计算机控制附第4章.ppt

第六章第六章 状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器6.1 6.1 状态反馈的定义及其性质状态反馈的定义及其性质6.2 6.2 极点配置极点配置6.3 6.3 状态观测器状态观测器反馈：反馈：输出反馈输出反馈-状态反馈状态反馈（1）某某些些情情况况下下的的输输出出反反馈馈可可以以等等价价于于状状态态反反馈馈，实实质质上上，输输出反出反馈馈是状是状态态反反馈馈的特殊情况。的特殊情况。（2）由由于于系系统统输输出出中中所所包包含含的的信信息息通通常常不不是是系系统统全全部部状状态态的的信信息，所以息，所以输输出反出反馈馈只能看作部分状只能看作部分状态态反反馈馈。（3）对对于于系系统统性性能能的的改改善善，输输出出反反馈馈可可以以办办到到的的事事情情，状状态态反反馈馈一定能一定能办办到。反之到。反之则则不然。不然。（4）在在没没有有附附加加控控制制器器的的情情况况下下，输输出出反反馈馈的的效效果果没没有有状状态态反反馈馈好。好。系统的极点的形式有系统的极点的形式有实数实数和和复数复数两种。两种。对于实数的极点，在微分方程的解中就会有一个指数项对于实数的极点，在微分方程的解中就会有一个指数项与它相对应。这个指数是以与它相对应。这个指数是以e e为底的，它可以是不断减少的，为底的，它可以是不断减少的，也可以是不断增大的。对于复数形式的极点，微分方程的解也可以是不断增大的。对于复数形式的极点，微分方程的解就会有一个振荡的项同它对应，并且振幅会根据复数极点的就会有一个振荡的项同它对应，并且振幅会根据复数极点的实部的大小不停的变化。实部的大小不停的变化。由于每个控制系统有不同的微分方程，从而有不同的极由于每个控制系统有不同的微分方程，从而有不同的极点。不同极点对应解的不同部分，这些特点不同的部分最终点。不同极点对应解的不同部分，这些特点不同的部分最终形成的宏观结果形成的宏观结果控制系统的输出。控制系统的输出。极点：极点：极点配置：极点配置：极点配置的实质是用极点配置的实质是用比例反馈比例反馈去改变原系统的自由运动模去改变原系统的自由运动模式，以满足设计规定的性能要求。式，以满足设计规定的性能要求。对于一个给定的系统，对于一个给定的系统，能否能否和和如何如何用比例反馈方法把极点用比例反馈方法把极点移置到指定的位置，既是一个理论问题，也是一个方法问题。移置到指定的位置，既是一个理论问题，也是一个方法问题。传统的传统的输出反馈输出反馈方法虽然也能改变系统极点的位置，但有方法虽然也能改变系统极点的位置，但有很大的局限性。对于单输入单输出情况，输出反馈只能使极点很大的局限性。对于单输入单输出情况，输出反馈只能使极点在根轨迹曲线上变动，而不能把它们移到其他位置上去。采用在根轨迹曲线上变动，而不能把它们移到其他位置上去。采用状态反馈状态反馈方法可以实现极点的任意配置。方法可以实现极点的任意配置。极点配置：极点配置：定常线性系统的动态特性取决于它的传递函数矩阵的极点定常线性系统的动态特性取决于它的传递函数矩阵的极点在复数平面上的位置。给定定常线性系统在复数平面上的位置。给定定常线性系统 (A(A，B B，C)C)，则在采，则在采用反馈增益矩阵用反馈增益矩阵K K实现状态反馈后，闭环系统就变成为实现状态反馈后，闭环系统就变成为(A-BK(A-BK，B B，C)C)。极点配置问题就归结为对于指定的。极点配置问题就归结为对于指定的 n n个期望极点个期望极点s1s1，s2s2，,snsn，确定一个适当的反馈增益矩阵，确定一个适当的反馈增益矩阵K K。只要原系统只要原系统(A(A，B B，C)C)是能控的是能控的,则反馈增益矩阵则反馈增益矩阵K K就可以找就可以找到。反馈增益矩阵到。反馈增益矩阵K K的求解，对于单输入单输出情况，已有简的求解，对于单输入单输出情况，已有简单的计算公式；对于多输入多输出情况，计算步骤复杂，往往单的计算公式；对于多输入多输出情况，计算步骤复杂，往往采用计算机来处理。采用计算机来处理。状态观测器状态观测器 状态观测器（状态观测器（state observerstate observer）根据系统的外部变）根据系统的外部变量量(输入变量和输出变量输入变量和输出变量)的实测值，得出状态变量估计的实测值，得出状态变量估计值的一类动态系统，也称为状态重构器。