组合透镜成像计算.doc

-_§1.5§1.5、透镜成像、透镜成像1.1.薄透镜成像公式是：fu111式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。2.2.组合透镜成像组合透镜成像如果由焦距分别为和的A、B两片薄透镜1f2f构成一个透镜组（共主轴）将一个点光源S放在主轴上距透镜u处，在透镜另一侧距透镜v处成一像（图 1-5-4）所示。对这一成像结果，可以从以S下两个不同的角度来考虑。因为A、B都是薄透镜，所以互相靠拢地放在一起仍可看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是f，则应有fu111另一个考虑角度可认为是S经A、B两个透镜依次成像的结果。如S经SA后成像，设位于A右侧距A为处，应有1S1S111111 fu因为位于透镜 B 右侧处，对 B 为一虚物，物距为，再经 B 成像 1S11，所以A BSSuv图1-5-4-_11111 fu由、可解得21111 f比较、两式可知211111 ffu如果 A、B 中有凹透镜，只要取负的或代入即可。1f2f3.3.光学仪器的放大率光学仪器的放大率实像光学仪器的放大率实像光学仪器的放大率 幻灯下、照相机都是常见的实像光学仪器。由于此类仪器获得的是物体的实像，因而放大率m一般是指所有成实像的长度放大率，即v=mu。如果有一幻灯机，当幻灯片与银幕相距 2.5m时，可在银幕上得到放大率为 24 的像；若想得到放大率为 40 的像，那么，假设幻灯片不动，镜头和银幕应分别移动多少？根据第一次放映可知111111245 . 2uumu可解得 ，mu1 . 01m4 . 21muuf096. 01111第二次放映-_ 22222240111uumfu可解得 ，mu0984. 02m94. 32比较和，可知镜头缩回 1.6mm；比较和，可知银幕应移远 1.54m。1u2u12虚像光学仪器的放大率虚像光学仪器的放大率 望远镜和显微镜是常见的虚像光学仪器。由于此类仪器得到的是物体的虚像，目的是扩大观察的视角，因此放大率m一般是指视角放大率。如果直接观察物体的视角为 ，用仪器观察物体的视角为 ，那么m=/先看显微镜的放大率。如果有一台显微镜，物镜焦距为，1f目镜焦距为，镜筒长L，若最2f后的像成在离目镜d处，试证明显微镜的放大率。21ffLdm 显微镜的光路如图 1-5-5 所示，AB经物镜成一放大实像，物镜的长度放大率11BA11111 1BOOB ABBAm因、相对L都较小，而且B很靠近，所以1f2f1F，LOB11fBO 1即 11/ fLm dL AB2B1B2O2F1F1A2A1O图1-5-5-_位于目镜的焦点内，经目镜成一放大的虚像（通常让成在11BA22BA22BA观察者的明视距离d上） 。因为都是近轴光线，所以此时观察者从目镜中看到的视角 为22BA211211122tanfBA OBBA dBA若观察者不用显微镜，直接观看AB的视角 为dABtan则显微镜的放大率m21211 ffLd ABd fBAm不难看出目镜的长度放大率为22/ fdm 所以有 21mmm 下面再看天文望远镜的放大率，如果天文望远镜的物镜焦距为，目镜焦距为，试证1f2f明天文望远镜的放大率 。21/ ffm 望远镜成像光路如图 1-5-6 所示，远处物体AB由物镜成像，然后再由目镜在远11BA处成一虚像（图中未画出） ，观察者观察的视角即为图中的 ，22BA22BA。若不用望远镜，观察者直接观察距望远镜S远处的物体AB的视211/ fBA角，近似为图中的 211/fBASAB因此望远镜的放大率m为 AB1B1A1O2O sf1f2图1-5-6-_21111211 ff BAf fBAm4.4.常见的光学仪器常见的光学仪器投影仪器投影仪器 电影机、幻灯机、印相放大机以及绘图用的投影仪等，都属于投影仪器，它的主要部分是一个会聚的投影镜头，将画片成放大的实像于屏幕上，如图 1-5-7。由于物距u略大于焦距f，画片总在物方焦平面附近，像距 »f，放大率，它与像距v成正比。fm/一光学系统如图 1-5-8 所示，A为物平面，垂直于光轴，L为会聚透镜，M与光轴成 45°角的平面镜。