。根据根据插值原则插值原则插值原则插值原则求其余点求其余点x x的函数值的函数值(x)(x)(x)(x)称为插值称为插值,x,x称为插值称为插值点；根据点；根据插值原则插值原则插值原则插值原则求求f(x)f(x)近似近似函数函数(x)(x)(x)(x)的方法称为插值法。的方法称为插值法。第二页，本课件共有31页插值法的几何意义插值法的几何意义 插值法的几何意义就是通过n+1个点个点:(x (xi i,y,yi)(i=0,1,2,n)(i=0,1,2,n)作一条近似曲线作一条近似曲线y=y=(x)(x)代替y=f(x)y=f(x)。如下图所示。如下图所示。xxnx2x1x0Xn-1y0(x0,y0)(x1,y1)(x2,y2)(xn-1,yn-1)(xn,yn)y=(x)y=f(x)第三页，本课件共有31页插值函数插值函数(x)的类型的类型 在插值问题中，插值函数在插值问题中，插值函数(x)(x)的类型可有不同的选择的类型可有不同的选择,如如代代代代数多项式、三角数多项式、三角数多项式、三角数多项式、三角多项式、有理函数多项式、有理函数多项式、有理函数多项式、有理函数等，但是最简单而常用的是等，但是最简单而常用的是代代数多项式，这时就称为数多项式，这时就称为代数多项式代数多项式代数多项式代数多项式插值插值插值插值。在本章，我们主要讨论。在本章，我们主要讨论代数多项式代数多项式插值。插值。代数多项式代数多项式插值的任务就是根据插值的任务就是根据 n+1n+1个点个点 x x0 0,x,x1 1,x,x2 2,x,xn n y y0 0,y,y1 1,y,y2 2,y,yn n构造一个次数不超过构造一个次数不超过 n n 的的多项式多项式 P Pn n(x)=a(x)=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+an nx xn n使满足使满足插值原则插值原则插值原则插值原则 P Pn n(xi)=yi i ,i=0,1,i=0,1,n ,n。P Pn n(x)(x)称为称为称为称为 f(x)f(x)的的的的 n n次插值次插值次插值次插值多项式多项式多项式多项式。第四页，本课件共有31页二、插值多项式的误差二、插值多项式的误差 函数函数 f(x)用用n n次插值多项式次插值多项式P Pn n(x)近似代替时，截断误近似代替时，截断误差记为差记为 R Rn n(x)=f(x)-P(x)=f(x)-Pn(x)(x)称称 R Rn(x)(x)为为n n次插值多项式次插值多项式P Pn n(x)(x)的余项。定理定理 设函数设函数f(x)f(x)在包含基点在包含基点x x0 0,x,x1 1,x,x2 2,x,xn n 的区间的区间a,b上具有n+1n+1阶导数,P,Pn n(x)为满足为满足P Pn n(x(xi)=)=y yi i的的n n次插值多次插值多项式项式,则对任一点则对任一点x xa,b,a,b,总存在相应的点总存在相应的点 ,使使 其中其中 wn+1(x)=(x-x(x)=(x-x0 0)(x-x1 1)(x-x(x-xn n)第五页，本课件共有31页第二节第二节拉格朗日插值拉格朗日插值 为了得到为了得到n n次的拉格朗日插值多项式，我们从最简单的一次、二次次的拉格朗日插值多项式，我们从最简单的一次、二次插值开始。插值开始。一、一次插值（线性插值）一、一次插值（线性插值）一、一次插值（线性插值）一、一次插值（线性插值）已知已知 x x0 0 x x1 1 求求 P P1 1(x)(x)y y0 0 y y1 1 因因 P P1 1(x(x0 0)=y)=y0 0,P,P1 1(x(x1 1)=y)=y1 1 所以所以 P P1 1(x)=y(x)=y0 0+(y+(y1 1-y-y0 0)/(x)/(x1 1-x-x0 0)*(x-x)*(x-x0 0)（线性插值多项式）（线性插值多项式）上式可改写为：上式可改写为：P P1 1(x)=y(x)=y0 0L L0 0(x)+y(x)+y1 1L L1 1(x)(x)（拉格朗日线性插值多项式）（拉格朗日线性插值多项式）L L0 0(x)=(x-x(x)=(x-x1 1)/(x)/(x0 0-x-x1 1),L),L1 1(x)=(x-x(x)=(x-x0 0)/(x)/(x1 1-x-x0 0)L L0 0(x)(x)、L L1 1(x)(x)特点：特点：L L0 0(x)=1,x=x(x)=1,x=x0 0 L L1 1(x)=1,x=x(x)=1,x=x1 1 0,x=x 0,x=x1 1 ,0,x=x ,0,x=x0 