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一、求积分的基本方法一、求积分的基本方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数微分法二、多元函数微分法微积分II总复习三、二重积分的计算三、二重积分的计算四、级数的敛散性与求和四、级数的敛散性与求和五、求解微分方程五、求解微分方程2010级20110607一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法 第六六章 一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法换元积分法 第一类换元法第一类换元法 第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:)机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.分部积分法分部积分法使用原则:1)由易求出 v;2)比好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为计算格式:列表计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 多次分部积分的多次分部积分的 规规 律律机动 目录 上页 下页 返回 结束 快速计算表格:特别特别:当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便.例例1.求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:例例3.求解解:原式分部积分抵消机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设解解:令求积分即而机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求解解:取机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:此法特别适用于如下类型的积分:例例7.设证证:证明递推公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求解解:设则因连续,得记作得利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.设 解解:为的原函数,且求由题设则故即,因此故又机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.需要注意的问题需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,例例10 求解解:令则原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11 求解解:令比较同类项系数,故 原式说明说明:此技巧适用于形为的积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12.解解：因为及机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.求不定积分解解:原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第七七章 一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 求解解:因为时,所以利用夹逼准则得例例2 估计下列积分值解解:因为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 证明证证:令则令得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何例例5 解：解：且由方程确定 y 是 x 的函数,求方程两端对 x 求导,得令 x=1,得再对 y 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例例6求可微函数 f(x)使满足解解:等式两边对 x 求导,得不妨设 f(x)0,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意 f(0)=0,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 求多项式 f(x)使它满足方程解解:令则代入原方程得两边求导:可见 f(x)应为二次多项式,设代入 式比较同次幂系数,得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 再求导:二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考思考:下列作法是否正确?机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 求解解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9 求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10 选择一个常数 c,使解解:令则因为被积函数为奇函数,故选择 c 使即可使原式为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11 设解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12 若解解:令试证:则机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为对右端第二个积分令综上所述机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13 证明恒等式证证:令则因此又故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例14 试证使分析分析:要证即故作辅助函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点证明证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知,存在一点思考思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示提示:设辅助函数 例15 目录 上页 下页 返回 结束 例例15 设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内 f(x)0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使(03考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:(1)由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即(3)因 在a,上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例16 设证证:设且试证:则故 F(x)单调不减,即(*)成立.(*)机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定积分的几何应用定积分的几何应用平面图形面积、旋转体体积2.基本方法基本方法:微元分析法机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用 第七七章 例例1 求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与 x,y 轴的交点分别为所指面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 且为最小点.故所求切线为得 0,1 上的唯一驻点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解:(1)由方程得面积为 2,体积最小?即故得机动 目录 上页 下页 返回 结束 又(2)旋转体体积又为唯一极小点,因此时 V 取最小值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法多元函数微分法一、一、基本概念基本概念连续性 偏导数存在可微性1.多元函数的定义、极限、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 已知求出 的表达式.解法解法1 令即解法解法2 以下与解法1 相同.则且机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 设其中 f 与F分别具解法解法1 方程两边对 x 求导,得有一阶导数或偏导数,求(99 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 方程两边求微分,得化简消去 即可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 设有二阶连续偏导数,且求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题1、设函数 f 二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、设求提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解出 du,dv：机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入即得 代入即得 有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数答案答案:(2001考研）机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.设三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题 最小二乘法机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：解：设为抛物面上任一点，则 P 的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 到平面令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、二重积分计算的基本方法二重积分计算的基本方法 二、二重积分计算的基本技巧二、二重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八章 二重积分的计算及应用 一、二重积分的累次积分法一、二重积分的累次积分法1.选择合适的坐标系使积分域成为由平面曲线围成的区域;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、计算二重积分其中D 为圆周所围成的闭区域.提示提示:利用极坐标原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习2、计算积分其中D 由所围成.提示提示:如图所示连续,所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分计算的基本技巧二、二重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、证明:提示提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题例例1 计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解解:(1)利用对称性.围成.机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)积分域如图:将D 分为添加辅助线利用对称性,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 计算二重积分在第一象限部分.