通信原理 第10章数字信号最佳接收.ppt

通信原理通信原理第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收1目标要求目标要求l 基本要求基本要求n 掌握掌握数字信号的最佳接收准则，最大似然准则；数字信号的最佳接收准则，最大似然准则；n 掌握掌握确知数字信号最佳接收机结构，及最佳接收确知数字信号最佳接收机结构，及最佳接收时的误码率的分析；时的误码率的分析；n 掌握掌握数字信号的匹配滤波接收法；数字信号的匹配滤波接收法；n 掌握掌握最佳基带传输系统特性；最佳基带传输系统特性；210.1数字信号的统计特性数字信号的统计特性n以二进制为例研究接收电压的统计特性。以二进制为例研究接收电压的统计特性。n假设：通信系统中的噪声是均值为假设：通信系统中的噪声是均值为0的带限高斯白噪声，的带限高斯白噪声，其单边功率谱密度为其单边功率谱密度为n0；n若此通信系统的基带截止频率小于若此通信系统的基带截止频率小于fH，则根据低通信号，则根据低通信号抽样定理，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率抽样定理，抽样速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。n设在一个码元持续时间设在一个码元持续时间Ts内以内以2fH的速率对接收噪声信号的速率对接收噪声信号n(t)抽样，共得到抽样，共得到k个抽样值，则有个抽样值，则有k 2fHTs。3第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收n由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维概率密度可以写为概率密度可以写为式中，式中，n 噪声的标准偏差；噪声的标准偏差；n2 噪声的方差，即噪声平均功率；噪声的方差，即噪声平均功率；i 1，2，k。n设接收噪声电压设接收噪声电压n(t)的的k个抽样值的个抽样值的k维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为 4第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收n由高斯噪声的性质可知，由高斯噪声的性质可知，高斯噪声的概率分布通过带限线性高斯噪声的概率分布通过带限线性系统后仍为高斯分布。系统后仍为高斯分布。所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速所以，带限高斯白噪声按奈奎斯特速率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样，率抽样得到的抽样值之间是互不相关、互相独立的。这样，此此k 维联合概率密度函数可以表示为维联合概率密度函数可以表示为n当当k 很大时，在一个码元持续时间很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率内接收的噪声平均功率可以表示为：可以表示为：或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成5第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收n利用上式关系，并注意到利用上式关系，并注意到 式中式中 n0 噪声单边功率谱密度噪声单边功率谱密度则前式的联合概率密度函数可以改写为：则前式的联合概率密度函数可以改写为：式中式中 n=(n1,n2,nk)是一个是一个 k 维矢量，表示一个码元内噪维矢量，表示一个码元内噪声的声的k个抽样值。个抽样值。u需要注意，需要注意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t)，但是后，但是后者在定积分内，积分后已经与时间变量者在定积分内，积分后已经与时间变量t无关。无关。n是一个是一个k维矢量，维矢量，它可以看作是它可以看作是k 维空间中的一个点。维空间中的一个点。6第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收n在码元持续时间在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度、噪声单边功率谱密度n0和抽样数和抽样数k（它和（它和系统带宽有关）给定后，系统带宽有关）给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能仅决定于该码元期间内噪声的能量：量：n由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而另一些则无错。另一些则无错。7第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收n设接收电压设接收电压r(t)为信号电压为信号电压s(t)和噪声电压和噪声电压n(t)之和之和:r(t)=s(t)+n(t)则在发送码元确定之后，接收电压则在发送码元确定之后，接收电压r(t)的随机性将完全由噪声的随机性将完全由噪声决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为决定，故它仍服从高斯分布，其方差仍为 n2，但是均值变为，但是均值变为s(t)。