0第六页，本课件共有31页线性插值举例线性插值举例例例 已知已知 1001001/21/2=10=10，1211211/21/2=11 =11 求求 1151/21/2解解 P1 1(x)=y0 0+(y+(y1 1-y-y0 0)/(x1-x-x0 0)*(x-x)*(x-x0 0)P P1 1(115)=10+(11-10)/(121-100)*(115-100)(115)=10+(11-10)/(121-100)*(115-100)或或 P P1(x)=y(x)=y0L L0(x)+y1 1L L1(x)(x)P P1 1(115)=10*(115-121)/(100-121)+11*(115-100)/(121-100)+11*(115-100)/(121-100)第七页，本课件共有31页 二、二次插值二、二次插值二、二次插值二、二次插值(抛物线插值抛物线插值抛物线插值抛物线插值)二次插值问题：已知二次插值问题：已知f(x)f(x)在三个互异点在三个互异点x x0 0,x,x1 1,x,x2 2的函数值的函数值y y0 0,y,y1 1,y,y2 2,要构造次数不超过要构造次数不超过二次的多项式二次的多项式P P2 2(x)=a(x)=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2,使满足使满足 P P2 2(x(xi i)=y)=yi i,i=0,1,2,i=0,1,2 设设 P P2 2(x)=L(x)=L0 0(x)y(x)y0 0+L+L1 1(x)y(x)y1 1+L+L2 2(x)y(x)y2 2,则则当当x=xx=x0 0 时时,P,P2 2(x(x0 0)=y)=y0 0 L L0 0(x)=1,L(x)=1,L1 1(x)=0,L(x)=0,L2 2(x)=0(x)=0 当当x=xx=x1 1时，时，P P2 2(x(x1 1)=y)=y1 1 L L0 0(x)=0,L(x)=0,L1 1(x)=1,L(x)=1,L2 2(x)=0(x)=0当当x=xx=x2 2时，时，P P2 2(x(x2 2)=y)=y2 2 L L0 0(x)=0,L(x)=0,L1 1(x)=0,L(x)=0,L2 2(x)=1(x)=1由上知由上知 L L0 0(x)=1,x=x(x)=1,x=x0 0 0,x=x 0,x=x1 1,x,x2 2令令 L L0 0(x)=A(x)=A0 0(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)则则 A A0 0=1/(x=1/(x0 0-x-x1 1)(x)(x0 0-x-x2 2)所以所以 L L0 0(x)=(x-x(x)=(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)/(x)/(x0 0-x-x1 1)(x)(x0 0-x-x2 2)同理可得同理可得 L L1 1(x)=(x-x(x)=(x-x0 0)(x-x)(x-x2 2)/(x)/(x1 1-x-x0 0)(x)(x1 1-x-x2 2)L L2 2(x)=(x-x(x)=(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)/(x)/(x2 2-x-x0 0)(x)(x2 2-x-x1 1)综上可得综上可得 P P2 2(x)=y(x)=y0 0(x-x(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)/(x)/(x0 0-x-x1 1)(x)(x0 0-x-x2 2)+y)+y1 1(x-x(x-x0 0)(x-x)(x-x2 2)/(x)/(x1 1-x-x0 0)(x)(x1 1-x-x2 2)+y +y2 2(x-x(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)/(x)/(x2 2-x-x0 0)(x)(x2 2-x-x1 1)该式称为拉格朗日二次插值多项式。该式称为拉格朗日二次插值多项式。第八页，本课件共有31页二次插值举例二次插值举例 例例 已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的观测数据如下表所示，试求其拉格朗的观测数据如下表所示，试求其拉格朗日插值多项式，并计算日插值多项式，并计算f(1.5)f(1.5)的近似值。的近似值。