应力应变分析强度理论.ppt

Mechanics of Materials 51 应力状态的概念应力状态的概念52 平面应力状态分析平面应力状态分析53 梁的主应力梁的主应力.主应力迹线的概念主应力迹线的概念54 空间应力状态的最大应力空间应力状态的最大应力55 广义胡克定律广义胡克定律56 空间应力状态的应变能密度空间应力状态的应变能密度57 强度理论概述强度理论概述58 四种常用的强度理论四种常用的强度理论 5-1 应力状态的概念应力状态的概念一、应力状态的概念一、应力状态的概念1.1.低碳钢和铸铁的拉伸与压缩实验低碳钢和铸铁的拉伸与压缩实验塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？2.2.低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢和铸铁的扭转实验 结论：结论：构件的破坏不仅在横截面上，也有可能沿其它斜截构件的破坏不仅在横截面上，也有可能沿其它斜截 面上，故不仅要研究横截面上的应力，也要研究斜面上，故不仅要研究横截面上的应力，也要研究斜 截面上的应力。截面上的应力。同一截面上不同点同一截面上不同点的应力一般不同的应力一般不同;kkFF同一点同一点不同方位截面不同方位截面上的应力亦不同。上的应力亦不同。扭转扭转轴轴弯曲弯曲梁梁MT3.一点的应力状态一点的应力状态哪一点？哪一点？哪个方向面？哪个方向面？应应 力力哪一个面上？哪一个面上？哪一点？哪一点？受力构件内一点的不同方位截面上应力情况的集合受力构件内一点的不同方位截面上应力情况的集合,称之称之为这为这一点的应力状态一点的应力状态,亦指该点的应力全貌。亦指该点的应力全貌。应力状态分析应力状态分析就是研究这些不同方位截面上应力的变就是研究这些不同方位截面上应力的变化规律。看受力构件上的哪一截面上哪一点在哪一方位上化规律。看受力构件上的哪一截面上哪一点在哪一方位上的应力最大，从而找出危险截面上的危险点，并确定该点的应力最大，从而找出危险截面上的危险点，并确定该点处的应力及其方向，然后建立强度条件。处的应力及其方向，然后建立强度条件。二、应力状态的研究方法二、应力状态的研究方法 1.单元体单元体（Element body）（2）任意一对平行平面上的应力相等）任意一对平行平面上的应力相等 2.单元体特征单元体特征 （1）单元体的尺寸无限小，每个面）单元体的尺寸无限小，每个面 上应力均匀分布上应力均匀分布 （3）该单元体的应力状态就代表了一点的应力状态；该单元体的应力状态就代表了一点的应力状态；单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方单元体某斜截面上的应力就代表了构件内对应点同方 位截面上的应力。位截面上的应力。xyz x z y xyxyz x z y xy3 3.普遍状态下的应力表示普遍状态下的应力表示 zx PPAA x xMPxyzBC x xB xz xy yx 5.主平面主平面(Principal plane)切应力为零的截面切应力为零的截面 6.主应力主应力(Principal stress)主面上的正应力主面上的正应力 说明说明:一点处必定存在这样的一个单元体一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直三个互相垂直的主应力分别记为的主应力分别记为 1,2,3 且规定按代数且规定按代数值值大小的顺序来排列大小的顺序来排列,即即 1 1 2 2 3 3 4.主单元体主单元体（Principal body）各侧面上切应力均为零的单元体各侧面上切应力均为零的单元体 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 三、应力状态的分类三、应力状态的分类 1.空间应力状态空间应力状态 三个主应力三个主应力 1,2,3 均不等于零均不等于零2.平面应力状态平面应力状态 三个主应力三个主应力 1,2,3 中有两个不等于零中有两个不等于零3.单向应力状态单向应力状态 三个主应力三个主应力 1,2,3 中只有一个不等于零中只有一个不等于零 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1关于应力状态的判定：研究生巧答教授的提问关于应力状态的判定：研究生巧答教授的提问单向应力状态单向应力状态回答：仅有一个主应力不为零二向应力状态二向应力状态回答：仅有一个主应力为零三向应力状态三向应力状态回答：没有一个主应力为零 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1零应力状态零应力状态回答：没有一个主应力为零平面应力状态的普遍形式如图所示平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有单元体上有 x,xy 和和 y,yx5-2 平面应力状态分析平面应力状态分析x x xyz y y xyxy yxyx x x y y xyxy yxyx x z y xy一、一、平面应力状态的平面应力状态的解析法解析法1.1.