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第三章 最优化计算方法单变量优化多变量优化线性规划离散最优化单变量优化例3.1 再来考虑售猪问题。但现在考虑到猪的生长率不是常数的事实。假设现在猪还小，生长率是增加的。什么时候将猪售出从而获得最大收益？求解模型图像法clear all;close all;syms x y=(0.65-0.01*x)*200*exp(0.025*x)-0.45*x;ezplot(y,0,20);grid onezplot(y,0,20)ezplot(y,0,40)ezplot(y,18,22);grid onezplot(y,19,20);grid on数值方法求解-Matlabdydx=diff(y,x)xmax=solve(dydx);xmax=double(xmax)xmax=xmax(1)ymax=subs(y,x,xmax)Newton 法求方程F(x)=0的根.牛顿法：x(n)=x(n-1)-F(x(n-1)/F(x(n-1)F=dydx;F1=diff(F,x);format long N=10;%number of iterations x0=19%initial guess fprintf(iteration xvaluenn);for i=1:N x1=x0-subs(F,x,x0)/subs(F1,x,x0);fprintf(%5.0f%1.16fn,i,x1);x0=x1;end display(Hence,the critical point(solution of F=0)is(approx),x1 灵敏性分析考虑最优售猪时间关于小猪增长率c=0.025的灵敏性。xvalues=0;for c=0.022:0.001:0.028 y=(0.65-0.01*x)*200*exp(c*x)-0.45*x;dydx=diff(y,x);xmaxc=solve(dydx);xmaxc=double(xmaxc);xmaxc=xmaxc(1);xvalues=xvalues;xmaxc;end xvalues=xvalues(2:end);cvalues=0.022:0.001:0.028;cvalues=cvalues;%transposes the row into a column format short;display(cvalues,xvalues)例3.2 更新消防站的位置。对响应时间数据的统计分析给出：对离救火站r英里打来的求救电话，需要的响应时间估计为 。下图给出了从消防管员处得到的从城区不同区域打来的求救电话频率的估计数据。求新的消防站的最佳位置。3.2 多变量最优化3014212112325330128521001063131023111设(x,y)为新消防站的位置，对求救电话的平均响应时间为：问题为在区域0=x=6,0=y=6上求z=f(x,y)的最小值。绘制目标函数图形clear all syms x y r1=sqrt(x-1)2+(y-5)2)0.91;r2=sqrt(x-3)2+(y-5)2)0.91;r3=sqrt(x-5)2+(y-5)2)0.91;r4=sqrt(x-1)2+(y-3)2)0.91;r5=sqrt(x-3)2+(y-3)2)0.91;r6=sqrt(x-5)2+(y-3)2)0.91;r7=sqrt(x-1)2+(y-1)2)0.91;r8=sqrt(x-3)2+(y-1)2)0.91;r9=sqrt(x-5)2+(y-1)2)0.91;z=3.2+1.7*(6*r1+8*r2+8*r3+21*r4+6*r5+3*r6+18*r7+8*r8+6*r9)/84;ezmesh(z)绘制等值线图ezcontourf(z,0 6 0 6)colorbar,grid on 随机搜索算法算法算法：随机搜索算法变量变量：a=x的下限，b=x的上限 c=y的下限，d=y的上限 xmin,ymin,zmin输入输入：a,b,c,d,N过程过程：开始 x=randoma,b y=randomc,d zmin=f(x,y)对n=1到N循环 开始 x=randoma,b y=randomc,d z=f(x,y)若zzmin,则 xmin=x,ymin=y,zmin=z 结束 结束输出输出：xmin,ymin,zmin代码实现a=0;b=6;c=0;d=6;N=1000;x0=a+(b-a)*rand(1);y0=c+(d-c)*rand(1);zmin=subs(z,x,y,x0,y0);fprintf(Iteration xmin ymin zmin valuenn);for n=1:N xnew=a+(b-a)*rand(1);ynew=c+(d-c)*rand(1);znew=subs(z,x,y,xnew,ynew);if znewzmin xmin=xnew;ymin=ynew;zmin=znew;fprintf(%4.0f%1.6f%1.6f%1.6fn,n,xmin,ymin,zmin);end end 灵敏性分析a=1.5;b=2;c=2.5;d=3;N=100;x0=a+(b-a)*rand(1);y0=c+(d-c)*rand(1);zmin=subs(z,x,y,x0,y0);fprintf(Iteration xmin ymin zmin valuenn);for n=1:N xnew=a+(b-a)*rand(1);ynew=c+(d-c)*rand(1);znew=subs(z,x,y,xnew,ynew);if znew=0,y=0上求利润函数z=f(x,y)的最大值。