无穷小量与无穷大量.pps
数学分析第数学分析第3.5节节数学分析数学分析 数学与信息科学学院数学与信息科学学院 罗仕乐罗仕乐数学分析第数学分析第3.5节节3.5 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。首先来介绍无穷小。一、无穷小一、无穷小 在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义有理论价值，值得我们单独给出定义数学分析第数学分析第3.5节节1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如,数学分析第数学分析第3.5节节注意注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；变化过程；2.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.数学分析第数学分析第3.5节节2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性数学分析第数学分析第3.5节节意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无无穷小穷小);3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证数学分析第数学分析第3.5节节注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.数学分析第数学分析第3.5节节定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证数学分析第数学分析第3.5节节推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小数学分析第数学分析第3.5节节二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.数学分析第数学分析第3.5节节特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.数学分析第数学分析第3.5节节无界，无界，不是无穷大不是无穷大数学分析第数学分析第3.5节节证证数学分析第数学分析第3.5节节三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证数学分析第数学分析第3.5节节意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论.数学分析第数学分析第3.5节节极限运算法则的证明极限运算法则的证明定理定理证证由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得数学分析第数学分析第3.5节节数学分析第数学分析第3.5节节有界，有界，注注此定理对于数列同样成立此定理对于数列同样成立此定理证明的基本原则：此定理证明的基本原则：(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数可推广到任意有限个具有极限的函数(2)有两个重要的推论有两个重要的推论数学分析第数学分析第3.5节节四四、无穷小的比较、无穷小的比较例如例如,观观察察各各极极限限不可比不可比.极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.数学分析第数学分析第3.5节节定义定义:数学分析第数学分析第3.5节节例例1 1解解例例2 2解解数学分析第数学分析第3.5节节常用等价无穷小常用等价无穷小:注注1.上述上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握指、三）必须熟练掌握数学分析第数学分析第3.5节节用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:一般地有一般地有即即与与等价等价 与与互为主要部分互为主要部分例如例如,数学分析第数学分析第3.5节节补充补充高阶无穷小的运算规律高阶无穷小的运算规律数学分析第数学分析第3.5节节五、等价无穷小替换五、等价无穷小替换定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)证证意义意义 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。数学分析第数学分析第3.5节节例例3 3解解注意注意不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.等价关系具有：自反性，对称性，传递性等价关系具有：自反性，对称性，传递性数学分析第数学分析第3.5节节例例4 4解解错错解解数学分析第数学分析第3.5节节例例5 5解解数学分析第数学分析第3.5节节例例6 求求解一解一解二解二数学分析第数学分析第3.5节节解三解三例例7 求求解解数学分析第数学分析第3.5节节关于关于1 1型极限的求法型极限的求法数学分析第数学分析第3.5节节数学分析第数学分析第3.5节节六六 曲线的渐近线曲线的渐近线 定义：若曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某定直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线C的渐近线.1.直线y=kx+b是曲线y=f(x)的斜渐近线.事实上,由定义,有或数学分析第数学分析第3.5节节又由 得 2 若或则称直线x=a是曲线y=f(x)的垂直渐近线.数学分析第数学分析第3.5节节例8 求曲线的渐近线.所以,曲线的斜渐近线为解:另外,有 所以,曲线的垂直渐近线和数学分析第数学分析第3.5节节无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.七、小结七、小结数学分析第数学分析第3.5节节3.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的无穷小的阶阶.4.等价无穷小的替换等价无穷小的替换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.作业P66:2,5,6.5.曲线的渐近线曲线的渐近线数学分析第数学分析第3.5节节思考题思考题1思考题思考题2 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？数学分析第数学分析第3.5节节思考题思考题1解答解答不能保证不能保证.例例有有思考题思考题2解答解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误数学分析第数学分析第3.5节节思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时数学分析第数学分析第3.5节节数学与信息科学学院数学与信息科学学院 罗仕乐罗仕乐