所以，。所以，当发送码元当发送码元“0”的信号波形为的信号波形为s0(t)时，接收电时，接收电压压r(t)的的k维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为式中式中 r=s+n：是是 k 维矢量，表示一个码元内接收电压的维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽个抽 样值；样值；s：是是k 维矢量，表示一个码元内信号电压的维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。个抽样值。8第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收n同理，当发送码元同理，当发送码元“1“的信号波形为的信号波形为s1(t)时，接收电压时，接收电压r(t)的的k维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为n顺便指出，若通信系统传输的是顺便指出，若通信系统传输的是M 进制码元，即可能发送进制码元，即可能发送s1，s2，si，sM之一，则按上述原理不难写出当发送码元之一，则按上述原理不难写出当发送码元是是si时，接收电压的时，接收电压的k 维联合概率密度函数为维联合概率密度函数为 910.2 数字信号的最佳接收数字信号的最佳接收n“最佳最佳”的准则：错误概率最小的准则：错误概率最小n产生错误的原因：产生错误的原因：u噪声和系统特性引起的信号失真；噪声和系统特性引起的信号失真；u暂不考虑失真的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何暂不考虑失真的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。使噪声引起的错误概率最小。n判决规则判决规则设在一个二进制通信系统中发送码元设在一个二进制通信系统中发送码元“1”的概率为的概率为P(1)，发送码元，发送码元“0”的概率为的概率为P(0)，则总误码率，则总误码率Pe等于等于10第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收 由接收矢量决定的两个联合概率密度函数由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和和f1(r)的曲的曲线画在下图中（在图中把线画在下图中（在图中把r 当作当作1维矢量画出。）：维矢量画出。）：可以将此空间划分为两个区域可以将此空间划分为两个区域A0和和A1，其边界是，其边界是r0，并将并将判决规则规定为：判决规则规定为：若接收矢量落在区域若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是内，则判为发送码元是“0”；若接收矢量落在区域若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是内，则判为发送码元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)11第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收这样，总误码率可以写为这样，总误码率可以写为式中，式中，P(A0/1)表示发送表示发送“1”时，矢量时，矢量r落在区域落在区域A0的条件概率的条件概率 P(A1/0)表示发送表示发送“0”时，时，矢量矢量r落在区域落在区域A1的条件概率的条件概率这两个条件概率可以写为：这两个条件概率可以写为：这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)12第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收将上两式代入将上两式代入得到得到上式表示上式表示Pe是是r0 的函数。的函数。为了求出使为了求出使Pe最小的判决分界点最小的判决分界点r0，将上式对，将上式对r0 求导求导 并令导函数等于并令导函数等于0，求出最佳分界点求出最佳分界点r0的条件：的条件：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)13第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收即即当先验概率相等时，即当先验概率相等时，即P(1)=P(0)时，时，f0(r0)=f1(r0)，所以，所以最佳分界点最佳分界点位于图中两条曲线交点处的位于图中两条曲线交点处的r 值上值上。在判决边界确定之后，按照接收矢量在判决边界确定之后，按照接收矢量r 落在区域落在区域A0应判为收到的是应判为收到的是“0”的判决准则，这时有：的判决准则，这时有：若若 则判为则判为“0”；反之，若反之，若 则判为则判为“1”。