任意斜截面上的应力任意斜截面上的应力 假想地沿斜截面假想地沿斜截面 ef 将单元体截开将单元体截开,留下左边部分的单体元留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象作为研究对象xya x x x x yxyx xyxye ef f n nef fa x x xyxy yxyx y y n n xya x x x x yxyx xyxye ef f n n （1 1）由）由x轴转到外法线轴转到外法线n,逆时针转向时则逆时针转向时则 为正为正 （2 2）正应力）正应力仍规定仍规定拉应力拉应力 为正为正 （3 3）切应力）切应力对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩,顺时针转顺时针转 为正为正2.2.符号的确定符号的确定ef fa x x xyxy yxyx y y n n t t 设斜截面的面积为设斜截面的面积为dA,ae的面积为的面积为dAcos,af 的面积为的面积为dAsin ef fa x x xyxy yxyx y y n n ef fa d dA Ad dA Asinsin d dA Acoscos 对研究对象列对研究对象列 n和和 t 方向的方向的平衡方程得平衡方程得t t化简以上两个平衡方程最后得化简以上两个平衡方程最后得不难看出不难看出即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数再次证明了切应力互等定理再次证明了切应力互等定理3 3.最大正应力及方位最大正应力及方位最大正应力的方位最大正应力的方位令令 0 0 和和 0 0+90+90确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力一个是最大正应力所在的平面所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面另一个是最小正应力所在的平面.最大正应力最大正应力 将将 0 0和和 0+90代入公式代入公式 得到得到 max和和 min (主应力）主应力）下面还必须进一步判断下面还必须进一步判断 0是是 x与哪一个主应力间的夹角与哪一个主应力间的夹角 （1 1）当）当 x y 时时,0 是是 x与与 max之间的夹角之间的夹角 （2）当当 x y 时时,0 是是 x与与 min之间的夹角之间的夹角 （3）当当 x=y 时时,0=45,=45,主应力的方向可由单元体上切应主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来力情况直观判断出来 则确定主应力方向的具体规则如下则确定主应力方向的具体规则如下 若约定若约定|0|45即即 0 取值在取值在45范围内范围内4.4.最大切应力及方位最大切应力及方位最大切应力的方位最大切应力的方位 令令 1 1 和和 1 1+90确定两个互相垂直的平面确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力一个是最大切应力所在的平面所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面另一个是最小切应力所在的平面.最大切应力最大切应力 将将 1 1和和 1+90代入公式代入公式 得到得到 maxmax和和 min min 比较比较和和可见可见二、二、平面应力状态的图解法平面应力状态的图解法 将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去然后相加便可消去然后相加便可消去然后相加便可消去 ,得得得得 因为因为 x,y,xy 皆为已知量，所以上式是一个以皆为已知量，所以上式是一个以 ,为为变量的变量的圆周方程。当斜截面随方位角圆周方程。当斜截面随方位角 变化时变化时,其上的应力其上的应力 ,在在 -直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆.1.1.应力圆应力圆应力圆应力圆 圆心的坐标圆心的坐标 圆的半径圆的半径 此圆习惯上称为此圆习惯上称为 应力圆应力圆（plane stress circle）,或称为或称为莫莫尔圆尔圆（Mohrs circle）（1）建）建 -坐标系坐标系,选定比例尺选定比例尺o 2.