4 4 -1-1 2 2 y y 2 1 1 0 0 x x 解 P2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)(x2-x1)=2*(x-1)(x-2)/(0-1)(0-2)+(-1)*(x-0)(x-2)/(1-0)(1-2)+4*(x-0)(x-1)/(2-0)(2-1)=4x2-7x+2 f(1.5)P2(1.5)=4*1.52-7*1.5+2=0.5第九页，本课件共有31页三、三、三、三、n n次拉格朗日插值次拉格朗日插值次拉格朗日插值次拉格朗日插值 仿照仿照P P2 2(x)(x)的构造方法，可得出的构造方法，可得出 P Pn n(x)=L(x)=L0 0(x)y(x)y0 0+L+L1 1(x)y(x)y1 1+L+Ln n(x)y(x)yn n其中其中 L L0 0(x)=(x-x(x)=(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(x-x)(x-xn n)/(x)/(x0 0-x-x1 1)(x)(x0 0-x-x2 2)(x)(x0 0-x-xn n)L Lk k(x)=(x-x(x)=(x-x0 0)(x-x)(x-xk-1k-1)(x-x)(x-xk+1k+1)(x-x(x-xn n)/(x /(xk k-x-x0 0)(x)(xk k-x-xk-1k-1)(x)(xk k-x-xk+1k+1)(x(xk k-x-xn n)(k=0,1,n)(k=0,1,n)这就是这就是n n次拉格朗日插值多项式。次拉格朗日插值多项式。也可写为也可写为 或或 其中其中 w(x)=(x-xw(x)=(x-x0 0)(x-x(x-xn n)第十页，本课件共有31页n次拉格朗日插值举例次拉格朗日插值举例例例例例已知函数表已知函数表 x 1.1275 1.1503 1.1735 1.972x 1.1275 1.1503 1.1735 1.972 y 0.1191 0.13954 0.15932 0.17903 y 0.1191 0.13954 0.15932 0.17903应用朗格拉日插值公式计算应用朗格拉日插值公式计算f(1.1300)f(1.1300)的近似值。的近似值。解解 P P3 3(x)=L(x)=L0 0(x)y(x)y0 0+L+L1 1(x)y(x)y1 1+L L2 2(x)y(x)y2 2+L L3 3(x)y(x)y3 3 =f(1.1300)f(1.1300)P P3 3(1.1300)=(1.1300)=0.12140.1214 第十一页，本课件共有31页n次拉格朗日插值计算机实现次拉格朗日插值计算机实现按按n次拉格朗日插值公式实现次拉格朗日插值公式实现第十二页，本课件共有31页分段插值 七、八次以上的高次插值在实际中很少采用。因七、八次以上的高次插值在实际中很少采用。因为理论研究和实例都表明，插值基点增加并不能保证为理论研究和实例都表明，插值基点增加并不能保证 P Pn n(x)(x)在非基点处逼近f(x)f(x)的精度得到提高的精度得到提高,某些情况下某些情况下甚至误差反而变大。所以总是甚至误差反而变大。所以总是对每个插值点 x x选择其附附附附近的几个插值基点近的几个插值基点近的几个插值基点近的几个插值基点作低次内插作低次内插(将将 x x 放在插值基点之间放在插值基点之间),),或者采用分段低次插值(一次、二次插值一次、二次插值 )。为什么要选择 x x 附近的几个插值基点？附近的几个插值基点？根据根据其中 wn+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)第十三页，本课件共有31页第三节第三节牛顿插值牛顿插值 拉格朗日插值多项式结构对称,使用方便使用方便,但公式但公式不具备递推性不具备递推性,当需要增加基点时必须全部重新计算。因此，我们希望构造具有如下形式的插值多项式因此，我们希望构造具有如下形式的插值多项式 P Pn n(x)=a0 0+a+a1 1(x-x(x-x0 0)+a)+a2(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)+a +an n(x-x(x-x0 0)(x-x1)(x-x(x-xn-1n-1)这种形式的优点是便于改变基点数，每增加一个基点这种形式的优点是便于改变基点数，每增加一个基点只需增加相应的一项即可只需增加相应的一项即可 (具有递推性具有递推性)。为了确定出。为了确定出a a0、a a1 1、a an n,我们就需要讨论牛顿差商插值多项式。下面首先介绍差商的概念。下面首先介绍差商的概念。第十四页，本课件共有31页一、差商及差商表一、差商及差商表1.1.