无穷小与无穷大、无穷小的比较.ppt

2.7 2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较无穷小与无穷大、无穷小的比较都是都是的无穷小。的无穷小。2.7.1无穷小与无穷大无穷小与无穷大（无穷小）（无穷小）小量，简称无穷小。小量，简称无穷小。则称则称如果如果为为的无穷的无穷例如例如，注意：不要把无穷小量与很小的量混为一谈。注意：不要把无穷小量与很小的量混为一谈。（极限与无穷小量的关系）（极限与无穷小量的关系）证明略。证明略。例如，因为例如，因为是无穷小；是无穷小；因为因为 无穷小运算法则无穷小运算法则时时,有有（1）有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小.证证:考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和.设设当当时时,有有当当时时,有有取取则当则当因此因此这说明当这说明当时时,为无穷小量为无穷小量.类似可证类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小有限个无穷小之和仍为无穷小.（定理（定理2.7.2）（2）有界量与无穷小的乘积是无穷小有界量与无穷小的乘积是无穷小证证:设设又设又设即即当当时时,有有取取则当则当时时,就有就有故故即即是是时的无穷小时的无穷小.推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.（3）有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小.例例1、求解解:利用定理 2.7.2 可知说明说明:y=0 是的渐近线.解解:都是都是的无穷大。的无穷大。（无穷大）（无穷大）大量，简称无穷大。大量，简称无穷大。则称则称如果如果为为的无穷的无穷例如例如，（无穷小与无穷大的关系）（无穷小与无穷大的关系）（无穷大的运算性质）（无穷大的运算性质）若若 y 为无穷小，且为无穷小，且y不恒等于不恒等于0，若若 y 为无穷大，则为无穷大，则1/y 是无穷小。是无穷小。（1）有限个无穷大的乘积是无穷大；）有限个无穷大的乘积是无穷大；（2）无穷大与有界量之和是无穷大。）无穷大与有界量之和是无穷大。则则1/y 是无穷大；是无穷大；都是无穷小都是无穷小,引例引例.但但 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的.2.7.2 无穷小的比较无穷小的比较定义定义.若若则称则称 是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小,若若若若若若若若或或设设是自变量同一变化过程中的是自变量同一变化过程中的无穷小无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小;则称则称 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小;则称则称 是关于是关于 的的 k 阶无穷小阶无穷小;则称则称 是是 的的等价无穷小等价无穷小,记作记作一些常见的等价无穷小量一些常见的等价无穷小量当当sinxxex-1x1-cosxx2/2arctanxxtanxxln(1+x)xarcsinxx证明证明:当当时时,证证:证证:即即例如例如,故设设且且存在存在,则则证证:例如例如,补例补例求求解解:求极限求极限解解sinxx，1-cosxx2/2，所以所以求极限求极限解解所以所以等价代换只能对积商中的无穷小进行，而不等价代换只能对积商中的无穷小进行，而不能对和差中的无穷小进行。能对和差中的无穷小进行。注意：注意：