应力圆作法应力圆作法作图步骤作图步骤xy x x x x yxyx xyxy y y y yD xyo o （2）量取）量取OA=xAD=xy得得D点点xy x x x x yxyx xyxy xAOB=y （3）量取）量取BD=yx得得D点点 yB B yxD （4）连接）连接 DD两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于C 点点 （5）以）以C为圆心为圆心,CD 为半径作圆为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的该圆就是相应于该单元体的应力圆应力圆C C （1）该圆的圆心）该圆的圆心C点到点到 坐坐标原点的标原点的 距离为距离为 （2）该圆半径为）该圆半径为D xyo o xA yB B yxDC C证明：证明：3.3.应力圆的应用应力圆的应用（1）求单元体上任一）求单元体上任一 截面上的应力截面上的应力 从应力圆的半径从应力圆的半径 CD 按方位角按方位角 的转向转动的转向转动2 得到半径得到半径CE.圆周上圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力和切应力 .D xyo o xA yB B yxDC C2 2 0 0FE E2 2 xya x x x x yxyx xyxye ef f n n证明：证明：证明：证明：.点面之间的对应关系点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力,必对应于应必对应于应力圆上某一点的坐标力圆上某一点的坐标.说说 明明AB .夹角关系夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致两者的转向一致.2 2 O OC CB BA(2)(2)求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置主应力数值主应力数值 A1 和和 B1 两点为与主平面两点为与主平面对应的点对应的点,其横坐标其横坐标 为主应力为主应力 1,2 1 1 2D xyo o xA yB B yxDC C2 2 0 0FE E2 2 B1A12 2 0 0D xyo o xA yB B yxDC C 1 1 2A1B1主平面方位主平面方位 由由 CD顺时针转顺时针转 2 0 到到CA1 所以单元体上从所以单元体上从 x 轴顺时轴顺时针转针转 0（负值）即负值）即到到 1对应的对应的主平面的外法线主平面的外法线 0 确定后确定后,1 对应的对应的主平面方位即确定主平面方位即确定（3 3）求最大切应力）求最大切应力 G1和和G两点的纵坐标分别代两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力表最大和最小切应力 2 2 0 0D xyo o xA yB B yxDC C 1 1 2A1B1G1G2 因为因为最大最小切应力等于应力圆的半径最大最小切应力等于应力圆的半径解法解法1解析法：分析解析法：分析建立坐标系如图建立坐标系如图60 xyO例例5-1 求图示单元体的主应力及主平面的位置。求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：单位：MPa)3AB 1 2解：解：主应力坐标系如图主应力坐标系如图AB的垂直平分线与的垂直平分线与 轴的交点轴的交点C便是便是圆心，以圆心，以C为圆心，为圆心，以以AC为半径画圆为半径画圆应力圆应力圆0 1 2BAC2 0 (MPa)(MPa)O20MPa在在坐标系内画出点坐标系内画出点 3 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图主应力及主平面如图 10 2AB例例5-2 分析受扭构件的破坏规律。分析受扭构件的破坏规律。解：解：确定危险点并画其原确定危险点并画其原 始单元体始单元体求极值应力求极值应力 xyC yxMCxyO xy yx破坏分析破坏分析低碳钢铸铁 下图下图 表示一受任意横向力作用的矩形截面梁表示一受任意横向力作用的矩形截面梁,在横截面在横截面 mm上上,分别围绕分别围绕 1、2、3、4,、5 五点各取出一单元体。五点各取出一单元体。假设该横截面上的假设该横截面上的剪力和弯矩都是正值剪力和弯矩都是正值剪力和弯矩都是正值剪力和弯矩都是正值。12345mm5353 梁的主应力梁的主应力梁的主应力梁的主应力.主应力迹线主应力迹线主应力迹线主应力迹线12345mm CD1A1D2A2112345mmCO2 323x12345mmOC3x412345mm oC4512345mmO C 将相应的将相应的 x,x 和和 y=0,y=-x 代入主应力的计算公式代入主应力的计算公式得梁内任一点的主应力计算公式得梁内任一点的主应力计算公式一、梁的一、梁的主应力计算公式主应力计算公式 可见可见,梁内任一点处的两个主应力必然一个为拉应力梁内任一点处的两个主应力必然一个为拉应力,一个为压应力一个为压应力,两者的方向互相垂直。