在发送在发送“0”和发送和发送“1”的先验概率相等时，上两式的条件简化为：的先验概率相等时，上两式的条件简化为：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)若若f0(r)f1(r)，则判为，则判为“0”若若f0(r)f1(r)，则判为，则判为“1”最大似然准则最大似然准则14第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收按照最大似然准则准则判决就可以得到理论上最佳的误码率，按照最大似然准则准则判决就可以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。即达到理论上的误码率最小值。p以上对于二进制最佳接收准则的分析，可以推广到多进制信以上对于二进制最佳接收准则的分析，可以推广到多进制信号的场合。设在一个号的场合。设在一个M 进制数字通信系统中，可能的发送码进制数字通信系统中，可能的发送码元是元是s1，s2，si，sM之一，它们的先验概率相等，能之一，它们的先验概率相等，能量相等。当发送码元是量相等。当发送码元是si时，接收电压的时，接收电压的k 维联合概率密度函维联合概率密度函数为数为于是，若于是，若 则判为则判为si(t)，其中，其中，1510.3 确知数字信号的最佳接收机确知数字信号的最佳接收机n确知信号：确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。n判决准则判决准则当发送码元为当发送码元为“0”波形为波形为so(t)时，接收电压的概率密度时，接收电压的概率密度为为当发送码元为当发送码元为“1”波形为波形为s1(t)时，接收电压的概率密度时，接收电压的概率密度为为因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：16第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收u若若则判为发送码元是则判为发送码元是s0(t)；u若若 则判为发送码元是则判为发送码元是s1(t)。u 将上两式的两端分别取对数，得到若将上两式的两端分别取对数，得到若 则判为发送码元是则判为发送码元是s0(t)；反之则判为发送码元是反之则判为发送码元是s1(t)。u 由于已经假设两个码元的能量相同，即由于已经假设两个码元的能量相同，即所以上式还可以进一步简化。所以上式还可以进一步简化。17第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收若若 式中式中则判为发送码元是则判为发送码元是s0(t)；反之，则判为发送码元是；反之，则判为发送码元是s1(t)。W0和和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子。可以看作是由先验概率决定的加权因子。18第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收W1r(t)S1(t)S0(t)W0t=Ts比较判决积分器积分器最佳接收机最佳接收机按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：19r(t)S0(t)S1(t)积分器积分器比较判决t=Ts第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收若此二进制信号的先验概率相等，则上式若此二进制信号的先验概率相等，则上式简化为简化为最佳接收机的原理方框图也可以简化成：最佳接收机的原理方框图也可以简化成：20第第10章章 数字信号最佳接收数字信号最佳接收由上述讨论不难推出由上述讨论不难推出M 进制通信系统的最佳接收机结构进制通信系统的最佳接收机结构 u上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，所以常称上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，所以常称这种算法为这种算法为相关接收法相关接收法。u由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。积分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比较判决积分器积分器21n二进制等先验概率信号的误码率：二进制等先验概率信号的误码率：式中，式中，u上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率，上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率，误码率仅和两种信号码元波形的差别误码率仅和两种信号码元波形的差别s0(t)-s1(t)的能的能量有关，而与波形本身无关。量有关，而与波形本身无关。