P为像面，垂直于经平面镜反射后的光轴。设物为A面上的一个“上”字，试在图 1-5-9 中实像面P上画出像的形状。 眼睛眼睛 眼睛是一个相当复杂的天然光学仪器。从结构上看，类似于照像机，图 1-5-10 为眼球在水平方向的剖面图。其中布满视觉神经的网膜，相当于照像机中的感光底片，虹膜相当于照像机中的可变光阑，它中间的圆孔称为瞳孔。眼球中的晶状体是一个折射率不均匀的透镜，包在眼球外面的坚韧的膜，最前面的透明部分称为角膜，其余部分为巩膜。角膜与晶状体之间的部分称为前房，其中充满水状液。晶状体与网膜之间眼球的内腔，称为后ABC源光 P QRC镜光聚片画ABRQQP投影镜头 幕ufv图1-5-7ALMP图1-5-8AMPP图1-5-9后房玻璃状液 晶状体巩膜网膜 黄斑盲点F经神视NH HFHH角膜 虹膜 瞳孔前房水状液图1-5-10-_房，其中充满玻璃状液。所以，眼睛是一个物、像方介质折射率不等的例子。聚焦光无穷远时，物焦距f=17.1mm，像方焦距f=22.8。眼睛是通过改变晶状体的曲率（焦距）来调节聚焦的距离。眼睛肌肉完全松弛和最紧张时所能清楚看到的点，分别称为它调节范围的远点和近点。正常眼睛的远点在无穷远。近视眼的眼球过长，无穷远的物体成像在网膜之前，它的远点在有限远的位置。远视眼的眼球过短，无穷远的物体成像在网膜之后（虚物点） 。矫正近视眼和远视的眼镜应分别是凹透镜和凸透镜。所谓散光，是由于眼球在不同方向的平面内曲率不同引起的，它需要非球面透镜来矫正。视角、视角放大视角、视角放大 物体的两端对人眼光心所张的角度叫做视角，视角的大小跟物体的尺寸及物体到人眼的距离有关。当两物点（或同一物体上的两点）对人眼视角大小（约）时，才能被人眼区分。Imd4109 . 2在看小物体时，为了增大视角就要缩短物眼间距离，但当其小于人眼近点距离时，视网膜上所成的像反而模糊不清。为此，必须使用光学仪器来增大视角。图 1-5-11 是人眼（E）通过放大镜观察物体 AB 的像，当人眼靠近光BA心时视角。BOAB OBBABOA若物体很靠近焦点，且成像于明视距离，则：，cmOB25fBO fAB OBBAABE FOFAB图1-5-11ABE图1-5-12-_若不用放大镜将物体置于明视距离，如图 1-5-12，BE=25cm，则视角：cmABAEB25把用光学仪器观察虚像所得视角与将物体放在虚像位置上直接观察的视 角 的比值叫做光学仪器的视角放大率。用 表示视角放大率，即有 对于放大镜，有 。fcmcmABfAB 2525显微镜显微镜 图 1-5-13 是显微镜成像原理图。被观察物体AB置于物镜焦点外很靠近焦点处，1L（） ，成放大实像于目镜焦点内靠近焦11fu BA2L点处（） ，眼睛靠近目镜的光心可观察到位fu 22L于明视距离的虚像BA 显微镜的物镜视角放大率1111 fLLABfABLABLBA 未在图中画出。目镜放大率：12222225252525 fcmcmBAfBABABA 未在图中画出。显微镜的视角放大率：2212125 ffL 式中L是镜筒长度。由于«L，因此在计算放大率时用L代表物镜像距。2fL2LAA ABB B1L图1-5-13-_通常显微镜焦距很小，多为mm数量级，明镜焦距稍长，但一般也在 2cm以内。1f望远镜望远镜 望远镜用于观察大而远的物体，如图 1-5-14，图 1-5-15 分别表示开普勒望远镜和伽利略望远镜的光路图。两种望远镜都是用焦距较长的凸透镜做物镜。远处物体从同点发出的光线可近似为平行光，因此将在物镜的焦平面上成一实像。开普勒望远镜BA的目镜也是凸透镜，其焦距较短，物方焦平面和物镜的像方焦平面几乎重合。结果，以为物，在无穷远处得到虚像。而伽利略望远镜的目镜则是凹BABA 透镜，当它的物方焦平面（在右侧）与物镜的像方焦平面重合时，实像却BA成了虚物，经凹透镜折射成像于无穷远处。BA 由图中看出伽利略望远镜观察到的像是正立的，可用于观察地面物体，而开普勒望远镜观察到的像是倒立的，只适合作为天文望远镜。从图中的几何关系还可看出两种望远镜的视角放大率均为：21 ff还有一类望远镜的物镜是凹面镜，称为反射式望远镜。大型的天文望远镜ABB A A B1F2F图1-5-14ABB AA B1F2F图1-5-15-_都是反射式望远镜。