两者的方向互相垂直。在梁的在梁的 xy 平面内可以绘制两组正交的曲线。一组平面内可以绘制两组正交的曲线。一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力 1 1 的方向，的方向，而另一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力而另一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力 3 3 的方向的方向,这样的曲线称为梁的这样的曲线称为梁的主应力迹线主应力迹线主应力迹线主应力迹线 。二、主应力迹线的概念二、主应力迹线的概念yx1122 (2)从从1-1上任一点上任一点 a 开始开始,求出该求出该点点处主应力处主应力 1 的方向的方向,将这一方向线延长将这一方向线延长至至 2-2 截面线截面线,相交于相交于 b 点点,再求出再求出 b 点处主应力点处主应力 1 的方向的方向,延长至延长至 c点。点。(1)按一定的比例画出梁在按一定的比例画出梁在xy平面的平面的平面图平面图,画出代表一些横截面位置的等间画出代表一些横截面位置的等间距直线距直线 1-1,2-2 等等等等abc三、主应力迹线的绘制三、主应力迹线的绘制1122(4)按同样的方法可绘得主应力按同样的方法可绘得主应力 3迹线迹线 (3)依此类推依此类推,就可以画出一条折线就可以画出一条折线,作一条与此折线相切的曲线作一条与此折线相切的曲线,这一曲线这一曲线就是主应力就是主应力 1 的迹线的迹线abc 上图绘出的是受均布线荷载作用的简支梁的两组主应力迹上图绘出的是受均布线荷载作用的简支梁的两组主应力迹线实线表示主应力线实线表示主应力 1的迹线的迹线,虚线表示主应力虚线表示主应力 3的迹线的迹线,所有的所有的迹线与梁轴线迹线与梁轴线(代表梁的中性层位置代表梁的中性层位置)间的夹角都是间的夹角都是45,在梁的在梁的横截面上横截面上=0的各点处的各点处,迹线的切线则与梁的轴线平行或正交。迹线的切线则与梁的轴线平行或正交。已知已知受力物体内某一点处三个主受力物体内某一点处三个主应力应力 1,2,3 利用应力圆确定该点的最大正应利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力力和最大切应力.一、一、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力5-4 空间应力状态的最大应力空间应力状态的最大应力 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1一般的空间应力状态一般的空间应力状态：单元体三对：单元体三对平面上都有正应力和切应力，且切平面上都有正应力和切应力，且切应力可分解成沿坐标轴方向两个分应力可分解成沿坐标轴方向两个分量，独立的应力分量有六个。量，独立的应力分量有六个。x z y xy 1 3 首先研究与其中一个主平面首先研究与其中一个主平面（例如主应力（例如主应力 3 所在的平面）所在的平面）垂直的斜截面上的应力垂直的斜截面上的应力 1 2 2 用截面法用截面法,沿求应力的沿求应力的截面将单元体截为两部分截面将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象取左下部分为研究对象 1 2 3 3 主应力主应力 3 所在的两平面上是一所在的两平面上是一对自相平衡的力对自相平衡的力,因而该斜面上的应因而该斜面上的应力力 ,与与 3 无关无关,只由主应力只由主应力 1,2 决定决定 与与 3 垂直的斜截面上的应力可垂直的斜截面上的应力可由由 1 ,2 作出的应力圆上的点来作出的应力圆上的点来表示表示 1 2 3 3 2 1 该应力圆上的点对应于该应力圆上的点对应于与与 3 垂直的所有斜截面上垂直的所有斜截面上的应力的应力 A 1 O 2B 与主应力与主应力 2 所在主平所在主平面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力,可用由可用由 1,3作出的应作出的应力圆上的点来表示力圆上的点来表示C 3 与主应力与主应力 所在主平所在主平面垂直的斜截面上的应力面垂直的斜截面上的应力 ,可用由可用由 2,3作出的作出的应力圆上的点来表示应力圆上的点来表示 该截面上应力该截面上应力 和和 对应的对应的D点必位于上述三个应力圆所点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内围成的阴影内 