角动量及角动量定理.ppt

2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律第五讲 角动量及角动量定律5-0 回顾回顾5-1 角动量的定义角动量的定义5-2 角动量定理角动量定理5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律5-0 回顾回顾功的定义：功的定义：动能动能质点的动能定理：质点的动能定理：势能势能质点系的动能定理：质点系的动能定理：W外外W内内EKB-EKA弹性势能弹性势能重力势能重力势能万有引力势能万有引力势能机械能机械能:EEk+EP 功能定理：功能定理：W外外 W非保内非保内EB EA机械能守恒定律：机械能守恒定律：若若 则则E=C2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律1.1.角动量概念的引入角动量概念的引入由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？系统有机械运动，总动量却为零？说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。问题：问题：将一绕通过质心的固定轴将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为多少？统总动量为多少？C CM M*引入与动量引入与动量 对应的角量对应的角量 角动量（动量矩）角动量（动量矩）动量对参考点（或轴）求矩动量对参考点（或轴）求矩5-1 5-1 角动量的定义角动量的定义2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律定义定义：质点对点的角动量为质点对点的角动量为角动量大小：角动量大小：-平行四边形面积平行四边形面积角动量方向：右手螺旋定则角动量方向：右手螺旋定则2 角动量的定义角动量的定义*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律（1 1）质点对点的角动量，不但与质点运动有关，）质点对点的角动量，不但与质点运动有关，且与参考点位置有关。且与参考点位置有关。讨讨 论论以以A点为参考点，任意时刻点为参考点，任意时刻t，有，有 以以O为参考点，任意时刻的角动量为：为参考点，任意时刻的角动量为：2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律（2 2）做匀速圆周运动时，由于）做匀速圆周运动时，由于 ，质点对圆，质点对圆心的角动量大小为：心的角动量大小为：质点对圆心质点对圆心O的角动量为恒量的角动量为恒量大小不变大小不变大小不变方向不变方向不变方向不变2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律对对0：对对0：方向：垂直向上不变方向：垂直向上不变大小：大小：大小：大小：方向：一直变化方向：一直变化（3）圆锥摆）圆锥摆q2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律5-2 角动量定理角动量定理1.质点质点定义：力对坐标原点定义：力对坐标原点O的力矩：的力矩：5-2 角动量定理角动量定理 O方向：方向：大小：大小：力臂力臂2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律角动量定理的微分形式角动量定理的微分形式 若力矩作用一段有限时间，则有质点角动量定理的若力矩作用一段有限时间，则有质点角动量定理的积分形式：积分形式：冲量矩冲量矩反映在反映在一段时间内力矩的时间积累一段时间内力矩的时间积累 2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律质点系的角动量：质点系对给定参质点系的角动量：质点系对给定参考点的角动量，等于各质点对该参考点的角动量，等于各质点对该参考点的角动量的矢量和，即考点的角动量的矢量和，即2.质点系角动量定理：质点系角动量定理：总外力矩总外力矩总内力矩总内力矩？2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律 m1mjOm2mi一对内力一对内力的力矩和的力矩和与质点角动量定律形式一样与质点角动量定律形式一样辩一辩：总外力矩与合外力的力矩的区别辩一辩：总外力矩与合外力的力矩的区别（都都对对同一点）同一点）2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律3.角动量定律的分量形式：角动量定律的分量形式：2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律5-3 5-3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动1.1.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量的大小为的大小为对对O O点的角动量为：点的角动量为：2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律定义：刚体绕轴转动的定义：刚体绕轴转动的转动惯量转动惯量：刚体绕定轴的角动量刚体绕定轴的角动量特例：质点特例：质点2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律转动平面对定轴转动起作用的是对定轴转动起作用的是力矩力矩 沿沿Z Z 轴分量轴分量对对O O 点的力矩：点的力矩：2.2.刚体定轴转动的力矩刚体定轴转动的力矩对轴的力矩对轴的力矩大小：大小：方向：方向：2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律 注注 ：在：在定轴动问题中，如不加说明，所指的力定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。只能引起轴的只能引起轴的变形变形,对转动无贡献对转动无贡献。转动平面-力臂力臂。转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用+、-号表示号表示2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律3.3.3.3.刚体定轴转动中的角动量定律刚体定轴转动中的角动量定律刚体定轴转动中的角动量定律刚体定轴转动中的角动量定律转动定律转动定律转动定律转动定律讨论：讨论：（3 3）Jz 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。