例例 4 4、焦距均为f的二凸透镜、与两个1L2L圆形平面反射镜、1M放置如图 1-5-22。2M二透镜共轴，透镜的主轴与二平面镜垂直，并通过二平面镜的中心，四镜的直径相同，在主轴上有一点光源O。1、画出由光源向右的一条光线 OA（如图 1-5-22 所示）在此光学系统中的光路。2、分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置（O点除外）形成光源O的能看到的像，哪些是实像？哪些是虚像。3、现在用不透明板把和的下半部（包括透镜中心）都遮住，说出这些像有什么变化。1L2LAO1F1L1M2M2L1F2F2F2f 2f图1-5-23PQAO1F1L1M2M2L1F2F2F2fffffff 2f图1-5-22-_解解: : 1、光线OA的第一次往返光路如图 1-5-23 所示。当光线由图中左方返回经O点后，将继续向右下方进行，作第二次往返。第二次往返的光路在图中未画出，可按图中光路对称于主轴画出。以后，光线重复以上两种往返光路。2、向右发出的光线：处成实像，右方无限远处成虚像；处成实像；P2F1F处（左方处主轴上）成虚像。1M2f向左发出的光线：处成实像；左方无限远处成虚像；处成实像；Q处1F2F（右方处主轴上）成虚像。2M2f3、向右发出的光线只在处成实像。向左发出的光线只在处成实像。2F1F两像均比未遮住时暗。例例 5 5、一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它 2f处，垂直于主轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上（图1-5-24） 。（1）用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。（2）用计算法求出此像的位置和大小。分析分析: : 这道题实质是一个凸透镜与一紧密接合的平面镜的组合成像问题。虽H2fFF/图1-5-24HPAFSTA/P/L MQOS/F/图1-5-25-_然我们画不出光线经透镜折射后射向平面镜的光路，但光路仍然遵守凸透镜与平面镜成像规律，这是我们在具体分析光路时必须牢牢抓住的一点。成像的计算也是遵守凸透镜与平面镜的成像计算方法的。解解: : （1）用作图法求得物AP的像及所用各条光线的光路如图 1-5-PA25 所示。说明：说明：平凸透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜L和与它密接的平面镜M组合LM，如图 1-5-25 所示。图中O为L的光心，为主轴，F和为LFAO F的两个焦点，AP为物。作图时利用了下列三条特征光线：由P射向O的入射光线，它通过O后方向不变，沿原方向射向平面镜M，然后被M反射，反射光线与主光轴的夹角等于入射角，均为 。反射线射入透镜时通过光心O，故由透镜射出时方向与上述反射线相同，即图中的。PO 由P发出且通过L左方焦点F的入射光线PFR，它经过L折射后的出射线与主轴平行，垂直射向平面镜M，然后被M反射，反射光线平行于L的主轴，并向左射入L，经L折射后的出射线通过焦点F，即为图个中RFP。由P发出的平行于主轴的入射光线PQ，它经过L折射后的出射线将射向L的焦点，即沿图中的方向射向平面镜，然后被M反射，反射线指向与FFQ 对称的F点，即沿QF方向。此反射线经L折射后的出射线可用下法画出：F通过O作平行于QF辅助线，通过光心，其方向保持不变，与焦面相OSSOSS交于T点。由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点，故QF经L折射后的出射线也通过T点，图中的QT即为QF经L折射后的出射光线。上列三条出射光线的交点即为LM组合所成的P点的像，对应的即 AP A的像点。由图可判明，像是倒立实像，只要采取此三条光线中任意两条即PA-_可得，即为正确的答案。PA（2）按陆续成像计算物AP经LM组合所成像的位置、大小。物AP经透镜L成的像为第一像，取，由成像公式可得像距fu21，即像在平面镜后距离 2f处，像的大小与原物相同， 。