abc 截面表示与三个主平截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面面斜交的任意斜截面a ab bc c 1 2 1 2 3 A 1 O 2BC 3结论结论 三个应力圆圆周上的三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上间应力状态下所有截面上的应力的应力 该点处的最大正应力该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大（指代数值）应等于最大应力圆上应力圆上A点的横坐标点的横坐标 1 A 1 O 2BC 3 最大切应力则等于最最大切应力则等于最大的应力圆的半径大的应力圆的半径 最大切应力所在的最大切应力所在的截面与截面与 2 所在的主平面所在的主平面垂直垂直,并与并与 1和和 3所在的所在的主平面成主平面成45角角.例例5-3 单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示,作应力圆作应力圆,并求出主应力和并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位最大切应力值及其作用面方位.解解:该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力面上的应力与主应力 z 无关无关,依据依据 x截面和截面和y 截面上的应力画出应力截面上的应力画出应力圆圆.求另外两个求另外两个主应力主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa 由由 x,xy 定出定出 D 点点由由 y,yx 定出定出 D 点点 以以 DD为直径作应力圆为直径作应力圆 A1,A2 两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代表另外两个主应力表另外两个主应力 1 和和 3 A1A2DD O D DC 1 3 1=46MPa 3 3=-26MPa-26MPa 该单元体的三个主应力该单元体的三个主应力 1=46MPa 2=20MPa 3=-26MPa 根据上述主应力，作出三个应根据上述主应力，作出三个应力圆力圆一、各向同性材料的广义胡克定律一、各向同性材料的广义胡克定律 （1）正应力正应力:拉应力为正拉应力为正,压应力为负压应力为负1.1.符号规定符号规定 （2）切应力切应力:对单元体内任一点取矩对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针若产生的矩为顺时针,则则为正为正;反之为负反之为负 （3）线应变线应变:以伸长为正以伸长为正,缩短为负缩短为负;（4）切应变切应变:使直角减者为正使直角减者为正,增大增大者为负者为负.5-5 广义虎克定律广义虎克定律x x xyz y y xyxy yxyx z yzyz xzxz zxzx zyzy y y y yx 方向的线应变方向的线应变2.2.2.2.各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律单独存在时单独存在时单独存在时单独存在时 单独存在时单独存在时xy yz z z z x x x x 对各向同性材料，在小变形及材料的线弹性范围内，对各向同性材料，在小变形及材料的线弹性范围内，正正应变只与正应力有关，切应变只与切应力有关，线变形与角变应变只与正应力有关，切应变只与切应力有关，线变形与角变形的相互影响可以略去形的相互影响可以略去。这样复杂应力状态，可以看作是三。这样复杂应力状态，可以看作是三组单向应力和三组纯剪切的组合，其应变分量可由各应力分量组单向应力和三组纯剪切的组合，其应变分量可由各应力分量引起的应变分量叠加得到。引起的应变分量叠加得到。在在 x,y,z同时存在时同时存在时,x 方向的线应变方向的线应变 x为为 同理同理,在在 x,y,z同时存在时同时存在时,y,z 方向的线应变为方向的线应变为 在在 xy,yz,zx 三个面内的切应变为三个面内的切应变为上式称为上式称为广义胡克定律广义胡克定律 沿沿x,y,z轴的线应变轴的线应变 在在xy,yz,zx面上的切应变面上的切应变 对于对于平面应力状态平面应力状态 （假设假设 z=0,xz=0,yz=0）xyz xy x y yx x y xy yx3.主应力主应力-主应变的关系主应变的关系 二向应力状态下，二向应力状态下，二向应力状态下，二向应力状态下，设设设设 3 3=0=0 已知已知 1 1,2 2,3 3;1 1,2 2,3 3为主应变为主应变二、各向同性材料的体积应变二、各向同性材料的体积应变 1 2 3a a1a a2a a3 构件每单位体积的体积变化构件每单位体积的体积变化,称为称为体积应变体积应变用用表示表示.