差商定义差商定义差商定义差商定义 在区间在区间a,ba,b上，函数上，函数f(x)f(x)关于两点关于两点x xi i,x,xj j的一阶差商定义为的一阶差商定义为 f xf xi i,x,xj j=f(x=f(xj j)-f(x)-f(xi i)/(x)/(xj j-x-xi i)f(x)f(x)关于三点关于三点x xi i,x,xj j,x,xk k的二阶差商定义为的二阶差商定义为 f xf xi i,x,xj j,x,xk k=(fx=(fxj j,x,xk k-fx-fxi i,x,xj j)/(x)/(xk k-x-xi i)f(x)f(x)关于关于k+1k+1个点个点x xi-ki-k,x,xi-k+1i-k+1,x xi i 的的k k阶差商定义为阶差商定义为 f xf xi-ki-k,x,xi-k+1i-k+1,x xi i =(f x=(f xi-k+1i-k+1,x xi i f x f xi-ki-k,x xi-1i-1)/(x)/(xi i-x-xi-ki-k)f(x)f(x)关关于一个点于一个点 x xi i 的零阶差商定义为函数本身，即的零阶差商定义为函数本身，即 f xf xi i=f(x=f(xi i)不论几阶差商，差商均有对称性（任意改变基点的次序后其值不变）不论几阶差商，差商均有对称性（任意改变基点的次序后其值不变）。即。即 f xf x0 0,x,x1 1,x xk k =f =f 其中其中 是是 x x0 0,x,x1 1,x xk k 的任一种排列。（证略）的任一种排列。（证略）第十五页，本课件共有31页2.差商表差商表 对于给定的基点及其函数值，我们可按表计算各阶差商，对于给定的基点及其函数值，我们可按表计算各阶差商，这样的表就叫差商表。如下这样的表就叫差商表。如下:xi四阶差商一阶差商二阶差商三阶差商x0 x4x3 x2x1f(x4)f(x3)f(x2)f(x1)f(x0)f x3,x4f x2,x3f x1,x2f x0,x1f x1,x2,x3f x2,x3,x4f x0,x1,x2f x0,x1,x2,x3f x1,x2,x3,x4 f x0,x1,x2,x3,x4.零阶差商第十六页，本课件共有31页二、牛顿差商插值多项式二、牛顿差商插值多项式二、牛顿差商插值多项式二、牛顿差商插值多项式 由差商定义和差商性质有由差商定义和差商性质有f(x)=f(xf(x)=f(x0 0)+f x)+f x0 0,x(x-x,x(x-x0 0)(fx)(fx0 0,x=f(x)-f(x,x=f(x)-f(x0 0)/(x-x)/(x-x0 0)f xf x0 0,x=f x,x=f x0 0,x,x1 1+f x+f x0 0,x,x1 1,x(x-x,x(x-x1 1)f xf x0 0,x,x1 1,x=f x,x=f x0 0,x,x1 1,x,x2 2+f x+f x0 0,x,x1 1,x,x2 2,x(x-x,x(x-x2 2)f xf x0 0,x,x1 1,x,xn-1n-1,x=,x=f xf x0 0,x,x1 1,x xn n+fx+fx0 0,x,x1 1,x xn n,x(x-x,x(x-xn n)f(x)=f(xf(x)=f(x0 0)+f x)+f x0 0,x,x1 1(x-x(x-x0 0)+f x)+f x0 0,x,x1 1,x,x2 2(x-x(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)+)+f x +f x0 0,x,x1 1,x,xn n(x-x(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)(x-x)(x-xn-1n-1)+f x +f x0 0,x,x1 1,x,xn n,x(x-x,x(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)(x-x)(x-xn n)=P)=Pn n(x)+R(x)+Rn n(x)(x)P Pn n(x)=(x)=f(xf(x0 0)+f x)+f x0 0,x,x1 1(x-x(x-x0 0)+f x)+f x0 0,x,x1 1,x,x2 2(x-x(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)+)+f x +f x0 0,x,x1 1,x,xn n(x-x(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)(x-x)(x-xn-1n-1)P Pn n(x)(x)由于满足由于满足 P Pn n(x(xi i)=f(x)=f(xi i)称作称作 n n 次牛顿次牛顿(差商差商)插值多项式。