圆锥曲线中的定点问题 专题讲义-高三数学一轮复习备考.docx

圆锥曲线中的定点问题求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略1.处理定点问题的思路(1)确定题目中的核心变量(此处设为k)(2)利用条件找到k与过定点的曲线F（x,y）=0的联系，得到有关k与x,y的等式(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点（x0,y0），使得无论k的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k与x,y的等式进行变形，直至易于找到x0,y0.常见的变形方向如下：若等式的形式为整式，则考虑将含k的项归在一组，变形为“k×( )”的形式，从而x0,y0只需要先让括号内的部分为零即可若等式为含k的分式，x0,y0的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式)2.处理定点问题两个基本策略：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关【例1】(2023届河南省顶级名校高三上学期月考)设F1,F2分别是椭圆C：的左右焦点，M是C上一点，MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为.(1)求椭圆C的离心率；(2)设D(0,1)是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B两点，证明直线AB过定点，并求出定点坐标.【例2】椭圆C的焦点为F1(- 2,0)，F2(2,0)，且点M(2,1)在椭圆C上过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于 A，B 两点，点 B 关y轴的对称点为点D(不同于点A)(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 证明：直线 AD 恒过定点，并求出定点坐标(二) 直线过定点问题1. 直线过定点问题的解题模型 2. 求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y = kx + b，然后利用题中条件整理出k,b 的关系，若 b = km + n(m,n为常数)，代入y=kx+ b 得y= k(x + m)+ n，则该直线过定点(-m,n).【例3】(2023 届福建省泉州市高三毕业班质量监测 (一) 已知椭圆 C: 过点Aî(-2,0)右焦点为 F，纵坐标为的点 M在C上，且 AF MF(1) 求 C 的方程：(2) 设过 A 与 x 轴垂直的直线为 l，纵坐标不为 0 的点 P为 C上一动点，过 F 作直线 PA 的垂线交l于点Q，证明：直线 PQ 过定点(三) 圆过定点问题圆过定点问题的常见类型是以 AB 为直径的圆过定点 P，求解思路是把问题转化为 PAPB，也可以转化为 【例4】(2022 届广西“智桂杯”高三上学期大联考)已知椭圆C: 的右焦点为 F(1，0)，与x轴不重合的直线l过焦点F，l与椭圆C交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，AB = 3. (1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左顶点为 P，PA，PB 的延长线分别交直线x= 4于M ，N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.(四) 确定定点使某个式子的值为定值求解此类问题一般先设出点的坐标，然后把所给式子用所设点的横坐标或纵坐标表示，再观察该式子为定值的条件，确定所设点的坐标.【例5】(2023 届山西省山西大学附属中学校高三上学期 9 月)如图，椭圆C：，|A1B1|=，F1是椭圆C的左焦点，A1是椭圆C 的左顶点，B1是椭圆C的上顶点，且,点P(n,0) (n0)是长轴上的任一定点，过P点的任一直线l交椭圆C于A,B两点.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 是否存在定点Q(x0,0)，使得为定值，若存在，试求出定点Q的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.(五) 与定点问题有关的基本结论1. 若直线l与抛物线 y2= 2px 交于点 A,B，则OAOB 直线 l 过定点 P(2p,0)；2. 若直线l与抛物线 y2= 2px 交于点 A,B，则kOAkOB=m 直线 l 过定点 P(,0)；3. 设点 P(2pt02,2pt0) 是抛物线y2= 2px上一定点，M ,N是该抛物线上的动点，则 PMPN 直线 MN过定点Q(2p+2pt02,-2pt0) .4. 设点 A(x0,y0)是抛物线y2= 2px上一定点，M,N 是该抛物线上的动点，则kAMkAN = m 直线 MN 过定点 P(,-y0)；5.过椭圆 的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A,B，则PAPB 直线 AB 过点 Q；6.过椭圆 的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A,B，则PAPB 直线 AB 过点 Q；7. 设点 P(m,n)是椭圆上一定点，点 A,B是椭圆C上不同于P的两点，若 kPA+ î kPB=() ，则直线 AB 过定点；8. 设点 P(m,n)是椭圆上一定点，点 A,B是椭圆C上不同于P的两点，若 kPA+ kPB=() ，则直线 AB 过定点；【例6】(2023 届山西省长治市高三上学期 9月) 已知点P(1, ) 在椭圆 C:上，且点P到椭圆右顶点M的距离为 (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若点 A，B 是椭圆 C 上不同的两点 (均异于 M) 且满足直线 MA 与 MB 斜率之积为试判断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标;若不是，说明理由【例7】(2022 届海南华侨中学高三上学期月考) 已知椭圆的左右焦点分别为 F1,F2， 点M(0,-1)是椭圆的一个顶点，F1MF2是等腰直角三角形. (1) 求椭圆的方程；(2) 过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点，设两直线的斜率分别为 k1,k2，且 k1+ k2= 4，求证：直线 AB 过定点.