各向同性材料各向同性材料在三向应力状态下的体在三向应力状态下的体积积应变：应变：如图所示的单元体如图所示的单元体,三个边长为三个边长为 dx,dy,dz 变形后的边长分别为变形后的边长分别为 变形后单元体的体积为变形后单元体的体积为d dx x(1+(1+,d dy y(1+(1+2 2 ,d dz z(1+(1+3 3 V V1 1=d dx x(1+(1+d dy y(1+(1+2 2 d dz z(1+(1+3 3 体积应变体积应变体积应变体积应变（volumetric strainvolumetric strain）为为为为体积弹性模量体积弹性模量平均主应力平均主应力体积胡克定律体积胡克定律 单元体的体积应变单元体的体积应变 m m m1、三向等值应力单元体的体积应变、三向等值应力单元体的体积应变 1 2 3dxdydz 这两个单元体的体积应变相同这两个单元体的体积应变相同 m m m 单元体的三个主应变为单元体的三个主应变为 如果变形前单元体的三个棱边成某种比例如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边由于三个棱边应变相同应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例.所以所以在三向等值应力在三向等值应力 m的作用下的作用下,单元体变形后的单元体变形后的形状和形状和变形前变形前的的相相似似,称这样的称这样的单元体单元体是形状不变的。是形状不变的。2.纯剪切应力状态下的体积应变纯剪切应力状态下的体积应变 即在小变形下即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变切应力不引起各向同性材料的体积改变.在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变变 x,y,z 有关有关,仿照上述推导有仿照上述推导有 在任意形式的应力状态下在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关而与切应力无关.例例5-4 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：为：1=240 10-6，2=160 10-6，弹性模量，弹性模量E=210GPa，泊松，泊松比为比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态所以，该点处的平面应力状态由广义胡克定律由广义胡克定律m m 334 2.-=例例5-5 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t=350l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。pppx1mlpODxABy图a1、轴向应力:(longitudinal stress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程 m mxD图bppp用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoop stress)3、求内压（以应力应变关系求之）t m外表面yp t tDqdqz图cO 5-6 空间应力状态的应变能密度空间应力状态的应变能密度应变能密度应变能密度 用用vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为称为畸变能密度畸变能密度 用用vV 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为称为体积改变能密度体积改变能密度应变能密度应变能密度v等于两部分之和等于两部分之和将广义胡克定律代入上式将广义胡克定律代入上式,经整理得经整理得 图（图（a）所示单元体的三个主应力不相等）所示单元体的三个主应力不相等,因而因而,变形后既发变形后既发生体积改变也发生形状改变生体积改变也发生形状改变.图（图（b）所示单元体的三个主应力相等）所示单元体的三个主应力相等,因而因而,变形后的形状变形后的形状与原来的形状相似与原来的形状相似,即只发生体积改变而无形状改变即只发生体积改变而无形状改变.（a)（b)=+（c)图图 b 所示单元体的体积改变能密度所示单元体的体积改变能密度a单元体的应变能密度为单元体的应变能密度为a所示单元体的体积改变能密度所示单元体的体积改变能密度 空间应力状态下单元体的空间应力状态下单元体的 畸变能密度畸变能密度(a)1 2 3例例5-6 用能量法证明三个弹性常数间的关系。