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有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM第二章第二章 有限元法的基本原理有限元法的基本原理第一节第一节 弹性力学有关知识弹性力学有关知识 第二节第二节 平面问题有限元法平面问题有限元法 平面问题有限元法平面问题有限元法有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM数值计算方法数值计算方法 近似解近似解 差分法、变分法差分法、变分法 微分方程边值问题微分方程边值问题 离散、分片插值离散、分片插值 单元、节点单元、节点 非均匀网格非均匀网格简化插值函数简化插值函数 Review 单元通过节点连接单元通过节点连接有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM第一节第一节 弹性力学有关知识弹性力学有关知识载荷载荷(load)应力应力(Stress)应变应变(Strain)位移位移(Displacement)一、弹性力学中的物理量一、弹性力学中的物理量有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMloadConcentrated forceSurface forceVolume forcePv=pvx pvy pvzT Pc=pcx pcy pczT Ps=psx psy pszT 外界作用在弹性体上的力，又称为外力外界作用在弹性体上的力，又称为外力 载载 荷荷有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMStressNormal Stress:x、y、z Shear Stress :xy、yz、zx 应应 力力有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM=x y z xy yz zx T 6个应力分量个应力分量有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMStrainNormal Strain:x、y、z Shear Strain:xy、yz、zx 应应 变变d zydydzyzOd xd xd yd yOyyzzxx有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM=x y z xy yz zx T 6个应变分量个应变分量有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMDisplacementx axis:uy axis:vz axis:wd=u v wT 位位 移移变 形(deform,deformation)有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMPv=pvx pvy pvzT Pc=pcx pcy pczT Ps=psx psy pszT=x y z xy yz zx T=x y z xy yz zx T d=u v wT 有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM 平衡方程平衡方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程二、弹性力学的基本方程二、弹性力学的基本方程Relationship among load,stress,strain and displacement有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM1、平衡方程平衡方程应力应力 载荷载荷有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM2、几何方程、几何方程应变应变 位移位移有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM3、物、物 理理 方方 程程应变应变 应力应力有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM平衡方程：平衡方程：3几何方程：几何方程：6物理方程：物理方程：61515=Stress：6Strain：6Disp.：3有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM基本未知量基本未知量stresses 力法力法Displacements 位移法位移法stress,displacements 混合法混合法有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM三、虚位移原理三、虚位移原理Learn by yourselfLearn by yourself有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMdefinition of plane problem3DPlane problemsimplifiedPlane stressPlane strain四、平面问题定义四、平面问题定义 有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMplane stress(1)(1)一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸；一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸；(2)(2)载荷平行于平板平面内并沿厚度方向均匀分布载荷平行于平板平面内并沿厚度方向均匀分布有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMplane strain(1)(1)一个方向的尺寸远大于其他两个方向的尺寸；一个方向的尺寸远大于其他两个方向的尺寸；(2)(2)载荷平行于截面并沿长度方向均匀分布载荷平行于截面并沿长度方向均匀分布有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM3D modelplanemeshingMuch easier有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM位位 移移载载 荷荷 平衡方程平衡方程应应 变变应应 力力几何方程几何方程物理方程物理方程基本未知量解题思路解题思路有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMProcedure of Static Analysis of Plane Stress Problem第二节第二节 平面问题有限元法平面问题有限元法平面应力问题的线性静力分析平面应力问题的线性静力分析Linear Static Analysisstatic loadlinearstress,deformation有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM一、结构离散一、结构离散Procedure of Static AnalysismeshingElement(mesh)node单元编号（单元编号（element label）节点编号（节点编号（node label）有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM(ui,vi)(uj,vj)(um,vm)有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM Element label Node label Node locationDisp.Components:已知未知(ui,vi)、(uj,vj)、(um,vm)有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM二、单元分析二、单元分析 (Element Analysis)目的：形成单元位移、应变、应力表达式目的：形成单元位移、应变、应力表达式 形成每个单元的刚度矩阵形成每个单元的刚度矩阵有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM1、位移函数位移函数(displacement function)位移插值函数位移插值函数真实位移分布真实位移分布近似位移分布近似位移分布有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM 有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM单元内的位移插值表达式单元内的位移插值表达式分片插值分片插值节点位移，单元内任一点的位移节点位移，单元内任一点的位移有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMNi、Nj、Nm形函数矩阵形函数矩阵节点位移列阵节点位移列阵形函数形函数有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM形函数物理意义形函数物理意义ijm1Ni有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM性性 质质1.2.3.