f21HHH 第一像作为物经反射镜M成的像为第二像。第一像在反射镜M后 2f处，对M来说是虚物，成实像于M前 2f处。像的大小也与原物相同，H 。HHH 第二像作为物，再经透镜L而成的像为第三像。这是因为光线由L右方入射。且物（第二像）位于L左方，故为虚物，取物距 ，由透镜公式fu23可得像距fu111330333fufu上述结果表明，第三像，即本题所求的像的位置在透镜左方距离处，f32像的大小可由求得，即H 3133 uHHHHH31 31 像高为物高的 。31例例 6 6、如图 1-5-26 所示，凸透镜焦距f=15cm，OC=25cm，以C为圆心、r=5cm为半径的发光圆环与主轴共面。试求出该圆环通过透镜折射后所成的像。分析分析: : 先考虑发光圆环上任意一点P经透镜所成之像，当P点绕圆环一周时，对应的像点的集合就构成整个发光圆环CFOF图1-5-26-_通过透镜所成的像。因此可用解析几何的方法讨论本题。解解: : 如图 1-5-27 所示，以O点为直角坐标系原点建立坐标系xOy和。考虑发光圆环上任一点P（x，y） ，则有yOx 2225)25(yx发光点P（x，y）的像为，根据透镜成像公),(yxP式及放大率关系可有fxx111xx yy联立、式解得1515 xxx1515 xyy将、式代入式中并整理得1)35(15)45(2222 yx式即为所需求的圆环之像。这是一个对称中心位于光心 45cm处，以主光轴为长轴的椭圆。讨论讨论 如果把发光圆环用一球壳取代，则根据对称性，球壳的像是以圆环的像绕主轴旋转一周行成的一椭圆。点评点评 曲线形线状物通过透镜所成的像也是一定曲线状，至于是什么样的曲线，要视具体情况而定。例如本题中的发光圆环所成的像变为一椭圆环就是CFOFxPPxy,y图1-5-27-_一例。本题的关键是要建立恰当的物方和像方坐标系来球解问题。例例 7 7、照相机镜头 L 前 2.28m 处的物体被清晰地成像在镜头后面 12.0cm 处的最相胶片P上，两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图 1-3-29 所示。设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜，光线为近轴光线。1、求插入玻璃板后，像的新位置。2、如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变，若要求物体仍然清晰地成像于胶片上，则物体应放在何处？解解: : 解法 11、折射率为n，厚度为d 两面平行的玻璃板，对于会聚在像点的傍轴光束的折射作用可如下方法求出：如图 1-3-30，取任一指P向点的傍轴光线C，此光线经平行玻璃板折射的光路为CDE，在平板第PP P 一面的入射角i与折射角r均为小角度，反向延长E交D点处的法线于F，容易看出，DE为平P P P行四边形，则ibbDFPPtan/tan/ 平行板厚度d为 tan/bd 得 )tan/tan1 (idPP 因为i与r都很小，所以 nii/1sin/sintan/tanzzzzABLP12.0cm8.0cm0.90cm图1-3-29ri bEdDCFPP 图1-3-30-_故得 ndPP11以上结果对任何会聚于点的傍轴光线均成立，所以向轴上点会聚的傍P P轴光束经平行玻璃板折射后会聚于轴上点。在这种情形下，平行玻璃板的作P 用是使像点向远离平板方向移动距离，由题给数据得PP )(3 . 0)5 . 1/11 (9 . 0cmPP 故像成在镜头后面 12.0+0.3=12.3（cm）处。2、设照像机镜头焦距为f， 不放玻璃板时有1/228+1/2=1/f，可得 f=11.4cm。插入玻璃板时，若要像仍成在离镜头 12cm处的胶片上，应改变物距使不放玻璃板时成像在镜头后面v处，即v=12.0-0.3=11.7(cm)。设这时物距为u，则1/u+1/11.7=1/11.4，得 u4.45m。即：物体置于镜头前 4.45m时，插入玻璃板后，仍可在胶片上得到清晰的像。解法 21、对于玻璃板第一面上的折射，其物距为，cmAP9 . 80 . 10n5 . 1n根据公式 （见图 1-5-31）01/nnAPAP可得 )(35.13)0 . 