纯剪单元体的应变能密度为：纯剪单元体应变能密度的主应力表示为：xyA13一、一、强度理论的概念强度理论的概念1.1.引言引言 57 强度理论概述强度理论概述轴向拉压轴向拉压弯曲弯曲剪切剪切扭转扭转弯曲弯曲 切应力强度条件切应力强度条件 正应力强度条件正应力强度条件 （2）材料的许用应力）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯是通过拉（压）试验或纯剪剪试验测定试验测定试试件在破坏时其横截面上的极限应力件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指以此极限应力作为强度指标标,除以适当的安全系数而得除以适当的安全系数而得,即根据相应的即根据相应的试验结果建立的强度试验结果建立的强度条件。条件。上述强度条件具有如下特点上述强度条件具有如下特点（1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态；）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态；对于复杂应力状态，对于复杂应力状态，因因 1、2、3有任意比值，不可能做有任意比值，不可能做所有情况的试验。另外，加载也有困难。所有情况的试验。另外，加载也有困难。2.2.2.2.强度理论的概念强度理论的概念强度理论的概念强度理论的概念是关于是关于是关于是关于“构件发生强度失效起因构件发生强度失效起因构件发生强度失效起因构件发生强度失效起因”的假说的假说的假说的假说.强度理论强度理论的基本思想是：的基本思想是：l确认引起材料失效存在共同的确认引起材料失效存在共同的力学原因力学原因，提出关于这一，提出关于这一共同力学原因的假设；共同力学原因的假设；l根据实验室中标准试件在根据实验室中标准试件在简单受力简单受力情况下的破坏实验情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态复杂应力状态下共同遵循的下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。弹性失效准则和强度条件。(1)(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。扭，低温脆断等。关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论和均方根切应力理论最大切应力理论和均方根切应力理论(2)(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。钢拉、扭，铸铁压。关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大拉应变理论最大拉应力理论和最大拉应变理论二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）三、四个强度理论三、四个强度理论1.1.最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论）材料发生断裂的主要因素是材料发生断裂的主要因素是最大拉应力最大拉应力；认为无论是什么应力状态，只要危险点处最大拉应力达到认为无论是什么应力状态，只要危险点处最大拉应力达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂断裂.132断裂准则断裂准则：适用范围：适用范围：混合型应力状态混合型应力状态中拉应力占主导中拉应力占主导与铸铁，工具钢，工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合与铸铁，工具钢，工业陶瓷等多数脆性材料的实验结果较符合特别适用于特别适用于拉伸型应力状态拉伸型应力状态：但但材料的脆断材料的脆断强度条件强度条件：2、对没有拉应力的应力状态无法应用，、对没有拉应力的应力状态无法应用，3、对塑性材料的破坏无法解释，、对塑性材料的破坏无法解释，4、无法解释三向均压时，既不屈服、也不破坏的现象。、无法解释三向均压时，既不屈服、也不破坏的现象。1 只突出只突出 未考虑的未考虑的 影响，影响，局限性：局限性：2.2.最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论（第二强度理论）（第二强度理论）无论处于什么应力状态无论处于什么应力状态,只要危险点处最大伸长线应变只要危险点处最大伸长线应变达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂断裂 材料发生断裂的主要因素是材料发生断裂的主要因素是最大伸长线应变最大伸长线应变；132断裂准则断裂准则：复杂应力状态下最大线伸长应变复杂应力状态下最大线伸长应变断裂准则断裂准则相应的强度条件：相应的强度条件：单向应力状态下单向应力状态下铸铁铸铁受拉压受拉压比第一强度理论更接近实际情况。