值的一类动态系统，也称为状态重构器。2020世纪世纪6060年代，年代，学者们提出状态观测器的概念和构造方法，通过重构的学者们提出状态观测器的概念和构造方法，通过重构的途径解决了状态的不能直接量测的问题。途径解决了状态的不能直接量测的问题。状态观测器的出现，不但为状态反馈的技术实现提状态观测器的出现，不但为状态反馈的技术实现提供了可能性，而且在控制工程中也得到了实际应用。供了可能性，而且在控制工程中也得到了实际应用。例如：复制扰动以实现对扰动的完全补偿等。例如：复制扰动以实现对扰动的完全补偿等。6.1 6.1 状态反馈的定义及其性质状态反馈的定义及其性质则闭环系统则闭环系统的结构如图的结构如图 6.1.1 所示。所示。给定系统给定系统在系统中引入反馈控制律在系统中引入反馈控制律的状态空间表达式为：的状态空间表达式为：图图 6.1.16.1.1状态反馈性质状态反馈性质(1(1)时，为单纯的状态变量反馈。若时，为单纯的状态变量反馈。若，则，则，状态反馈就等价于输状态反馈就等价于输。出反馈出反馈 。若若 ，则，则利用矩阵运算直接可推出利用矩阵运算直接可推出(2)D=0(2)D=0时，可以求得闭环系统时，可以求得闭环系统 的传递函数阵的传递函数阵在图在图 6.1.1 6.1.1 中令中令并改用图并改用图6.1.2 6.1.2 表示表示图图 6.1.26.1.2 和输出反馈和输出反馈所组成从到所组成从到 b b 的传递函数矩阵。的传递函数矩阵。输出反馈传递函数阵的公式求出，输出反馈传递函数阵的公式求出，不难用不难用(为单位矩阵为单位矩阵)图中图中a a和和 b b 之间的部分，可以看成是由系统之间的部分，可以看成是由系统于是，从于是，从到到的传递函数矩阵的传递函数矩阵即为即为证证 注意到系统注意到系统 和和的能控性矩阵分别为的能控性矩阵分别为由由 ，可知，可知 的列向量可以由的列向量可以由 的列向量的线性组合表示。的列向量的线性组合表示。定理定理 6.1.1 对于任何实常量矩阵对于任何实常量矩阵，系统，系统完全能控的充要条件是系统完全能控的充要条件是系统完全能控。完全能控。的列向量可以由的列向量可以由 ()的的的线性组合表示。的线性组合表示。列向量列向量依此类推，不难看出依此类推，不难看出 的线性组合表示。这意味着的线性组合表示。这意味着 的列向量可以由的列向量可以由 的列向量的列向量系统系统 也可看成是由系统也可看成是由系统 经过状态反馈经过状态反馈而获得的，而获得的，因此，同理有因此，同理有于是定理得证。于是定理得证。所以系统所以系统 的能控性等价于系统的能控性等价于系统 的能控性，的能控性，完全能控能观，引入反馈完全能控能观，引入反馈例例 6.1.1 6.1.1 系统系统 ：不难判断，系统不难判断，系统仍然是能控的，但已不再仍然是能控的，但已不再能观测。能观测。则闭环系统则闭环系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为 定理定理 6.2.1 6.2.1 给定系统给定系统通过状态反馈通过状态反馈任意配置极点的充任意配置极点的充完全能控完全能控。要条件要条件6.2.1 6.2.1 极点配置定理极点配置定理6.2 6.2 极点配置极点配置证证:只就单输入系统的情况证明本定理只就单输入系统的情况证明本定理 充分性：因为给定系统充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换能控，故通过等价变换 必能将它变为能控标准形必能将它变为能控标准形 这里，这里，为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有，对式对式(6.2.2)(6.2.2)引入状态反馈引入状态反馈则闭环系统则闭环系统 的状态空间表达式为的状态空间表达式为 其中，显然有其中，显然有系统系统的闭环特征方程为的闭环特征方程为同时，由指定的任意同时，由指定的任意 个期望闭环极点个期望闭环极点 可求得期望的闭环特征方程可求得期望的闭环特征方程通过比较系数，可知通过比较系数，可知 由此即有由此即有又因为又因为所以所以 且对任意且对任意，有有非奇异变换阵非奇异变换阵 使系统结构分解使系统结构分解必要性：采用反证法，设必要性：采用反证法，设 不完全能控，则必不完全能控，则必解：解：因为因为例例6.2.1 6.2.1 给定系统的状态空间表达式为给定系统的状态空间表达式为求状态反馈增益阵求状态反馈增益阵 ，使反馈后闭环特征值为，使反馈后闭环特征值为 系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律 能能配置闭环特征值。