三、跟踪检测1. (2023届江苏省高三上学期10月联考)在一张纸上有一个圆C：，定点 M(,0)，折叠纸片使圆C上某一点M1好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 PQ，设折痕 PQ 与直线 M1C 的交点为 T(1) 求证：为定值，并求出点T的轨迹C方程；(2) 设 A(-1,0)，M为曲线C上一点，N为圆x2+ y2= 1上一点 (M ，N 均不在 x轴上)直线AM，AN的斜率分别记为k1，k2，且 k2=k1，求证：直线 MN 过定点，并求出此定点的坐标2. (2023 届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试)已知椭圆C：的离心率为圆O(O为坐标原点)在椭圆C的内部，半径为 P，Q 分别为椭圆C和圆O上的动点，且P，Q两点的最小距离为 1- (1) 求椭圆C的方程；(2)A，B是椭圆C上不同的两点，且直线 AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆 O 上求证：以 AB 为直径的圆过定点3. (2023 届湖南省永州市高三上学期第一次考试) 点 P(4,3) 在双曲线 C:上，离心率e= . (1) 求双曲线 C 的方程；(2)A,B 是双曲线 C 上的两个动点 (异于点 P)，k1,k2分别表示直线 PA,PB 的斜率，满足k1k2=，求证：直线 AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标.4. (2023 届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考) 已知抛物线 C:y2= 2px(p > 0)，O 是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，|FM| = 4，OFM=120° (1) 求抛物线C的标准方程；(2) 设点Q(x0,2)在 C 上，过 Q 作两条互相垂直的直线 QA,QB，分别交 C 于 A，B 两点 (异于 Q 点)证明：直线AB恒过定点5.(2023 届四川省部分重点中学高三上学期 9 月联考) 已知椭圆 C： 的右顶点是 M(2，0)，离心率为 (1) 求椭圆 C 的标准方程(2) 过点 T(4，0) 作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，点 B 关于 x 轴的对称点为 D，问直线 AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由6.(2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考) 设直线x= m与双曲线C:(m>0)的两条渐近线分别交于 A，B 两点，且三角形 OAB 的面积为 (1) 求 m 的值；(2) 已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为， F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点7. (2023 届江西省智慧上进高三上学期考试) 已知椭圆 C：的右焦点为 F，过点F作一条直线交 C 于 R，S 两点，线段 RS 长度的最小值为，C 的离心率为 (1) 求 C 的标准方程；(2) 斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，P(2,0)，且总存在实数R，使得，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由8. (2023 届山西省高三上学期第一次摸底) 已知椭圆 C :的左、右焦点分别是F1(-1,0)，F2(1,0)，点A(0,b)，若 AF1F2的内切圆的半径与外接圆的半径的比是 1:2 (1)求椭圆C的方程；(2)过C的左焦点F1作弦DE,MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若证明：直线 PQ 过定点9. (2023 届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且过点 A(,-1). (1) 求双曲线 C 的标准方程；(2) 已知D(2,0),E,F 是双曲线 C 上不同于 D 的两点，且,DG EF 于 G，证明：存在定点 H， 使|GH|为定值.10.(2023届江苏省南京市高三上学期9月) 已知抛物线C：y2= 2px(p> 0)的焦点为F，过点P(0，2) 的动直线l与抛物线相交于A，B两点当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点(1) 求p的值；(2) 是否存在定点T，使得为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由11.(2023 届江苏省百校联考高三上学期第一次考试) 设 F为椭圆 C：的右焦点，过点 F 且与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点. (1) 当 时，求； (2) 在 x 轴上是否存在异于 F 的定点 Q，使为定值 (其中 kQA，kQB分别为直线QA，QB 的斜率)？若存在，求出 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.12. (2022 届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 F，点M (x0,4) 在C上，且 (1) 求点 M 的坐标及C的方程；(2) 设动直线l与C相交于 A,B 两点，且直线 MA 与 MB 的斜率互为倒数，试问直线 l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由13. (2022 届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考) 已知椭圆 C：的左、右焦点分别为 F1，F2. 离心率等于，点P在y轴正半轴上，PF1F2为直角三角形且面积等于 2. (1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 已知斜率存在且不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，当点 A 关于 y 轴的对称点在直线 PB 上时，直线 l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.14.(2022 届江苏省南通市高三上学期期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：的右顶点为 A，直线l与双曲线C交于P、Q 两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点(1) 设直线 PQ 与直线 OM 的斜率分别为 k1、k2，求 k1·k2的值；(2) 若，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由15.已知抛物线 C:y2= 2px(p>0)的焦点为 F，过点F的直线l交抛物线C于A，B 两点，当lx轴时，ô|AB|= 2. (1) 求抛物线 C 的方程；(2) 若直线l交y轴于点D，过点D且垂直于y轴的直线交抛物线C于点P，直线PF交抛物线C于另一点Q. 是否存在定点M ，使得四边形 AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 求证：SQAFSQBF为定值.16学科网（北京）股份有限公司