1/5 . 1)(9 . 8(/01cmnnAPAPAp1p5 . 1n0 . 10n图1-5-31-_对于玻璃板第二面上的折射， （见图 1-3-32）其物距为cmABAPBP45.12)(11又根据 012/nnBPBP可得 )(3 . 8)45.12)(5 . 1/0 . 1()/(102cmBPnnBP故像成在镜头后面的像距为)(3 .123 . 89 . 01 . 3cm比原像向后移动v，即)(3 . 0123 .12cm2、设照像机镜头焦距为f，不插入玻璃板时，1/f=1/228+1/12，得 f=11.4cm。要使放上玻璃板后，像还成在离镜头 12cm处的胶片上，可采用个光路可逆性原理从已知像的位置，求此物体应在的位置。2P对于玻璃板第二面上的折射：已知：像距，设与之相应的物为，则可得cmBP8250. 1n0 . 10n1PcmBPnnBP12)/(201对于玻璃板第一面上的折射：已知：像距 ，设与之相应的物为P，则可cmAP9 .1215 . 1n0 . 10n得10)/(APnnAP5 . 1n0 . 10n1p2pB图1-5-32-_)(6 . 89 .12)5 . 1/0 . 1(cm对于凸透镜，像距为v=8.6+3.1=11.7(cm) ，则此时物距为u，则有1/u+1/11.7=1/11.4，u=4.45m。即物体应放在照相机镜头前 4.45m处，才能在胶片上得到清晰的像。例例 8 8、有两个焦距分别为和的凸透镜。如果把这两个透镜做适当的配afbf置，则可使一垂直于光轴的小物体在原位置成一等大、倒立的像，如图 1-5-33所示。试求出满足上述要求的配置方案中各透镜的位置。分析分析: : 首先，我们应根据题目给出的条件，分析得出物经透镜、所成像的1L2L虚、实与大小，从而得出光学系统的配置关系；然后再运用透镜成像公式求出光学系统中物、位置的具体距离与、的1L2Lafbf数量关系。解解: : 设光线由左向右，先后经过两个凸透镜而成像于题目所要求的位置。反回去考虑，光线经过第 2 个透镜后将继续向右传播，所以最后成的像必为虚像才能满足题设要求。由此判定，作为透镜 2 的“物”必在其左侧，物距小于透镜2u2 的焦距，并且是倒立的。再考虑到透镜 2 的“物”应该是透镜 1 对给定的2f傍轴物体所成的像（中间像） ，它只能是给定物的倒立实像，必然成像在透镜 1物L1L2像图1-5-29d+uuvd-vdO1O2L1L2图1-5-31-_的右侧。 （由于最后的像与原物同样大小，还可以肯定中间像一定是缩小的。 ）以上分析表明，光线系统的配置如图 1-5-28 所示。根据图上标明的两透镜位置和物距、像距，有1111 fu因最后像为虚像，则2111 fudd又因物、像大小相等，则 dduu由得duud 2代入并经过化简可得，212ffd 12212ffffu因题图中要求，故必须。由以上分析可知，要取焦距较小的0u12ff 透镜（即如，取透镜a，反则反之）作透镜，放在物右方距离u处，baff 1L而把焦距较大的透镜作为透镜放在透镜右方距离d处，就得到题所要求的2L1L配置方案。例例 9 9、焦距为 20cm的薄凸透镜和焦距为 18cm的薄凹透镜，应如何放置，才能使平行光通过组合透镜后成为1、平行光束；2、会聚光束；3、发散光束；（所有可能的情况均绘图表示） 。-_解解: : 设凸透镜主焦点为；凹透镜主焦点为。11,FF22,FF1、平行光束（1）凸透镜在前时，d=2cm，d为两透镜间距离（见图 1-5-34） 。-_（2）凹透镜在前时，d=2cm，根据光路可逆性原理，这相当于把前面的系统反过来。2、会聚光束。L1L2d 2cm18cmFF(共焦)图1-5-34L2L1dFF2图1-5-35F2F1L1L2图1-5-36F1F2 L2L1d图1-5-39L2L1dFF2图1-5-38F2F1L2L1图1-5-37-_（1）凸透镜在前时，20cmd2cm（图 1-5-35） 。（2）凹透镜在前时d2cm（图 1-5-36） 。