配置闭环特征值。任意任意1)1)由由得得2)2)由由得得3)3)4)4)5)5)6)6)算法算法2 2：直接配置：直接配置1)1)将将 带入系统状态方程，求得闭环系带入系统状态方程，求得闭环系统的特征多项式统的特征多项式 其中其中 ,是反馈矩阵是反馈矩阵 的函数的函数2)2)计算理想特征多项式计算理想特征多项式3)3)列方程组列方程组 并求解并求解 。其解其解 ,即为所求即为所求例例6.2.2 6.2.2 同例同例6.2.16.2.1。解：设所需的状态反馈增益矩阵解：设所需的状态反馈增益矩阵k k为为因为经过状态反馈因为经过状态反馈 后，闭环系统后，闭环系统 特征多项式为特征多项式为的的根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征多项式为多项式为比较两多项式同次幂的系数，有比较两多项式同次幂的系数，有 ：8,812,42321211=+=+=+kkkkkk得：得：即得状态反馈增益矩阵为即得状态反馈增益矩阵为:与例与例6.2.16.2.1的结果相同的结果相同6.2.3 6.2.3 讨论讨论状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的公因子被对消所致。公因子被对消所致。(1)(1)对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动系统传递函数的零点。系统传递函数的零点。(2)(2)若系统是不完全能控的，可将其状态方程变若系统是不完全能控的，可将其状态方程变换成如下形式：换成如下形式：(3)(3)其中，其中，的特征值不能任意配置。的特征值不能任意配置。(4)(4)系统综合系统综合往往需要将不稳定的极点，移到往往需要将不稳定的极点，移到 s s平面的左半部，这一过程称为系统镇定。平面的左半部，这一过程称为系统镇定。只有只有 的全部特征值都具有负实部时，系的全部特征值都具有负实部时，系统才能稳定。统才能稳定。6.3 6.3 状态观测器状态观测器问题的实质就是构造一个新的系统问题的实质就是构造一个新的系统 (或者说装或者说装置置)，利用原系统中可直接测量的输入量，利用原系统中可直接测量的输入量 和和输出量输出量 作为它的输入信号，并使其输出信号作为它的输入信号，并使其输出信号满足满足所以所以,只有当只有当 时，上式中的时，上式中的 才能有唯才能有唯一解即只有当系统是状态完全能观测时一解即只有当系统是状态完全能观测时,状态向状态向量量 才能由才能由 以及它们的各阶导数的线性组以及它们的各阶导数的线性组合构造出来。合构造出来。6.3.2 6.3.2 全维状态观测器全维状态观测器开环状态估计器：构造一个与原系统完全相开环状态估计器：构造一个与原系统完全相同的模拟装置同的模拟装置(1)(1)开环状态估计器的缺点：开环状态估计器的缺点：需要初始条件相同（实际中难以满足）需要初始条件相同（实际中难以满足）抗干扰性差、对参数敏感性不强抗干扰性差、对参数敏感性不强因而实际应用中的主要是闭环状态估计器因而实际应用中的主要是闭环状态估计器在闭环状态估计器中，还有一种在闭环状态估计器中，还有一种降维观测器降维观测器。其估计误差其估计误差 满足满足在负共轭特征值成对出现的条件下，可选择矩阵在负共轭特征值成对出现的条件下，可选择矩阵来任意配置来任意配置 的特征值。的特征值。定理定理 6.4.26.4.2 若若n n维线性定常系统是状态完能观，维线性定常系统是状态完能观，则存在状态观测器则存在状态观测器例例6.4.1 6.4.1 为例为例6.2.16.2.1的系统设计一个全维状态观测的系统设计一个全维状态观测器，并使观测器的极点为器，并使观测器的极点为 ，。解解:系统完全能观测的，可构造任意配置特征值系统完全能观测的，可构造任意配置特征值 全维状态观测器。全维状态观测器。1)1)由由 ,得得 ；2)2)观测器的期望特征多项式为观测器的期望特征多项式为 得得 ；3)3)4)4)5)5)6)6)得全维状态观测器得全维状态观测器其模拟结构如图为其模拟结构如图为图图 6.4.26.4.2