10.4 确知数字信号最佳接收机的误码率确知数字信号最佳接收机的误码率22n误码率的计算：首先用相关系数误码率的计算：首先用相关系数 表示上式中的表示上式中的 cu定义相关系数定义相关系数 ：描述码元区别的一个参量：描述码元区别的一个参量 的取值范围：的取值范围：当当s0(t)=s1(t)时，时，1，为最大值；，为最大值；当当s0(t)=-s1(t)时，时，-1，为最小值。，为最小值。所以，所以，u当当E0=E1=Eb时，有时，有及及23u将将c代入误码率，得：代入误码率，得：化简后：化简后：上式是一个非常重要的理论公式，它给出了上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。24n由上式可以看出：由上式可以看出：u误码率和噪声功率无直接关系，误码率和噪声功率无直接关系，而和噪声功率谱密度而和噪声功率谱密度n0有关；有关；u误码率和信号波形无直接关系，误码率和信号波形无直接关系，而和而和Eb及相关系数及相关系数 有关；有关；u当当 =1时时，误码率最大。，误码率最大。这时的误码率这时的误码率Pe=1/2。u当当 =-1时，误码率最小。这时时，误码率最小。这时 2PSK信号信号25u当当 =0 时，为正交信号，时，为正交信号，2FSK信号信号u当当E0=0，E1=Eb时：时：2ASK信号信号u由由可知，可知，E/n0实际上相当于接收信号噪声功率比实际上相当于接收信号噪声功率比PS/Pn26实际接收机的Pe最佳接收机的Pe相干2PSK信号 相干2FSK信号 非相干2FSK信号 相干2ASK信号 10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较实际接收机和最佳接收机的性能比较 当系统带宽恰好满足奈圭斯特准则时，实际接收机的信噪当系统带宽恰好满足奈圭斯特准则时，实际接收机的信噪比比r等于最佳接收机的码元能量和噪声功率谱密度之比等于最佳接收机的码元能量和噪声功率谱密度之比Eb/n0 实际接收机的带宽不能达到该极限值，所以实际接收机的实际接收机的带宽不能达到该极限值，所以实际接收机的性能低于最佳接收机的性能。性能低于最佳接收机的性能。27 匹配滤波匹配滤波 用线性滤波器对接收信号滤波，使抽用线性滤波器对接收信号滤波，使抽样时刻的输出信噪比最大。样时刻的输出信噪比最大。n设：设：H(f)接收滤波器的传输函数，接收滤波器的传输函数，h(t)为其冲激响应；为其冲激响应；s(t)接收信号；接收信号；S(f)接收信号的频谱密度；接收信号的频谱密度；n(t)高斯白噪声；高斯白噪声；Pn(f)=n0/2 噪声双边功率谱密噪声双边功率谱密度度;n若滤波器输入码元为若滤波器输入码元为则线性滤波器的输出为则线性滤波器的输出为 式中，式中，n输出噪声功率：输出噪声功率：10.8 数字信号的匹配滤波接收原理数字信号的匹配滤波接收原理28n在抽样时刻在抽样时刻 t0 上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为n 求求r0的最大值的最大值 利用施瓦茲利用施瓦茲(Schwarz)不等式：不等式：若若 成立（其中成立（其中k为整数），则上式的等号成立为整数），则上式的等号成立 令令则有则有n当当 时，上式的等号成立，时，上式的等号成立，r0最大为最大为2E/n0。nH(f)与信号频谱共轭匹配（除了常数因子外），与信号频谱共轭匹配（除了常数因子外），故称之为匹配故称之为匹配滤波器。滤波器。29l匹配滤波器的特性还可以用其冲激响应函数匹配滤波器的特性还可以用其冲激响应函数h(t)来描述：来描述：l由上式可见，匹配滤波器的冲激响应由上式可见，匹配滤波器的冲激响应 h(t)就是信号就是信号s(t)的的镜像镜像s(-t)，但在时间轴上（向右）平移了，但在时间轴上（向右）平移了t0。30n匹配滤波器应该是物理可实现的，即其匹配滤波器应该是物理可实现的，即其h(t)应该满足条件：应该满足条件：即要求满足条件即要求满足条件 或满足条件或满足条件n要求：滤波器输入信号码元要求：滤波器输入信号码元s(t)在抽样时刻在抽样时刻t0之后必须为零。之后必须为零。一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选码元末尾抽样，即选t0=T。故匹配滤波器的冲激响应可以写为故匹配滤波器的冲激响应可以写为n匹配滤波器输出信号码元的波形：匹配滤波器输出信号码元的波形：上式表明，上式表明，匹配滤波器输波形是输入码元波形的自相关函数匹配滤波器输波形是输入码元波形的自相关函数的的k倍。倍。31n【例例】设接收信号码元设接收信号码元s(t)的表示式为的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。【解解】s(t)的频谱为的频谱为 由式由式令令k=1，可得其匹配滤波器传输函数为：，可得其匹配滤波器传输函数为：由式由式令令k=1，得到此匹配滤波器冲激响应为：，得到此匹配滤波器冲激响应为：由由 画出输出信号曲线画出输出信号曲线tTs(t)1(a)接收信号波形tTh(t)1(b)冲激响应tTso(t)(c)输出信号波形32由匹配滤波器的传输函数得到滤波器结构：由匹配滤波器的传输函数得到滤波器结构：(1/j 2 f)是理想积分器的传输函数是理想积分器的传输函数 exp(-j 2 f T)是延迟时间为是延迟时间为T 的延迟电路的传输函数的延迟电路的传输函数方框图如下：方框图如下：理想积分器延迟T相 减33n【例例】设接收信号设接收信号s(t)的表示式为的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。