最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编7立体几何.doc
#* 最新最新 2013 届天津高三数学理科试题精选分类汇编届天津高三数学理科试题精选分类汇编 7：立体几何：立体几何 一、选择题1. （天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查理科数学）已知正四棱柱 ABCDA1B1ClD1中，AA1=2AB，E 是 AA1的中点，则异面直线 DC1与 BE 所成角的余弦值为（ ）A1 5B10 10C3 10 10D3 52. （天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则它的体积是（ ）ABCD28383822 33. （天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题）几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A22 3B42 3 C2 323D2 3434. （天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且2SC ，则此棱锥的体 积为（ ）#*A2 6B3 6C2 3D2 25. （天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）设ba,是两条直线，,是两个平面，则ba 的一个充分条件是（ ）A,/,baB/,ba C/,baD,/,ba6. （天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）如图，E、F 分别是三棱锥 P-ABC 的棱AP、BC 的中点，PC=10，AB=6，EF=7，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为（ ）（ ） A90°B60°C45°D30°二、填空题7. （天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_. 正视图俯视图1.51.52232222侧视图第 10 题图#*8. （天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题（WORD 版） ）一个几何体的三视图如上图所示,且其侧视图为正三角形,则这个几何体的体积为 .9. （天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷）一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为_.10. （2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为_11. （天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学）如图为一个几何体的三视图，其中俯视为正三角形，A1B1= =2,AA1=4，则该几何体的表面积为_。#*12. （天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学（理）试题）右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积大小为_.12 正视图正视图12 侧视图侧视图22 俯视图俯视图13. （天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题）已知直线 m,n 与平面 ,给出下列三个命题:若 m,n,则 mn; 若 m,n,则 nm; 若 m,m,则 . 其中真命题的个数是_个14. （天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_.15. （天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是_cm3.#*16. （天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_；三、解答题17. （天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）如图,四棱柱1111DCBAABCD 的底面ABCD是平行四边形,且1AB,2BC,060ABC,E为BC的中点, 1AA平面ABCD.()证明:平面AEA1平面DEA1;()若EADE1,试求异面直线AE与DA1所成角的余弦值;()在()的条件下,试求二面角1-C AD E的余弦值.#*ABCDE1A1B 1C1D18. （天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题（WORD 版） ）如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1中ACB=90°,M,N 分别为 A1B,B1C1的中点,BC=AA1=2AC=2,求证: (1)求三棱柱 C1-A1CB 的体积; (2)求直线 A1C 与直线 MB1所成角的余弦值; (3)求平面 B1MN 与平面 A1CB 所成锐二面角的余弦值.19. （天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,ABDC,底面 ABCD,PADAB,90且 PA=AD=DC=AB=1,M 是 PB 的中点.21()证明:面 PAD面 PCD;()求 AC 与 PB 所成角的余弦值;()求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值.#*20. （天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷）如图,已知四棱锥 E-ABCD 的底面为菱形,且ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=2(1)求证:平面 EAB平面 ABCD (2)求二面角 A-EC-D 的余弦值21. （2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理） ）.