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习题课一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分 第二章 一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 导数导数:当时,为右导数当时,为左导数 微分微分:关系关系:可导可微 应用应用:(1)利用导数定义解决的问题 (3)微分在近似计算与误差估计中的应用(2)用导数定义求极限1)推出三个最基本的导数公式及求导法则其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2)求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题.例例1.1.设存在,求解解:原式=例例2.2.若且存在,求解解:原式=且联想到凑导数的定义式例例3.3.设在处连续,且求解解:思考题思考题例例4.4.设试确定常数 a,b 使 f(x)处处可导,并求解解:得即是否为连续函数?判别判别:二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则 2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法(3)参数方程求导法极坐标方程求导(4)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)转化转化(5)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;利用莱布尼兹公式.例例6.6.设其中可微,解解:例例7.7.且存在,问怎样选择可使下述函数在处有二阶导数.解解:由题设存在,因此1)利用在连续,即得2)利用而得3)利用而得例例8.8.设由方程确定函数求解解:方程组两边对 t 求导,得故例例11 设设，求求 解：令解：令，那么，那么 则则 注：在求多个因子乘积形式的函数在某点处的导数注：在求多个因子乘积形式的函数在某点处的导数时，令整个非零因子之积为新的函数，可以减少计时，令整个非零因子之积为新的函数，可以减少计算量，如本题。算量，如本题。例例12 求由参数方程求由参数方程 所确定的函数所确定的函数 的微分。的微分。在在处连续处连续，但不可，但不可导导；但；但处处可可导导。在在在在处连续处连续，时时，函数，函数在在处处可可导导 一般地，当一般地，当且且如果如果 为偶函数，且为偶函数，且 存在，证明存在，证明