码元的波形。【解解】s(t)的频谱密度为的频谱密度为 u故其匹配滤波器的传输函数为故其匹配滤波器的传输函数为 上式中，已令上式中，已令t0=T。(a)信号波形信号波形34u匹配滤波器的冲激响应匹配滤波器的冲激响应:为了便于画出波形图，令为了便于画出波形图，令 上式可化简为：上式可化简为：u匹配滤波器输出波形：匹配滤波器输出波形：由于由于s(t)和和h(t)在区间在区间(0,T)外都等于零，故上式中的积分可以外都等于零，故上式中的积分可以分段进行计算：分段进行计算：计算结果如下：计算结果如下：(c)输出波输出波形形(b)冲激响应冲激响应35n用匹配滤波器构成的接收电路方框图用匹配滤波器构成的接收电路方框图：最大信噪比与信号波形无关最大信噪比与信号波形无关 所以匹配滤波器适用于任意一种数字波形。所以匹配滤波器适用于任意一种数字波形。匹配滤波器1匹配滤波器2抽样判决抽样t=Tt=T输入输出36n设：匹配滤波器的冲激响应函数：设：匹配滤波器的冲激响应函数：匹配滤波器是物理可实现的：匹配滤波器是物理可实现的：接收信号码元接收信号码元 x(t)限定在限定在(0,T)则输出信号波形则输出信号波形y(t)按照式按照式可以写成：可以写成：在抽样时刻在抽样时刻T，输出电压等于：，输出电压等于：上式中的积分是一种相关运算，即将输入上式中的积分是一种相关运算，即将输入x(t)与和与和s(t)作作相关运算。相关运算。只有输入信号只有输入信号x(t)=s(t)时，在时刻时，在时刻t=T才有最大的输出信噪比才有最大的输出信噪比n匹配滤波器与相关接收法完全等效，都是最佳接收匹配滤波器与相关接收法完全等效，都是最佳接收匹配滤波器与相关接收法匹配滤波器与相关接收法37n相关接收法方框图：相关接收法方框图：n相关接收法判决准则：相关接收法判决准则：相乘相乘积分积分抽样判决抽样判决比较s0(t)s1(t)x(t)t=Tt=T38【例例】设有一个信号码元如上例中所给出的设有一个信号码元如上例中所给出的s(t)。试比。试比较它分别通过匹配滤波器和相关接收器时的输出波形较它分别通过匹配滤波器和相关接收器时的输出波形【解解】根据根据此信号码元通过相关接收器后，输出信号波形等于此信号码元通过相关接收器后，输出信号波形等于上式中，假定上式中，假定f0很大，故结果近似等于很大，故结果近似等于t/2，即与，即与 t 成正比。成正比。输出波形：输出波形：只有当只有当 t=T 时，时，两者的抽样值才相等。两者的抽样值才相等。匹配滤波器输出匹配滤波器输出相关器输出相关器输出匹配滤波和相关接收比较匹配滤波和相关接收比较39n基带传输系统基带传输系统n基带总传输函数：基带总传输函数：H(f)=GT(f)C(f)GR(f)n假设：信道具有理想特性，即假设假设：信道具有理想特性，即假设C(f)=1。于是有。于是有 H(f)=GT(f)GR(f)且设且设H(f)满足无码间干扰。满足无码间干扰。n待解决的问题：如何设计待解决的问题：如何设计GT(f)和和GR(f)，使系统在加性白色，使系统在加性白色高斯噪声条件下误码率最小。高斯噪声条件下误码率最小。发送滤波器信 道接收滤波器抽样判决噪声GR(f)C(f)GT(f)10.9 最佳基带传输系统最佳基带传输系统40n用匹配滤波法接收时：用匹配滤波法接收时：u信号频谱信号频谱 S(f)发送滤波器的传输特性发送滤波器的传输特性GT(f)u匹配滤波器的传输特性匹配滤波器的传输特性GR(f)应当是信号频谱应当是信号频谱S(f)的复共轭的复共轭:u即，即，或写成或写成得到要求得到要求接收匹配滤波器满足的条件接收匹配滤波器满足的条件为为由于上式没有限定由于上式没有限定接收滤波器接收滤波器的相位条件，的相位条件，所以可以选为：所以可以选为：由式由式得到得到发送滤波器的传输特性发送滤波器的传输特性为：为：41n最佳基带系统的误码率性能最佳基带系统的误码率性能u设：基带码元为设：基带码元为M进制多电平信号，即码元有进制多电平信号，即码元有M种电平：种电平：u在接收端，判决电路的判决门限值则应当设定在在接收端，判决电路的判决门限值则应当设定在 u错误概率：错误概率：式中，式中，是噪声的抽样值是噪声的抽样值u将将计算结果，代入计算结果，代入Pe公式，得到公式，得到误码率最终表示式为误码率最终表示式为d3d7d-5d-3d-d0t-7d5d42u当当M2时，时，u上式是在理想信道中，消除码间串扰条件下，二进制双极上式是在理想信道中，消除码间串扰条件下，二进制双极性基带信号传输的最佳误码率。性基带信号传输的最佳误码率。u误码率曲线：误码率曲线：由此图可见，当误码率较低时，为保持误码率不变，若由此图可见，当误码率较低时，为保持误码率不变，若M值增大到值增大到2倍，信噪比大约需要增大倍，信噪比大约需要增大7 dB。43 10-4 10-9思考题、习题思考题、习题44