插值多项式。R Rn n(x)=f(x)-P(x)=f(x)-Pn n(x)=w(x)*f(x)=w(x)*f(n+1)(n+1)()/(n+1)!()/(n+1)!（w(x)=(x-xw(x)=(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)(x-x)(x-xn n)）称为）称为n n次牛顿插值多项式的余项。次牛顿插值多项式的余项。第十七页，本课件共有31页牛顿差商插值多项式的两个特殊形式牛顿差商插值多项式的两个特殊形式 牛顿牛顿(差商差商)插值多项式为插值多项式为 当当n=1n=1时时 P P1 1(x)=(x)=f(xf(x0 0)+f x)+f x0 0,x,x1 1(x-x(x-x0 0)即为线性插值。即为线性插值。当当n=2n=2时时 P P2 2(x)=(x)=f(xf(x0 0)+f x)+f x0 0,x,x1 1(x-x(x-x0 0)+f x)+f x0 0,x,x1 1,x,x2 2(x-x(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)即为抛物线插值。即为抛物线插值。可见可见,增加一个基点增加一个基点,只是增加了只是增加了f xf x0 0,x,x1 1,x,x2 2(x-x(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)这一项。这一项。注意注意注意注意,可以证明牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式是等价可以证明牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式是等价可以证明牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式是等价可以证明牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式是等价的的的的,只不过形式不一样而已。所以只不过形式不一样而已。所以只不过形式不一样而已。所以只不过形式不一样而已。所以,两者的截断误差是一样的。两者的截断误差是一样的。两者的截断误差是一样的。两者的截断误差是一样的。Pn(x)=f(x0)+f x0,x1(x-x0)+f x0,x1,x2(x-x0)(x-x1)+f x0,x1,xn(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)第十八页，本课件共有31页牛顿差商插值多项式举例牛顿差商插值多项式举例牛顿差商插值多项式举例牛顿差商插值多项式举例 例例 已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)的观测数据如下表所示，试用全部基点构造牛的观测数据如下表所示，试用全部基点构造牛顿差商插值多项式，并用二次插值求顿差商插值多项式，并用二次插值求f(3)f(3)的近似值。的近似值。解解 差商表为差商表为P P4 4(x)=1+2(x-0)+0(x-0)(x-2)+(-1)(x-0)(x-2)(x-4)+(x-0)(x-2)(x-4)(x-5)(x)=1+2(x-0)+0(x-0)(x-2)+(-1)(x-0)(x-2)(x-4)+(x-0)(x-2)(x-4)(x-5)=x =x4 4-12x-12x3 3+44x+44x2 2-46x+1-46x+1 1313 -4 9 9 5 5 1 1 f(x)f(x)6 6 5 5 4 4 2 2 0 0 x x xi 零阶 一阶 二阶 三阶 四阶 0 1 2 5 2 4 9 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5 1第十九页，本课件共有31页牛顿差商插值多项式举例（续）牛顿差商插值多项式举例（续）用二次插值求 f(3)时,取 x0=2,x1=4,x2=5 f(3)P2(3)=f(2)+f2,4(3-2)+f2,4,5(3-2)(3-4)=5+2(3-2)-5(3-2)(3-4)=5+2+5=12 xi 零阶 一阶 二阶 三阶 四阶 0 1 2 5 2 4 9 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5 1 差商表为P2(x)=f(x0)+f x0,x1(x-x0)+f x0,x1,x2(x-x0)(x-x1)第二十页，本课件共有31页牛顿差商插值多项式的计算机实现牛顿差商插值多项式的计算机实现 按按牛顿差商插值多项式公式实现。