在长方体中，为中点.（）证明：1111ABCDABC D1ABBC12AA E1BB；（）求与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，1ACD EDE1AD EADP使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.BP1AD EDPD1C1B1A1EDCBA22. （天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科数学试题）(本小题满分 13 分)在如图所示的多面体中，EF平面 AEB，AEEB，AD/EF，EF/BCBC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G 为 BC 的中点。#*(1)求证：AB/平面 DEG；(2)求证：BDEG；(3)求二面角 CDFE 的正弦值。23. （天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学（理）试题）如图在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD底面ABCD,且2 2PAPDAD,设E、F分别为PC、BD的中点.() 求证:EF /平面PAD;() 求证:面PAB平面PDC; () 求二面角BPDC的正切值.FEDCBAP#*24. （天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题）如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为直角梯 ABCD,ADBC,BAD=90O,PA底面 ABCD,且 PA=AD=AB=2BC,M,N 分别为 PC,PB 的中点.(1) 求证:PBDM;(2)求 CD 与平面 ADMN 所成角的正弦值;(3)在棱 PD 上是否存在点 E,PEED=,使 得二面角 C-AN-E 的平面角为 60o.存在求出 值.25. （天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题）在四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,ABCD,90ABC=, 2ABPBPCBCCD=,平面PBC平面ABCD. (1)求证:AB平面PBC; (2)求平面PAD和平面BCP所成二面角(小于90°)的大小;(3)在棱PB上是否存在点M使得CM平面PAD?若存在,求PM PB的值;若不存在,请说明理由. #*PABCD26. （天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）如图，在四棱锥ABCDP 中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，DCPD ，E是PC的中点，作PBEF 交 PB于点F（1）证明:/PA平面EDB.（2）证明:PB平面EFD.（3）求二面角DPBC的大小.27. （天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分 13 分）在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AB/CD，90=ABC，AB=PB=PC=BC=2CD，平面 PBC平面 ABCD.（1）求证：AB平面 PBC；（2）求平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小；（3）在棱 PB 上是否存在点 M 使得 CM/平面 PAD？若存在，求PBPM的值；若不存在，请说明理由.#*#*最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 7：立体几何参考答案一、选择题1. B2. A 3. 【答案】C 解:由三视图可知,该几何体下面是半径为 1,高为 2 的圆柱.上面是正四棱锥.真四棱锥的高为2213 ,底面边长为2,所以四棱锥的体积为212 3( 2)333,圆柱的体积为2,所以该几何体的体积为2 323,选 C. 4. 【答案】A【解析】因为ABC为边长为 1 的正三角形，且球半径为 1，所以四面体OABC为正四面体，所以ABC的外接圆的半径为3 3，所以点 O 到面ABC的距离2361 ()33d ,所以三棱锥的高2 623SFOE,所以三棱锥的体积为1132 62 32236，选 A. 5. 【答案】C【解析】若b，/ /，所以b，又a，所以ba，即ab，所以选C.6. 【答案】B#*【解析】,取AC 的中点M,连结EM,MF，因为E,F 是中点，所以16/ /,322MFAB MFAB,110/ /,522MEPC MEPC,所以MF 与ME 所成的角即为AB 与 PC 所成的角。在三角形 MEF 中，222537151cos2 5 3302EMF ，所以120EMF,所以直线 AB 与 PC 所成的角为为60，选 B.二、填空题7. 3108 ; 8. 63 3349. 2124810. ， 23211. 【答案】2 324【解析】由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面边长为 2，高是 4.所以该三棱柱的表面积为213223 2 42 32422 。12. 【答案】由三视图可知，该几何体时一个边长为 2，2,1 的长方体挖去一个半径为 1 的243半球。所以长方体的体积为，半球的体积为，所以该几何体的体积2 2 14 142 233为。24313. 【答案】2 解:平行于同一平面的两直线不一定平行,所以错误.根据线面垂直的性质可知正确. 根据面面垂直的性质和判断定理可知正确,所以真命题的个数是 2 个. #*14. 【答案】3 解:由三视图我们可知原几何体是一个圆柱体的一部分,并且有正视图知是一个1 2的圆柱体,底面圆的半径为 1,圆柱体的高为 6,则知所求几何体体积为原体积的一半为3. 15. 