比第一强度理论更接近实际情况。实验表明：实验表明：xy此理论对于此理论对于一拉一压一拉一压的二向应力的二向应力状态的脆性材料的断裂状态的脆性材料的断裂较符合较符合要求材料在脆断前均服从胡克定律要求材料在脆断前均服从胡克定律适用范围：适用范围：铸铁在混合型应力状态中，铸铁在混合型应力状态中，压应力占主导压应力占主导引起的材料脆断引起的材料脆断与实验结果也较符合；与实验结果也较符合；材料的脆断材料的脆断局限性：局限性：1、第一强度理论不能解释的问题，未能解决，、第一强度理论不能解释的问题，未能解决，2、在二向或三向受拉时，、在二向或三向受拉时，似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。它只与石料、混凝土等少数脆性材料的实验结果较符合；它只与石料、混凝土等少数脆性材料的实验结果较符合；虽然考虑了虽然考虑了 的影响，的影响，但上述材料的脆断实验不支持本理论描写的但上述材料的脆断实验不支持本理论描写的 对材料强度的影响规律。对材料强度的影响规律。，混凝土、花岗岩受压时在混凝土、花岗岩受压时在横向（横向（1方向方向）开裂）开裂局限性局限性3.3.最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）材料发生塑性屈服的主要因素是材料发生塑性屈服的主要因素是 最大切应力；最大切应力；无论处于什么应力状态无论处于什么应力状态,只要危险点处最大切应力达到只要危险点处最大切应力达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服屈服。屈服准则：屈服准则：132复杂应力状态下的最大切应力复杂应力状态下的最大切应力屈服条件屈服条件相应的强度条件：相应的强度条件：单向应力状态下单向应力状态下此理论较满意地解释了塑性材料的屈服现象；此理论较满意地解释了塑性材料的屈服现象；局限性：局限性：2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%15%。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。适用范围：适用范围：偏于安全偏于安全常用于常用于载荷往往较不稳定载荷往往较不稳定的机械、动力等行业的机械、动力等行业此准则也称特雷斯卡（此准则也称特雷斯卡（Tresca）屈服准则）屈服准则塑性屈服塑性屈服4.4.畸变能密度畸变能密度理论理论（第四强度理论）（第四强度理论）材料发生塑性屈服的主要因素是材料发生塑性屈服的主要因素是 畸变能密度；畸变能密度；无论处于什么应力状态无论处于什么应力状态,只要危险点处畸变能密度达到只要危险点处畸变能密度达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服屈服。屈服准则：屈服准则：132复杂应力状态的畸变能密度复杂应力状态的畸变能密度单向应力状态下单向应力状态下屈服条件屈服条件强度条件强度条件对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。在工程中得到了广泛应用。载荷较为稳定载荷较为稳定的土建行业，较多地采用第四强度理论。的土建行业，较多地采用第四强度理论。适用范围：适用范围：它既突出了最大主剪应力对塑性屈服的作用，又适当考虑它既突出了最大主剪应力对塑性屈服的作用，又适当考虑了其它两个主剪应力的影响；了其它两个主剪应力的影响；它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好；它与塑性较好材料的试验结果比第三强度理论符合得更好；此准则也称为米泽斯（此准则也称为米泽斯（Mises）屈服准则。）屈服准则。塑性屈服塑性屈服四个强度理论的统一形式四个强度理论的统一形式：ri计算应力，由三个主应力按一定形式组合而成计算应力，由三个主应力按一定形式组合而成 1 2 3 r r表表表表 四个强度理论的相当应力表达式四个强度理论的相当应力表达式四个强度理论的相当应力表达式四个强度理论的相当应力表达式第第4强度理论强度理论形状改变形状改变比能理论比能理论 第第1强度理论强度理论最大拉应最大拉应力理论力理论第第2强度理论强度理论最大伸长最大伸长线应变理论线应变理论第第3强度理论强度理论最大剪应最大剪应力理论力理论第一类强度理论第一类强度理论（脆断破坏的（脆断破坏的 理论）理论）第二类强度理论第二类强度理论（屈服失效的（屈服失效的 理论）理论）强度理论的分类及名称强度理