3、发散光束（1）凸透镜在前时，d2cm（图 1-5-37）（2）凸透镜在前时，20cmd2cm（图 1-5-38）凹透镜在前时，20cmd2cm（图 1-5-39）1010、焦距 f 的数值均相同的三个薄透镜、与 ，依次为凸透镜、1L2L3L凹透镜与凸透镜，它们构成一个共轴光学系统，相邻透镜间的距离均为 d，各透镜的光心分别为，如图 1-5-40 所示，在透镜左方，位于主光轴上的321,OOO1L物点 P，经过此光学系统最终成像于透镜右方的 Q 点 若距离，3LQOPO22则物点 P 与透镜的距离应为多少？1L分析分析: : 此题按陆续成像考虑，一个一个透镜做下去也能得出式的解，但列式子时容易出错，不如考虑对称性的解法，有清晰的物理图像，Q2PP1L2L3L1O2O3Odd图1-5-40-_求解主动。此题的式的解也以用“P 经成像”的思路解出最为简明，但能这样1L2O想必须以“透镜成像时，若物距为零则像距也为零”作为已知结论才行。解解: :（1）该系统对凹透镜而言是一左右对称的光学系统。依题意，物点2LP 与像点 Q 处于对称的位置上，即对凹透镜而言，物点及经它成像后的像点2L应分居的两侧，且物距与像距相等。即2O2u222u1代入凹透镜的物像公式2Lfu111222解得 0222fu3物距与像距均为负值表明：物点 P 经透镜成像后，作为凹透镜的物点1L2L位于它的右侧，因而是虚物，经凹透镜成像于它的左侧，为一虚像，虚像2P2L点与虚像点的凹透镜位于对称位置（图 1-5-41）2P2Q2Ldf 214代入凸透镜的物像公式1Lfu111115解出dfdffu)2(1（2）由式，凹透镜的像距可表示为2L222 2 1uff fufuQ2PP1L2L3L1O2O3O 2Q图1-5-41Q 2PP1L2L3L1O2O3O dd2Q图1-5-42-_当物点由右向左逐渐趋近于时，即物距由负值逐渐增大而趋于零2P2O2u时，像距亦由负值逐渐增大趋于零，即像点由左向右亦趋近于。即22Q2O时，当时，即对凸透镜而言，像距，参02u0202u021Ld1见图 1-5-42，代入式fdu1111解得：fdfdu17此结果表明，当物点 P 经过透镜后恰成像于透镜的光心上，由系统1L2L2O的对称性，可知经透镜后，将成像于对称点 Q。像距数值为3L3fdfd 3由此可知式与式均为所求的解，但对式的结果，透镜间距 d 必须满足条件fd 8这也可以从另一角度来考虑，当 P 通过成像正好在的光心处时，它经1L2L过的像仍在原处，即 。这样也可得到上面的结果。2O022u例 11、一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜后 f=48cm 处，透镜的折射率 n=1.5。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm 处，求最后所成像的位置。分析分析: :平凸透镜的凸面镀银后将成为凹面镜，我们可根据平凸透镜平行光汇聚的几何关系求出凸球面的曲率半径 R，即求出凹面镜的焦距，根据平面折射成像及凹面镜成像的规律可进一步求出最后所成像的位置。-_解解: :（1）先求凸球面的曲率求径 R。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于 F 点，如图 1-5-43 所示，C 点为球面的球心，由正弦定理可得RCO )sin(sin irr RfR 1由折射定律知nri1 sinsin2当 i、r 很小时，rr sinirir )sin(由以上两式得ii sin11111nnn irr Rf 3所以 fnR) 1( 4（2）凸面镀银后将成为半径 R 的凹面镜，如图1-5-44 所示令 P 表示物所在的位置，P 点经平面折射成像于，根据折射定律可推出PPOnOP5由于这是一个薄透镜，与凹面镜的距离可认为等于，设反射后成像POP于，则由球面镜成像公式可得P ROPOP2116因此可解得，可知位于平面的左方，对平面折射来说，是一cmOP36P个虚物，经平面折射后，成实像于点。nOPOP1 7)(24 cmOP 8ir iir CE Of图1-5-4312cmCOPPPP 图1-5-44-_最后所成实像在透镜左方 24cm 处。例 12、在很高的圆柱形容器的上口平放一个焦距为 90mm 的凸透镜，在透镜下方中轴线上距透镜 100mm 处平放一个圆面形光源（如图 1-5-45）1、光源产生一个半径为 45mm 的实像，求此实像的位置。