集合与实变函数优秀PPT.ppt

集合与实变函数第一页，本课件共有62页第二页，本课件共有62页第三页，本课件共有62页第四页，本课件共有62页第五页，本课件共有62页第一章 集合与映射集合的概念集合的运算集合间的映射集合的基数集合的拓扑集合的测度第六页，本课件共有62页具有某种确定性质的事物或对象的全体，称之为集合，记为A。罗素悖论：所有集合放在一起，是否是集合？某一个理发师，声称：给所有不给自己理发的人理发，那他的头发怎么办？第七页，本课件共有62页第八页，本课件共有62页第九页，本课件共有62页第十页，本课件共有62页第十一页，本课件共有62页第十二页，本课件共有62页第十三页，本课件共有62页类：其元素是集合的集合，记为 第十四页，本课件共有62页第十五页，本课件共有62页第十六页，本课件共有62页第十七页，本课件共有62页映射类型：单射、满射、双射映射类型：单射、满射、双射第十八页，本课件共有62页第十九页，本课件共有62页第二十页，本课件共有62页第二十一页，本课件共有62页第二十二页，本课件共有62页第二十三页，本课件共有62页第二十四页，本课件共有62页第二十五页，本课件共有62页第二十六页，本课件共有62页可数集合的性质任意无穷集合都有可数子集可数集合的子集至多是可数集合可数个可数集合的并仍然是可数集合无穷集合不一定都是可数的，入如（0，1）第二十七页，本课件共有62页第二十八页，本课件共有62页二、集合上的拓扑结构第二十九页，本课件共有62页度量空间第三十页，本课件共有62页有了开集的概念，就可以定义闭集、映射的连续等等概念第三十一页，本课件共有62页直线上的开集、闭集和完备集第三十二页，本课件共有62页第三十三页，本课件共有62页拓扑空间第三十四页，本课件共有62页第三十五页，本课件共有62页欧式空间的重要定理第三十六页，本课件共有62页第三十七页，本课件共有62页三、集合的测度第三十八页，本课件共有62页第三十九页，本课件共有62页直线上集合的测度第四十页，本课件共有62页第四十一页，本课件共有62页可测集类就是全体Borel集和全体零测度集合的“可加”集合类的确存在不可测集合，如商集合0,1/Q在二维以上的欧式空间，也可以作类似的推广，其上的Lebesgue测度理论与直线上的情形很相似。第四十二页，本课件共有62页第二章、L-可测函数和L-微积分理论一、可测函数第四十三页，本课件共有62页第四十四页，本课件共有62页第四十五页，本课件共有62页第四十六页，本课件共有62页第四十七页，本课件共有62页第四十八页，本课件共有62页二、L-积分可以通过依次引入下列各函数类的L-积分：非负简单函数、非负可测函数、有界可测函数、一般可测函数在有界可测集和一般可测集合上的积分L-积分与R-积分有着几乎完全一样的性质：单调性、线性、对集合的有限（可数）可加性、积分的绝对连续性等等第四十九页，本课件共有62页第五十页，本课件共有62页两者的区别与联系改变函数f在零测度集上的定义，其L-积分不变。第五十一页，本课件共有62页积分与极限换序第五十二页，本课件共有62页第五十三页，本课件共有62页Fubini定理第五十四页，本课件共有62页第五十五页，本课件共有62页三、微分条件太强了，在L-积分中，只需要函数F(x)是绝对连续，就够了第五十六页，本课件共有62页第五十七页，本课件共有62页有趣的问题严格递增的连续函数是不是处处可导，其导函数一定大于0？其导函数是不是可积，积分等于端点处的函数值之差？例如Cantor函数第五十八页，本课件共有62页十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。第五十九页，本课件共有62页函数空间L2a,b上平方可积的函数的全体，将几乎处处相等的不同函数视为同一个元素，就得到了一个商集L2，通过定义距离，正交等概念，可得到一无穷维的欧式空间。在L2中建立正规正交基，将函数进行傅里叶展开，通过周期函数的叠加来研究一般函数性质。这是实变函数的重要性所在之一第六十页，本课件共有62页第六十一页，本课件共有62页第六十二页，本课件共有62页