解解:(1)两部分,则其中D 为圆域把与D 分成作辅助线机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)提示提示:两部分 说明说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.作辅助线将D 分成机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 如图所示交换下列二次积分的顺序:解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的应用三、二重积分的应用1.几何方面面积(平面域)证明某些结论等 2.其它方面机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 证明证证:左端=右端机动 目录 上页 下页 返回 结束 级数的收敛、求和与展开级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和级数展开法四、函数的幂级数和级数展开法一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 第十章 求和展开(在收敛域内进行)基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.时为数项级数;时为幂级数;机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法判别法:若且则交错级数收敛,概念概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 若级数均收敛,且证明级数收敛.证证:则由题设收敛收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、判别下列级数的敛散性:提示提示:(1)据比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数因 n 充分大时原级数发散.用比值判别法可知:时收敛;时,与 p 级数比较可知时收敛;时发散.再由比较法可知原级数收敛.时发散.发散,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、设正项级数和也收敛.提示提示:因存在 N 0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当n N 时机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示提示:对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,收敛,级数发散.例如,取机动 目录 上页 下页 返回 结束 4、讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示提示:(1)P 1 时,绝对收敛;0 p 1 时,条件收敛;p0 时,发散.(2)因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛.故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因单调递减,且但所以原级数仅条件收敛.由Leibniz判别法知级数收敛;机动 目录 上页 下页 返回 结束 因所以原级数绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.求下列级数的敛散区间:练习练习:机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:当因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.故收敛区间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 解解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在 原级数=其收敛半径注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等 初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）数项级数 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 求幂级数法法1 易求出级数的收敛域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法2先求出收敛区间则设和函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:解解:(1)显然 x=0 时上式也正确,故和函数为而在x0求下列幂级数的和函数：级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然 x=0 时,和为 0;根据和函数的连续性,有x=1 时,级数也收敛.即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:解解:原式=的和.求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、函数的幂级数和级数展开法四、函数的幂级数和级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1.将函数展开成 x 的幂级数.利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.函数的幂级数展开法2.设,将 f(x)展开成x 的幂级数,的和.(01考研)解解:于是并求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题解法及应用 第九章 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解 关键关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解(1)变量代换法 代换自变量自变量代换因变量因变量代换某组合式某组合式(2)积分因子法 选积分因子,解全微分方程四个标准类型:可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求下列方程的通解提示提示:(1)故为分离变量方程:通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法方法 1 这是一个齐次方程.方法方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 求下列方程的通解:提示提示:(1)令 u=x y,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 y=u t(齐次方程)令 t=x 1,则可分离变量方程求解化方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(03考研)(2)求出F(x)的表达式.解解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是 练习题练习题:1、求以为通解的微分方程.提示提示:消去 C 得2、求下列微分方程的通解(只考虑方法及步骤):提示提示:令 u=x y,化成可分离变量方程:提示提示:这是一阶线性方程,其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:可化为关于 x 的一阶线性方程提示提示:为全微分方程,通解微分倒推公式微分倒推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 原方程化为,即则故原方程通解提示提示:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.关键问题是正确建立数学模型,要点:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:能否根据草图列方程?练习题练习题:1、已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示提示:设曲线上的动点为 M(x,y),令 X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、微分方程的应用二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第九章 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 1.可降阶可降阶微分方程的解法微分方程的解法 降阶法降阶法令令逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、求以为通解的微分方程.提示提示:由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为2、求下列微分方程的通解提示提示:(1)令则方程变为机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思思 考考若(2)中非齐次项改为提示提示:原方程通解为特解设法有何变化?机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、求解提示提示:令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考思考若问题改为求解则求解过程中得问开方时正负号如何确定正负号如何确定?机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征根:例例1 求微分方程提示提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解:代入方程定 A,B,得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 且满足方程提示提示:则问题化为解初值问题:最后求得机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:设提示提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的解.例例3.设函数内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)试将 xx(y)所满足的微分方程 变换为 yy(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件 数,且解解:上式两端对 x 求导,得:(1)由反函数的导数公式知(03考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原微分方程得 (2)方程的对应齐次方程的通解为 设的特解为 代入得 A0,从而得的通解:题 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件 得故所求初值问题的解为 补充题补充题 有特而对应齐次方程有解微分方程的通解.解解:故所给二阶非齐次方程为方程化为1.设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故再积分得通解复习:一阶线性微分方程通解公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.(1)验证函数满足微分方程(2)利用(1)的结果求幂级数的和.解解:(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束(02考研考研)所以(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程:特征根:齐次方程通解为设非齐次方程特解为代入原方程得故非齐次方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入初始条件可得故所求级数的和机动 目录 上页 下页 返回 结束