【答案】3 2【解析】由三视图可知，该几何体为一个放到的四棱柱，以梯形为低，所以梯形面积为1 (12)3 22，四棱柱的高为1，所以该几何体的体积为32。16. 【答案】80解：解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体四棱锥的高 3，正方体棱长为 4,所以正方体的体积为3464.四棱锥的体积为14 4 3163 ，所以该组合体的体积之和为64 1680. 三、解答题17.解()依题意,CDABBCECBE21所以ABE是正三角形,060AEB 又00030)120180(21CED 所以090AED,AEDE 因为1AA平面ABCD,DE平面ABCD,所以DEAA 1#*因为AAEAA1,所以DE平面AEA1 因为DE平面DEA1,所以平面AEA1平面 DEA1 ()取1BB的中点F,连接EF、AF ,连接CB1,则DACBEF11/ 所以AEF是异面直线AE与DA1所成的角 因为3DE,22 11AEAAEA, 所以21AA ,22BF,26121 EFAF 所以66 2cos222 EFAEAFEFAEAEF ()()解法 2:以A为原点,过A且垂直于BC的直线为x轴,AD所在直线为y轴、1AA所在直线为z建立右手系空间直角坐标系 设aAA 1(0a),)0 , 0 , 0(A 则)0 , 2 , 0(D) , 0 , 0(1aA)0 , 21, 23(E ()设平面AEA1的一个法向量为) , , (1pnmn , 则 0021 23111apAAnnmAEn0p,取1m,则3n,从而)0 , 3 , 1 (1n, 同理可得平面DEA1的一个法向量为)2, 1 , 3(2an , 直接计算知021nn,所以平面AEA1平面DEA1 ()由EADE1即22222)21()23(0)212()23(a 解得2a #*)0 , 21, 23(AE,)2 , 2 , 0(1DA 所以异面直线AE与DA1所成角的余弦值 66|cos11 DAAEDAAE ()由()可知21AA,平面DEA1的一个法向量为2( 3 , 1 , 2)n 又3 1= -,022CD ,)2 , 2 , 0(1DA设平面1CAD的法向量3=, ,nx y z 则133=0=0AD nCD n 得3= 1, 3, 6n 设二面角1-C AD E的平面角为,且为锐角 则23 2323cos = cos,=nnn n nn 4 32 5=5106所以二面角1-C AD E的余弦值为2 5 518.解: (1)32V -4 (2)55-8 (3)53-13 19. #*20.解:(1)证明:取 AB 的中点 O,连接 EO,CO ,2EBAEAEB 为等腰直角三角形 EOAB,EO=1 又AB=BC,ABC=60°,ABC 是等边三角形, 3CO,又COEOCOEOECEC, 2222EO平面 ABCD,又 EO平面 EAB,平面 EAB平面 ABCD (2)以 AB 的中点 O 为坐标原点,OB 所在直线为 y 轴,OE 所在直线为 z 轴,如图建系则) 1 , 0 , 0(),0 , 2, 3(),0 , 0 , 3(),0 , 1, 0(EDCA,) 1, 0 , 3(),0 , 1 , 3(ECAC,DC=(0,2,0) #*设平面 DCE 的法向量为) 1 ,(yxn ,则 00nDCnEC,即 02013 yx,解得: 01 , 0 ,33,33ynx同理求得平面 EAC 的一个法向量为 1 , 1,33m 772,cos mnmnmn,所以二面角 A-EC-D 的余弦值为77221. （）证明：连接是长方体，平面BD1111ABCDABC D1D D ， 又平面 1 分 ABCDAC ABCD1D DAC在长方形中， 2 分ABCDABBCBDAC又平面， 3 分 1BDD DDAC 11BB D D而平面4 分1D E 11BB D D1ACD E（）如图建立空间直角坐标系，则Dxyz,5 分1(1,0,0),(0,0,2),(1,1,1), (1,1,0)ADEB1(0,1,1),( 1,0,2),(1,1,1)AEADDE 设平面的法向量为，则令，则1AD E( , , )nx y z100n ADn AE A A20 0xz yz 1z zyxD1C1B1A1EDCBA#*7 分8 分(2, 1,1)n 2 1 12cos,336n DEn DE n DE A A所以 与平面所成角的正弦值为9 分DE1AD E2 3（）假设在棱上存在一点，使得平面.ADPBP1AD E设的坐标为，则因为 平面P( ,0,0) (01)tt (1, 1,0)BPt BP1AD E所以 ， 即， ，解得， 12 分BPn 0BP n A2(1) 10t 1 2t 所以 在棱上存在一点，使得平面,此时的长.13 分ADPBP1AD EDP1 222. #*MFEDCBAP23.法一:()证明:ABCD为平行四边形 连结ACBDF,F为AC中点, E为PC中点在CPA中EF/PA 且PA平面PAD,EF 平面PAD PADEF平面/()证明:因为面PAD面ABCD 平面PAD面ABCDAD ABCD为正方形,CDAD,CD 平面ABCD 所以CD 平面PAD CDPA 又2 2PAPDAD,所以PAD是等腰直角三角形, 且2PAD 即PAPD CDPDD,且CD、PD面ABCD PA 面PDC 又PA面PAB 面PAB 面PDC () 【解】:设PD的中点为M,连结EM,MF, 则EMPD由()知EF 面PDC, #*zyxO FEDCBAPEFPD,PD 面EFM,PDMF, EMF是二面角BPDC的平面角 Rt FEM中,12 24EFPAa 11 22EMCDa 2 24tan12 2aEFEMFEMa 故所求二面角的正切值为2 2法二:如图,取AD的中点O, 连结OP,OF. PAPD, POAD. 侧面PAD底面ABCD, PADABCDAD平面平面, POABCD 平面, 而,O F分别为,AD BD的中点,/OFAB, 又ABCD是正方形,故OFAD. 2 2PAPDAD,PAPD,2aOPOA. 