数列求和的八种基本方法和技巧 专题讲义--高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.docx

数列求和的基本方法和技巧数列在生产生活中有着极其广泛的应用，因此它是高中数学的重要内容.在高考中也占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式之外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面我们就通过一些典型的例子来展示数列求和的基本方法和技巧. 一.公式法求和对于等差数列与等比数列求和问题，常用其求和公式，这是求和最重要的方法之一.（一）等差数列与等比数列的求和公式1.等差数列求和公式：（其中，）.2.等比数列求和公式：.（二）方法展示例1 将全体正整数排列成一个三角形数阵，如图所示.（1）第行的最后一个数是 ；（2）第行的各数之和是 .解：（1）设第行的最后一个数是，易知每行最后一个数加上它下一行中实数的个数就等于下一行的最后一个数，所以则.（应用等差数列公式求和）(或用逐差法求)（2）第行的各数之和为，于是.（应用等差数列求和公式）注意：将视为首项，公差，项数为，求和即可.例2 设数列是等比数列，是等差数列，且，若，求的前项的和.解：设数列的公比为，数列的公差为.，解得，于是，的前项的和.（三）练习1.已知等差数列的首项，公差，前项和为，若数列也是等差数列，求的最大值.解：数列是等差数列，即，即，又是等差数列，且，代入得，于是.经检验知，满足题设.由等差数列求和公式得，. 当 ，即时，.二.利用数列的性质求和对于一些特殊的数列，或在特定的条件下求和，应用其性质，既快又好，可以收到事半功倍的效果.（一）数列与前项和有关的性质（1）若数列是等差数列，则数列也是等差数列.设等差数列的前项和为，数列，也是等差数列.设等比数列的前项和为，数列，也是等比数列.（2）对于周期数列，可以先求一个周期内的各项和，乘以周期数，再加多余几项.（二）方法展示例3（1）设是等差数列的前项和，若，则_(2)设等比数列的前项和为，若，则()A. B C. D解（1）法一：成等差数列，也成等差数列，设，则，于是公差，即，.法二：数列成等差数列，数列是等差数列，由，得，设，则，公差为，于是，.（2）法一 因为，所以，由等比数列的性质得，成等比数列，所以，得，所以.法二 因为，所以，所以，所以.例4 （1）在数列中，设数列的前项和为，则 .（2）在数列中，若对任意的均有为定值（），且，则数列的前项的和（ ）A. B. C. D.解：（1）递推计算得，（可以证明）于是此数列是周期为的周期数列，又，所以.故填：.（2）对任意的均有为定值，即，数列是周期为的周期数列，于是，所以.故选：B.（三）练习1. (1)已知等差数列的前项和为，且，则_(2)设等比数列的前项和为.若，则()A31 B32 C63 D64（2）法一：，成等差数列，将，代入得，解得.法二：是等差数列，数列是等差数列，其公差为，解得.（2）依题意，成等比数列，首项为，公比为，所以.2. 数列满足，若，则（ ）A. B. C. D.三.裂项法求和裂项法求和是将数列中的每项（通项）分解为几项，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. （一）通项分解（裂项）的常用公式（1） （2）（3）（4）（5）（6）（二）方法展示例5 等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设（），求数列的前项和.解：（1）设数列的公比为，等比数列的各项均为正数，.，成等差数列，即，上式变形为，解得（舍去）.，将代入解得.于是；（2）由得，.即.例6 已知数列中，点在函数的图像上，记.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.解：（1）在函数的图像上，即，又，于是，且，数列是等比数列；（2）由知，即，即.又由得，.注意：也可将这样变形.（三）练习1.已知公差不为零的等差数列的前3项和，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式和前项和；（2）设为数列的前项和，若对一切都成立，求实数的最小值.解：（1）由，即，得，又因为，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以数列的通项公式为，前项和；（2）由知，于是，又，即，即恒成立.因为（当且仅当时取“”）所以，即.2. 在数列中，（为常数，），又，成公比不为1的等比数列.（1）求证：为等差数列，并求的值；（2）设满足，（，），证明：数列的前项和.解：（1）因为当时，所以.即，所以数列是公差为的等差数列，且，即.又因为，成等比数列，所以，即，解得或.若，则，于是等比数列的公比，与题设矛盾！所以，.（2）当时，当时，所以，当时，当时，因为，满足上式,于是(),显然.四.错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法，主要用于求一个等差数列与一个等比数列的对应项的积构成的新数列的前项和. “错位”的目的是便于相减， “相减”的目的是得到一个等比数列，然后求和.（一）基本步骤（1）写出数列的前项和；（2）在两边同乘以等比数列的公比，即.（3）对（1）（2）中的两式作差并整理得：（其中是数列的公差）（4）用公式法求和并化简.（二）方法展示例7 数列的前项和为，又知正项数列满足（），.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）当时，即，当时，即，数列是等比数列，于是.