定积分的应用(体积、旋转体的侧面积).ppt

1例例1.求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.解解:2例例2.计算心形线与圆所围图形的面积.解解:利用对称性,所求面积3例例3.求双纽线所围图形面积.解解:利用对称性,则所求面积为思考思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.答案答案:二、体积二、体积7特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有8例例2计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解:方法方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)9方法方法2 利用椭圆参数方程则特别当b=a 时,就得半径为a 的球体的体积14例例5.计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积.解解:绕 x 轴旋转而成的体积为利用对称性利用对称性15绕 y 轴旋转而成的体积为注意上下限!注注17柱壳体积说明说明:柱面面积18偶函数奇奇函数21例例7 设在 x0 时为连续的非负函数,且 形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积,证明:证证:利用柱壳法则故22设平面图形 A 由与所确定,求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积.提示：提示：选 x 为积分变量.旋转体的体积为例例8.若选 y 为积分变量,则 23设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:24侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 注意注意:侧面积为25例例9.计算圆x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S.解解:对曲线弧应用公式得当球台高 h2R 时,得球的表面积公式26例例10.求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S.解解:利用对称性绕 x 轴旋转 作作 业业 习习 题题 九九（P199P199）6 6；9 9；12 12；13 13；15 15；