动惯量不同。（2 2）Jz 和质量分布有关；和质量分布有关；（1 1）转动惯量是转动惯性大小的量度）转动惯量是转动惯性大小的量度2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律试一试：由牛顿方程推出刚体定轴转动定律试一试：由牛顿方程推出刚体定轴转动定律试一试：由牛顿方程推出刚体定轴转动定律试一试：由牛顿方程推出刚体定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得：应用牛顿第二定律，可得：O O对刚体中任一质量元对刚体中任一质量元-外力外力-内力内力采用自然坐标系，上式切向分量式为：采用自然坐标系，上式切向分量式为：O O2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律想一想：想一想：1.对静止刚体施以外力作用，如果合外力为零，对静止刚体施以外力作用，如果合外力为零，刚体会不会运动？刚体会不会运动？2.如果刚体转动的角速度很大，那么如果刚体转动的角速度很大，那么（1）作用在它上面的力是否很大？）作用在它上面的力是否很大？（2）作用在它上面的力矩很大？）作用在它上面的力矩很大？2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律4.转动惯量的计算转动惯量的计算分立的质点系：分立的质点系：对质量连续分布的刚体对质量连续分布的刚体对质量连续分布的刚体对质量连续分布的刚体线分布，线分布，线分布，线分布，为线密度为线密度为线密度为线密度面分布，面分布，面分布，面分布，为面密度为面密度为面密度为面密度体分布，体分布，体分布，体分布，为体密度为体密度为体密度为体密度2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律例例1 1：一可忽略质量的轻质平：一可忽略质量的轻质平面正方形框架，边长为面正方形框架，边长为a ，其四个顶点上分别有一个质量其四个顶点上分别有一个质量为为m m 的质点，求此质点系绕的质点，求此质点系绕垂直于正方形平面且过其中心垂直于正方形平面且过其中心的轴的轴OZOZ的转动惯量。的转动惯量。若转轴平移至正方形的一个顶点若转轴平移至正方形的一个顶点 若转轴平移至正方形的一边中点若转轴平移至正方形的一边中点解：解：2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律例例2 2、求长为求长为L L、质量为质量为m m的均匀细棒对图中不同的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。轴的转动惯量。A AB BL LX XA AB BL/2L/2L/2L/2C CX X解：解：取如图坐标，取如图坐标，dm=dm=dxdx平行轴定理平行轴定理试一试：证明平行轴定理试一试：证明平行轴定理2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律例例3 3、求质量为求质量为m m、半径为半径为R R、厚为厚为l l 的均匀圆盘的均匀圆盘 的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：解：任取半径为任取半径为r r 宽为宽为dr dr 的同心的同心细细圆环圆环,转动惯量与其厚度转动惯量与其厚度 l 无关。所以，实心圆柱对其轴的无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也转动惯量也是是2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律 一些均匀刚体的转动惯量表一些均匀刚体的转动惯量表2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？讨论：讨论：2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律例例题题4 4 一一轻轻绳绳跨跨过过一一定定滑滑轮轮，滑滑轮轮视视为为圆圆盘盘，绳绳的的两两端端分分别别悬悬有有质质量量为为m m1 1和和m m2 2的的物物体体1 1和和2 2，m m1 1 m m2 2 如如图图所所示示。设设滑滑轮轮的的质质量量为为m m ，半半径径为为r r，所所受受的的摩摩擦擦阻阻力力矩矩为为M M。绳绳与与滑滑轮轮之之间间无无相相对对滑滑动动。试试求求物物体体的的加加速速度度和和绳绳的的张力。张力。解解:用隔离体法受力分析用隔离体法受力分析对对对滑轮对滑轮2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律约束条件：约束条件：2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m m=0=0、M M=0=0时，有时，有 上上题题中中的的装装置置叫叫阿阿特特伍伍德德机机，是是一一种种可可用用来来测测量量重重力力加加速速度度g g的的简简单单装装置置。因因为为在在已已知知m m1 1、m m2 2 、r r和和J J的的情情况况下下，能能通通过过实实验验测测出出物物体体1 1和和2 2的的加加速速度度a a，再再通通过过加加速速度度把把g g算算出出来来。在在实实验验中中可可使使两两物物体体的的m m1 1和和m m2 2相相近近，从从而而使使它它们们的的加加速速度度a a和和速速度度v v都都较较小小，这样就能角精确地测出这样就能角精确地测出a a来。来。2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律例例题题5 5 一一半半径径为为R R，质质量量为为m m匀匀质质圆圆盘盘，平平放放在在粗粗糙糙的的水水平平桌桌面面上上。设设盘盘与与桌桌面面间间摩摩擦擦系系数数为为，令令圆圆盘盘最最初初以以角角速速度度 0 0绕绕通通过过中中心心且且垂垂直直盘盘面面的的轴轴旋旋转转，问它经过多少时间才停止转动？问它经过多少时间才停止转动？r rR Rd dr r d d e e解：思路：解：思路：元质量元质量dm=rd dre，所受到的阻力矩是，所受到的阻力矩是r dmg。想一想：质量元还有更简单的取法吗？想一想：质量元还有更简单的取法吗？dm=2rdre2-5 2-5 角动量及角动量定律角动量及角动量定律圆盘所受阻力矩圆盘所受阻力矩因因m=e R2，代入得，代入得rRdr d e