以O为原点,直线,OA OF OP为, ,x y z轴建立空间直线坐标系, 则有(,0,0)2aA,(0,0)2aF,(,0,0)2aD ,(0,0,)2aP,(, ,0)2aBa,(, ,0)2aCa. E为PC的中点, (,)4 2 4a a aE ()证明:易知平面PAD的法向量为(0,0)2aOF 而(,0,)44aaEF , 且(0,0) (,0,)0244aaaOF EF , EF /平面PAD ()证明:( ,0,)22aaPA ,(0, ,0)CDa (,0,) (0, ,0)022aaPA CDa , PACD ,从而PACD,又PAPD,PDCDD, PAPDC 平面,而PAPAB 平面, 平面PAB平面PDC () 【解】:由()知平面PDC的法向量为(,0,)22aaPA . #*设平面PBD的法向量为( , , )nx y z .(,0,),(, ,0)22aaDPBDa a , 由0,0n DPn BD 可得0022 00aaxyza xa yz ,令1x ,则1,1yz , 故(1,1, 1)n 6cos,3232n PAan PA n PAa , 即二面角BPDC的余弦值为6 3, 所以二面角BPDC的正切值为2 224.解:(1)如图以 A 为原点建立空间直角坐标系 A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,1,0),D(0,2,0) M(1,1 2,1),N(1,0,1), E(0,m,2-m),P(0,0,2) PB (2,0,-2),DM (1,-3 2,1) PB DM =0 PBDM (2)CD =(-2,1,0)平面 ADMN 法向量n =(x,y,z) AD =(0,2,0) AN =(1,0,1) 00n ADn AN 200yxz n =(1,0,-1) 设 CD 与平面 ADMN 所成角 ,则|210sin5| |52CD n CDn (3)设平面 ACN 法向量p =(x,y,z)(2,1,0)(1,0,1)ACAN p =(1,-2,-1) 平面 AEN 的法向量q =(x,y,z)(1,0,1)(0,2)ANAEmm q =(1,2m m,-1) #*|cos45| |p q pq 24221 2262()m m m m ,2232(2)| 44|mmm 即2720400,2 2mmmm=106 2 7PE:ED=(32-4):2不存在,为 135°钝角 25. ()证明:因为 90ABCÐ=°, 所以 ABBC 因为 平面PBC 平面ABCD,平面PBC 平面ABCDBC=, ABÌ平面ABCD, 所以 AB 平面PBC ()解:取BC的中点O,连接PO. 因为PBPC=, 所以 POBC. 因为 平面PBC 平面ABCD,平面PBC 平面ABCDBC=,POÌ平面PBC, 所以 PO 平面ABCD 如图,以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直 线为y轴,OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设2BC =.由 直角梯形ABCD中2ABPBPCBCCD=可得(0,0, 3)P,( 1,1,0)D -, (1,2,0)A.所以 (1,1, 3)DP =- ,(2,1,0)DA= . 设平面PAD的法向量( , , )= x y zm. 因为 0,0.DPDAìï×=ïíï×=ïî mm所以 ( , , ) (1,1, 3)0,( , , ) (2,1,0)0,x y zx y zìï× -=ïíï×=ï î即30,20.xyzxyìï-+=ïíï+=ï î令1x=,则2, 3yz= -= -. 所以 (1,2,3)=-m OzyxPABCD#*取平面BCP的一个法向量n0,1,0. 所以 2cos,2 m nm nm n. 所以 平面ADP和平面BCP所成的二面角(小于90°)的大小为4. ()解:在棱PB上存在点M使得CM平面PAD,此时1 2PM PB=. 理由如下: 取AB的中点N,连接CM,CN,MN. 则 MNPA,1 2ANAB=. 因为 2ABCD=, 所以 ANCD=. 因为 ABCD, 所以 四边形ANCD是平行四边形. 所以 CNAD. 因为 , MNCNN PAADA=, 所以 平面MNC平面PAD 因为 CM Ì平面MNC, 所以 CM平面PAD 26.解：（1）证明：连接AC与BD交于M，ABCD为正方形，M为AC中点.E为PC中点，/ /EMPA又EM 平面EDB，PA平面EDBPA/平面EDB （2）,PDDC E为PC中点，DEPC ABCD为正方形，BCCD又PD 平面ABCD，BC 平面ABCD BCPD 又PDCD、是平面PCD内的两条相交直线，即BC 平面PCD，又DE 平面PCD，所以DEBCNMPABCD#*27.解：（1）证明：因为o90ABC，所以 ABBC因为平面 PBC平面 ABCD，平面 PBC平面 ABCD=BC，AB平面 ABCD，所以 AB平面 PBC.（2）如图，取 BC 的中点 O，连接 PO，因为 PB=PC，所以 POBC.因为 PB=PC，所以 POBC，因为平面 PBC平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD.以 O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴，在平面 ABCD 内过 O 垂直于 BC 的直线为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.不妨设 BC=2.由 AB=PB=PC=BC=2CD 得，)0 , 2 , 1 (),0 , 1 , 1(),3, 0 , 0(ADP.所以)0 , 1 , 2(),3, 1, 1 (DADP，设平面 PAD 的法向量为),(zyxm .#*因为 00DAmDPm，所以 0203 yxzyx令1x，则3, 2zy.所以)3, 2 , 1(m.取平面 BCP 的一个法向量)0 , 1 , 0(n，所以22|,cos nmnmnm所以平面 ADP 与平面 BCP 所成的锐二面角的大小为4（3）在棱 PB 上存在点 M 使得 CM/平面 PAD，此时21PBPM.取 AB 的中点 N，连接CM，CN，MN，则 MN/PA，AN=21AB.因为 AB=2CD，所以 AN=CD，因为 AB/CD，所以四边形 ANCD 是平行四边形，所以 CN/AD.因为 MNCN=N，PAAD=A，所以平面 MNC/平面 PAD.因为 CM平面 MNC，所以 CM/平面 PAD.