又由得（），于是是等差数列，于是，即；（2）由（1）知，于是 （设制错位）得.例8 设数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求证：.解：（1）容易求出；（2）由（1）知.当时，满足，当时，得：，即.（），数列是递增数列，又，所以，而，满足.综上所述，对任意，都有.（三）练习1. 求和：（，且）.解：由题可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积.由设 （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：.2.求数列前项和解： 两式相减：.五.反序相加法求和这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个.（一）解题步骤（1）写出数列前项和：；（2）反序写出数列前项和：；（3）将（2）（3）中的两式相加：（4）根据（，且）的特点求和.（二）方法展示例9 已知，求证：.证明：，且，而，考虑到，那么，.例10 已知函数（），点，是函数图像上的任意两点，且线段的中点的横坐标为.（1）求证：点的纵坐标为定值；（2）在数列中，若，（），求数列的前项的和的值.解：（1）的中点的横坐标为，点的纵坐标为定值.（2）由（1）知，设又得，所以.（三）练习1. 在各项均为正数的等比数列中，若，求的值.解：设由等比数列的性质 （倒序相加求和）和对数的运算性质 得（合并求和）所以.2.设函数.（1）求的值；（2）设，求数列（，）的各项和.解：（1）；（2） （反序）两式相加 （反序相加），.六、分组法求和将一个数列分拆成几个数列求和.（一）有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其和相加即可.（二）方法展示例11 求数列的前项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组）当时， （求和）当时，例12 已知等差数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）由得，将代入得，公差，.（2）由（1）知，于是.（三）练习1. 求数列，的前项和.解：设数列的通项为，前项和为，则 当时，当时，.七、并项法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求.（一）并项法的关键是：寻找相关项之间的关系，并项化简之后，使之成为一个等差数列、等比数列或可以求和的数列.（二）方法展示例13 若，求数列的各项和.解：由题意知，现将和中的10000个数排成下表：上表中，从左上角到右下角的对角线上的100个数都是，关于此对角线对称的两数之和均为，除对角线上的100个数之外的个数之和为，所以表中个数之和为.故.注意：关于对角线对称的两个数与“并项”，得到.例14 已知数列的通项公式为（为与无关的常数），设数列的前项和为，求前项的和.解：设，于是数列为等差数列.八、先求数列的通项，再对其进行形求和如果数列的各项可以通过求和及代数恒等变形等方法化简成一个可求和的数列的通项，就可求出通项，再求和（一）先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前项和，是一个重要的方法.（二）方法展示例15 求之和.解：由于 （通过求和找通项及特征） （分组求和）例16 已知数列满足，设，求数列的前项和.解：（通过代数恒等变形找通项及特征） （设制分组） （裂项） （分组、裂项求和）.注意：也可如下变形：（三）练习1.求数列前项和解：2.求的前项和.解：，即前项和.【课后练习】1.正项等比数列的前项和为，若，则()A80 B30 C26 D16解：设，则，成等比数列，则有，由解得(舍)，或 ，代入得，即.故选：B2.在数列中，又，求数列的前项的和.解： ， （裂项）数列的前项和 （裂项求和）.3.求的值解：设. 将式右边反序得. （反序）又因为 +得 （反序相加）.4. 已知数列是等差数列，设是数列的前项和，则 .解：，公差，可得，于是，即，（以下分别并项求和）（项之间的关系是：）.5.等差数列的前项和满足，求数列的前项和解：取，则，又 可得：,，.6.求数列，的前项和.解：设 （裂项）则 （裂项求和）7.求证：解：设 （裂项） （裂项求和）.原等式成立.8. 求的值.解：设 （找特殊性质项） （合并求和）9.已知数列满足.（裂项求和）（1）求数列的通项公式；（2）设函数，求.10.求数列的前项和.（裂项求和）11.已知数列中，且.（裂项求和）（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列为，求证：.12.设数列的前项的和为，数列满足（）.（错位相减法）（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.13.设数列的前项和，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. （错位相减法）14.求数列的前项和.解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组） （分组求和）15.数列满足，且（），则的整数部分是（ ）A. B. C. D.解：由得，所以.因为，所以又，故，即.故选：D.16.数列的前项和为，且，求.解：设由，可得， （周期数列求和）17.已知函数（），点，是函数图像上的任意两点，记线段的中点为.（1）求证：当时，点的纵坐标为定值；（2）设（，），求数列的前项的和的值.解：（1），即点的纵坐标为定值；（2）（将其倒序）即两式相加得，.学科网（北京）股份有限公司