有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMRequirements for displacement function(1)常数项常数项(2)线性项线性项(3)位移连续性位移连续性(4)几何各向同性几何各向同性 1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5收敛收敛(convergence)位移函数应满足的条件位移函数应满足的条件必要条件必要条件充分条件充分条件有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM位位 移移载载 荷荷 平衡方平衡方程程应应 变变应应 力力几何方程几何方程物理方程物理方程基本未知量解题思路解题思路有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM2 2、单元应变和应力、单元应变和应力 (element strain and stress)有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM(l=i，j，m)应变矩阵应变矩阵bi、bj、bm ci、cj、cm常数矩阵常数矩阵与单元形状有关与单元形状有关有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM应力矩阵应力矩阵有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM基本未知量基本未知量数量有限！数量有限！有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM质点位移质点位移d(x,y)数量无穷多数量无穷多数量有限数量有限微分方程微分方程代数方程代数方程节点位移节点位移有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM3、单元刚度矩阵、单元刚度矩阵(element stiffness matrix)有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM单元刚阵单元刚阵 单元材料单元材料 板的厚度板的厚度 单元面积单元面积 单元形状单元形状常数矩阵常数矩阵有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM单元平衡方程单元平衡方程有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM单元刚阵的性质单元刚阵的性质(2)奇异性奇异性(singularity)(1)对称性对称性(symmetry)有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM二、单元分析二、单元分析 (Element Analysis)目的：形成单元位移、应变、应力表达式目的：形成单元位移、应变、应力表达式,形成每个单元的刚度矩阵形成每个单元的刚度矩阵有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMQuestion?Can you obtain qe by solving the equation above?Why?线性方程组线性方程组有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMPurpose:单元 整体assemble三、总刚集成三、总刚集成global stiffness matrix of the structure内力抵消内力抵消known总刚矩阵总刚矩阵有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM(s=i，j，m)1 1、总刚集成原理、总刚集成原理i有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMK结构平衡方程结构平衡方程单元平衡方程单元平衡方程k eqe=Fe有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM总刚矩阵总刚矩阵(Global Stiffness Matrix)有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM2 2、总刚集成过程、总刚集成过程（1 1）扩阶过程）扩阶过程（2 2）叠加过程）叠加过程有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM3 3、总刚矩阵的特点、总刚矩阵的特点 对称性（对称性（Symmetry）KT=K 稀疏性（稀疏性（Sparse）带状性（带状性（Band）奇异性（奇异性（singularity）|K|=0 有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM四、载荷移置四、载荷移置Kq=R Nodal force:Concentrated force at nodesConcentrated forceSurface forceVolume force有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM1 1、集中力的移置、集中力的移置 =有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM2 2、面力的移置、面力的移置 3 3、体力的移置、体力的移置 有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMQuestion?Can you obtain q by solving the equation above?Why?Kq=R 线性方程组线性方程组有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMKq=R F五、约束处理五、约束处理 消除结构的刚体运动，从而消除消除结构的刚体运动，从而消除K的奇异性的奇异性有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMTime consuming!Time consuming!六、求解线性方程组六、求解线性方程组 有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM七、计算其它物理量七、计算其它物理量 有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM 位位 移移 法法 节节 点点 位位 移移 无穷数量的质点位移无穷数量的质点位移有限数量的节点位移有限数量的节点位移有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM八、计算结果处理八、计算结果处理 有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM1=(+)/22=(+)/61=(+)/22=(+)/2有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MM九、结果显示、打印、分析九、结果显示、打印、分析 有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMprocedure of static analysisDiscretionGlobal stiffness matrixLoad TranslationResults Process&DisplayCalculate Other QuantitiesRestrain ProcessSolve EquationsElement analysis有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMDiscretionPatch interpolationDisplacement function defined over a elementpoints:Infinite nodes:finiteKq=R qe:basic unknownsqEquilibrium equations for each elementEquilibrium equation for whole structuresolveSummary有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMAny Question?Any Question?有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模有限元分析与建模 FEAFEA MMThe EndThe End