2、若往容器中注水，水面高于光源 10mm，求此像的位置。3、继续注水，注满容器但又恰好不碰上透镜。求此时像的大小。解:1、设 u,v,f 分别为物距、像距和焦距，由成像公式fu111得)/(fuuf代入 u=100mm,f=90mm，得mm900又从放大率公式知光源的半径 b 为mmbub5/2、注入水后，当水面高于光源 h(mm)时，由于水面的折射作用，使光源等效于上浮一段距离，等效光源在距水面处。设 i,r 分别为入射角和折射角，h则，（图 1-5-46） ，对近轴光线cot hihcot4/3/sin/tantan/tan/水nnihh故原来的物距 u 在注入水后变成等效物距u4/huhhuu图1-5-45hhi图1-5-46-_于是像距为fhufhufufuu4/4)/(本小题中，h=100mm,u=100mm，故得mm1170实像在透镜上方 1170mm 处。3、当水注满而又恰好不碰上透镜时，仍可用上面的公式，但此时h=100mm，mmhuu754等效光源已在焦距之内，此时像的半径为mmfubfubb30)/(/此时所成像是一半径为 30mm 的正立虚像，位于透镜下方。例 13、有一个由单个凸透镜构成的焦距为 12cm，暗箱的最大伸长为 20cm 的照相机，要用这个照相机拍摄距镜头 15cm 处的物体，需要在镜头上附加焦距为多少的一个薄透镜，使暗箱最大伸长时，像能清晰地呈现在底片上？（假设两个薄透镜紧贴着，其间距离可以忽略不计）分析：分析：这是一个组合透镜成像的问题，可以从两个不同角度来考虑求解。（1）依照成像先后顺序，物体经前一个透镜成的像视为后一透镜成像之物，重复运用透镜成像公式来求解；（2）把组合透镜视为一个透镜整体来处理，再根据组合透镜的总焦距与各分透镜之间的关系式来求解。解法一：解法一：将附加薄透镜加在镜头的前面，照相机镜头焦距为 12cm，暗箱最大伸长为 20cm，设它能拍摄的物体的最近距离为 u。以 f=12cm,v=20cm 代入透镜成像公式，可以求得 u。-_fu111cmfufu3012202012设附加镜头的焦距为，它的作用是使距镜头f 15cm 的物体成像在 30cm 处。以 u=15cm,v=-30cm 代入透镜成像公式，可以求得。f 111uf)(30)30(15)30(15cmuuf所以 ，是凸透镜，光路图如图 1-5-cmf3047 所示。图 1-5-47（a）表示附加薄透镜的作用是将距镜头 15cm 的物体在 30cm 处造成的虚像。图 1-5-47（b）表示以为物，经主透镜成像于镜后 20cmBABA处底板上成实像。图 1-5-47（c）表示附加透镜加在主透镜的前面，距透BA 镜 15cm 的物体 AB，其所发的光线经附加透镜和主透镜折射后在另一侧 20cm 处得一实像。BA 解法二：将附加薄透镜加在镜头后面。无附加透镜时，物距 u=15cm,焦距 f=12cm，像距为 v。由 fu111得 cmfufu6012151512cm15cm30cm30BOAAFBF附加薄透镜(a)12cm 30cm20cmABA B FF O主透镜(b)A BB A 附主15cm(C)图1-5-47-_设附加镜头的焦距为，上述像即附加透镜中的虚物，此时物距为f ，像距为 。cmu60cm20由 fu111 得 cmuuf30光路图如图 1-5-48 所示。图 1-5-48（a）表示距主透镜 15cm 的物体，在主透镜另一侧成一距透镜 60cm 的实像。图 1-5-48（b）表示附加透镜附于主透镜之后，光线BA因通过光心方向不变，由物体射出之光线，经主透镜折射后其中的光线再经附加透镜的折射，改变方向为光线因而成像于处。BA 图 1-5-48（c）表示距透镜 15cm 的物体，经主透镜、附加透镜折射后成像于另一侧 20cm处。解法三：照相机镜头焦距 f=12cm，附加薄凸透镜焦距为,相当于一个焦距为 F 的凸透镜，且有f ffF111因为，cmu15cm20Fu111所以 )(760 20152015cmuuFA BBA主透镜15cm(a)12cm12A B FF O1321附加薄透镜(b)A BB A 主附15cm(c)透镜图1-5-48-_把求得的 F 值代入式有f 1 1217601则即为所求附加薄透镜焦距。)