牛顿差商插值多项式公式实现。分两大步：分两大步：1.求各阶差商求各阶差商 2.按秦九韶方法求多项式的值。第二十一页，本课件共有31页第四节第四节曲线拟合曲线拟合 插值法和曲线拟合都是用来求列表函数插值法和曲线拟合都是用来求列表函数f(x)(f(x)(只知道一些点的函数称为列表函数一些点的函数称为列表函数)的近似函数(x)(x)。插值法插值法插值法插值法求出的近似曲线求出的近似曲线求出的近似曲线求出的近似曲线 y=y=(x)(x)要完全通过所有要完全通过所有要完全通过所有要完全通过所有 n+1 n+1 个已知个已知个已知个已知点点点点 (即要满足插值原则即要满足插值原则即要满足插值原则即要满足插值原则 );而曲线拟合求出的近似曲线而曲线拟合求出的近似曲线而曲线拟合求出的近似曲线而曲线拟合求出的近似曲线 y=y=(x)(x)不要求完全通过所有不要求完全通过所有 n+1n+1个已知点个已知点个已知点个已知点 ,只要求求只要求求只要求求只要求求得的近似曲线得的近似曲线得的近似曲线得的近似曲线 y=y=(x)能反映数据的基本趋势即可。能反映数据的基本趋势即可。能反映数据的基本趋势即可。能反映数据的基本趋势即可。曲线拟合求得的近似曲线曲线拟合求得的近似曲线 y=y=(x)(x)比插值法求得的近似比插值法求得的近似曲线曲线 y=y=(x)(x)更能反映客观实际。因为列表函数中的点更能反映客观实际。因为列表函数中的点往往是通过实验、测量或计算得来的,而实验、测量或而实验、测量或计算得来的数据经常带有误差计算得来的数据经常带有误差,如果要求所得出的曲线 y=y=(x)(x)通过所有通过所有n+1n+1个已知点个已知点 (x(xi,yi i),),就会使曲线就会使曲线 y=y=(x)(x)保留着这些误差，而这是我们所不希望的。保留着这些误差，而这是我们所不希望的。第二十二页，本课件共有31页一、曲线拟合问题一、曲线拟合问题设函数设函数设函数设函数 y=f(x)y=f(x)在在在在 n+1n+1个互异点的观测数据为个互异点的观测数据为个互异点的观测数据为个互异点的观测数据为x x00,x,x11,x,xn nyy00,y,y11,y,yn n构造函数构造函数构造函数构造函数(x)(x)在包含全部基点的区间上在包含全部基点的区间上在包含全部基点的区间上在包含全部基点的区间上“最好最好最好最好”地逼近地逼近地逼近地逼近(或靠近或靠近或靠近或靠近)f(x),)f(x),这就是曲线拟合问题。这就是曲线拟合问题。这就是曲线拟合问题。这就是曲线拟合问题。如下图所示如下图所示如下图所示如下图所示,就是使曲线就是使曲线就是使曲线就是使曲线y=(x)(x)尽量靠近尽量靠近尽量靠近尽量靠近已知点已知点已知点已知点(x(xi i,y,yi i)(i=0,1,2,n)(i=0,1,2,n)。xy0y=(x)(x0,y0)(x1,y1)(xn,yn)(xn-1,yn-1)(x2,y2)nn-1210第二十三页，本课件共有31页二、二、最小二乘法最小二乘法 假设 y=(x)其中(x)=a0+a1x+a2x2+amxm）为给定的一组数据(xi,yi)(i=0,1,2,n)的拟合曲线，则将这n+1个点代入(x)得以下式子 a0+a1x0+a2x02+amx0m y0a0+a1x1+a2x12+amx1m y1 a0+a1xn+a2xn2+amxnm yn第二十四页，本课件共有31页最小二乘法最小二乘法(续续)若将若将a0+a1x0+a2x02+amx0m y0a0+a1x1+a2x12+amx1m y1 a0+a1xn+a2xn2+amxnm=yn 中的“”换为“=”该式变为方程组a0+a1x0+a2x02+amx0m=y0 a0+a1xn+a2xn2+amxnm yn a0+a1x1+a2x12+amx1m=y1 方程组中有n+1个方程、m+1个未知数。若 n+1=m+1,方程组有唯一解;若n+1m+1,方程组无解(无精确解),称为超定方程组超定方程组。第二十五页，本课件共有31页最小二乘法最小二乘法(续续)超定方程组超定方程组无精确解但可求其近似解。那么解近似到什么程度才算近似解？这有不同的标准。那么解近似到什么程度才算近似解？这有不同的标准。若所求得的近似解使得误差平方和()()达到最小，我们称这组近似解为最优近似解最优近似解最优近似解最优近似解。根据误差平方和根据误差平方和根据误差平方和根据误差平方和达到最小这一标准求最优近似解的方法就称为最小二乘法达到最小这一标准求最优近似解的方法就称为最小二乘法达到最小这一标准求最优近似解的方法就称为最小二乘法达到最小这一标准求最优近似解的方法就称为最小二乘法。下面具体解释一下什么是超定方程组的最小二乘法。下面具体解释一下什么是超定方程组的最小二乘法。a0+a1x1+a2x12+amx1m=y1 a0+a1xn+a2xn2+amxnm=yn a0+a1x0+a2x02+amx0m=y0第二十六页，本课件共有31页超定方程组的最小二乘法超定方程组的最小二乘法 设超定方程组设超定方程组 根据高数知识，根据高数知识，达到最小必须满足条件达到最小必须满足条件 a0+a1x1+a2x12+amx1m=y1a0+a1x0+a2x02+amx0m=y0 a0+a1xn+a2xn2+amxnm=yn(i=0,1,2,m)，误差平方和为方程组近似解的方法称为解超定方程组的最小二乘法最小二乘法。(即y=(x)=a0+a1x+a2x2+amxm 在xi处的值与yi的误差平方和)解此方程组便可求出最优近似解。称为法方程组。根据法方程组求超定的近似解为ai第二十七页，本课件共有31页 根据超定方程组的最小二乘法知根据超定方程组的最小二乘法知,上式系数上式系数 a ai i(i=0,1,2,m)(i=0,1,2,m)可可由法方程组由法方程组即即即即求得。求得。三、代数多项式拟合三、代数多项式拟合 若拟合函数形式(x)=a0+a1x+a2x2+amxm 称为代数多项式拟合。第二十八页，本课件共有31页求拟合曲线的步骤求拟合曲线的步骤n n(1)(1)描草图（由已知数据描出粗略图形）。描草图（由已知数据描出粗略图形）。描草图（由已知数据描出粗略图形）。描草图（由已知数据描出粗略图形）。n n(2)(2)根据草图写出拟合曲线的形式根据草图写出拟合曲线的形式根据草图写出拟合曲线的形式根据草图写出拟合曲线的形式 y=(x)=ay=(x)=ay=(x)=ay=(x)=a0 0 0 0+a+a+a+a1 1 1 1x+ax+ax+ax+a2 2 2 2x x x x2 2 2 2+a+a+a+am m m mx x x xm m m m 。n n(3)(3)根据已知点和拟合曲线形式写出法方程组根据已知点和拟合曲线形式写出法方程组根据已知点和拟合曲线形式写出法方程组根据已知点和拟合曲线形式写出法方程组(正则方程组正则方程组正则方程组正则方程组)，并求，并求，并求，并求解该方程组。解该方程组。解该方程组。解该方程组。n n(4)(4)将求得的将求得的将求得的将求得的a a0 0,a,a1 1,a,amm代入代入代入代入y=y=(x)(x)中。中。中。中。第二十九页，本课件共有31页曲线拟合例子曲线拟合例子 例例1 1 已知一组观测数据如下表所示，试用最小二乘法求一已知一组观测数据如下表所示，试用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据。个多项式拟合这组数据。解解 在草稿纸上作图，可以看出这些点接近一条抛物线，在草稿纸上作图，可以看出这些点接近一条抛物线，因此设所求的多项式形式为因此设所求的多项式形式为 y y=(x)(x)=a a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2其法方程组为其法方程组为 3 3 2 2 1 1 1 1 2 2 5 5 y y 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 x x解之得 a0=4.7143,a1=-2.7857,a2=0.5000故所求的多项式为 y=(x)=4.7143-2.7857 x+0.5000 x2第三十页，本课件共有31页曲线拟合例子曲线拟合例子(续续)例例2 2 求一个经验函数求一个经验函数 ,使它与下表观测数据拟使它与下表观测数据拟合。合。解解 对经验公式两边取对数得对经验公式两边取对数得 lnylny=lna+bx=lna+bx令令 u=lny,A=lna,B=b u=lny,A=lna,B=b 则经验公式形式为则经验公式形式为u=u=A+BxA+Bx x 1 2 3 4 5 6 7 8 y15.320.527.436.649.165.687.8117.6这是线性拟合，可算得所以法方程组为 8A+36B=29.9787 36A+204B=147.1948求得 A=2.430482,B=0.2926,a=eA=11.36即经验公式为 y=11.36e0.2926x 第三十一页，本课件共有31页