(30 cmf 点评：透镜与透镜、透镜与平面镜、棱镜、球面镜等一个或多个光学元件构成一个光学系统的成像问题是一类典型的问题，对于这类问题，一方面要注意不同的光学元件各自的成像规律，另一方面要注意成像的先后顺序以及像与物的相对性。即前一光学元件的像视为后一光学元件之物。例 14、长度为 4mm 的物体 AB 由图 1-5-49 所示的光学系统成像，光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均示于图中。求：1、像的位置；2、像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。解解: : 解法 11、分析和等效处理根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为421arcsinnc注意到物长为 4mm，由光路可估算，进入棱镜的近轴光线在斜面上的入射角大多在 45º 左右，大于6cm10cm5cm6cmL1L2n=1.545f1f2f2=-10cmf1=-20cm BA图1-5-496cm10cm5cm6cmL1L2N=1.545图1-5-50-_临界角，发生全反射，所以对这些光线而言，棱镜斜面可看成是反射镜，本题光路可按反射镜成像的考虑方法，把光路“拉直” ，如图 4-3-34 的示。现在，问题转化为正立物体经过一块垂直于光轴、厚度为 6cm 的平玻璃板及其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。2、求像的位置厚平玻璃板将使的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像，它成为光学系统后面部分光路的物，故可称为侧移的物。利用沿光轴的光线和与光轴成角的光线来讨论a就可求出这个移动的距离。设轴上物点为 B，由于厚度平玻璃板的作用而形成的像点（即侧像的物点）为（图 1-5-B51） 。画出厚平玻璃板对光线的折射，由图可知)(cotdl 而 )tan(tan Dd所以 tantan1Dl当为小角度时an1 sinsin tantan 故得cmnDl211这也就是物 AB 与它通过厚平玻璃板所成的像之间的距离。这个像对透镜来说就是物，而物距1LBddDlB图1-5-51-_cmcmu20106)26(1可见，物证好在 的左方焦平面上，像距即为1再考虑透镜，这是平行光线入射情况2L2u所以必成像于这个发散透镜左侧焦平面上（虚像） 。2Lcmf1022整个光路的最后成像位置就是在 的左侧 10cm 处。3、求像的大小和虚、实、正、倒情况可用作图法求解，如图 1-5-52 所示（为了图示清楚，图中把物高加大了） 。连接并延长，便得到发自的光线1OA A经后的平行光线的方向。过的光心A2L作的平行线，它与交于 C 点，则1O1OA1L即为从出发经过折射又通过光心CAA1L2L的光线。反向延长与左侧焦面的交点就是由经所成的像点。CO22LA A1L2L令左侧焦面与光轴的焦点为，就是的像。这是一个正立的虚像。2LB BA BA由图可得tan2fBA tan1fBA而 与 AB 等高，所以像的大小为BAmmBAffBA212 AA B B1O2O1L2L1f2fC图1-5-52-_解法 2关于物体经棱镜（折射、反射、再折射）后，所成像的位置及大小可采用视深法处理。如图 1-5-53 所示，AB 发出的与 PQ 面近乎垂直的小光束经 PQ 面折射后成像于这是视深问题，与 PQ11BA11,BA面的距离均为 A，B 与 PQ 面的距离的 n 倍，即BCnBC111，（像与物的大不相同）ABBA11经 PQ 面的折射成像于，大小不变，且11BA22BABCnPCBCCCBCBC1111121222经 PQ 面的折射成像于，大小不变，且22BABA222323311BCCCnBCnBCBCnPCQCn1111BCPQn11cmcm1065 . 1 6由此即可求出这个像作为透镜的物距。其它部分的求解同解法 1。BA