绘制目标函数及等值线图clear all,close all syms x1 x2 z=x1*(10+31*x1(-0.5)+1.3*x2(-0.2)-18*x1+x2*(5+15*x2(-0.4)+.8*x1(-0.08)-10*x2;ezsurfc(z,0.1 10 0.1 10);title(Objective Function z);最优值点大致位于x=5,y=6随机搜索求近似最优值a=0;b=10;c=0;d=10;N=1000;x10=a+(b-a)*rand(1);x20=c+(d-c)*rand(1);zmin=subs(-z,x1,x2,x10,x20);fprintf(Iteration x1min x2min zmin valuenn);for n=1:N x1new=a+(b-a)*rand(1);x2new=c+(d-c)*rand(1);znew=subs(-z,x1,x2,x1new,x2new);if znewzmin x1min=x1new;x2min=x2new;zmin=znew;fprintf(%4.0f%1.6f%1.6f%1.6fn,n,x1min,x2min,zmin);end end 牛顿法求较精确的近似值牛顿法见书p.56x=x1;x2;F=diff(z,x1);G=diff(z,x2);Dz=F;G;%the gradient vector of z 即求方程组Dz=0的解。牛顿法代码实现dFdx1=diff(F,x1);dFdx2=diff(F,x2);dGdx1=diff(G,x1);dGdx2=diff(G,x2);D2z=dFdx1 dFdx2;dGdx1 dGdx2;%Jacobian of Dz(same as Hessian of D2z)x0=5;5;%initial guess N=10;%number of iterations for i=1:N Dz0=subs(Dz,x1,x2,x0(1),x0(2);D2z0=subs(D2z,x1,x2,x0(1),x0(2);xnew=x0-inv(D2z0)*Dz0;x0=xnew;end xmax=xnew zmax=subs(z,x1,x2,xmax(1),xmax(2)xmax figure,ezcontourf(z,0.1 10 0.1 10)hold on plot3(xmax(1),xmax(2),zmax,mo,LineWidth,2,.MarkerEdgeColor,k,MarkerFaceColor,.49 1.63,.MarkerSize,12);title(Countour plot and optimal value);3.3 线性规划例3.4 一个家庭农场有625英亩的土地可用来种植农作物。这个家庭可考虑种植的农作物有玉米、小麦、燕麦。预计有1000英亩-英尺的灌溉用水，农场工人每周可以投入的工作时间为300小时。其他数据如下表。为获得最大收益，每种作物应各种植多少？农场问题的有关数据条件（每英亩）作物玉米小麦燕麦灌溉用水（英亩-英尺）3.01.01.5劳力（人-小时/周）0.80.20.3收益（美元）400200250变量：x1,x2,x3=种植玉米、小麦、燕麦的亩数 w=需要的灌溉用水（英亩-英尺）l=需要的劳力（人-小时/周）t=种植作物的总英亩数 y=总收益（美元）假设：w=3.0 x1+1.0 x2+1.5x3=1000 l=0.8x1+0.2x2+0.3x3=300 t=x1+x2+x3=0目标：求y的最大值建模方法线性规划线性规划简介见书p.59可以用lindo/lingo软件求解模型求解MAX 400 X1+200 X2+250 X3SUBJECT TO3 X1+X2+1.5 X3=10000.8 X1+0.2 X2+0.3 X3=300X1+X2+X3=625ENDreduced cost值表示当该非基变量增加一个单位时（其他非基变量保持不变）目标函数减少的量(对max型问题)也可理解为：为了使该非基变量变成基变量，目标函数中对应系数应增加的量灵敏性分析增加1英亩-英尺灌溉水量对最优解的影响MAX 400 X1+200 X2+250 X3SUBJECT TO3 X1+X2+1.5 X3=10010.8 X1+0.2 X2+0.3 X3=300X1+X2+X3=625END玉米收益的少量提高对最优解的影响农作物每英亩收益会随气候及市场变化MAX 450 X1+200 X2+250 X3SUBJECT TO3 X1+X2+1.5 X3=10000.8 X1+0.2 X2+0.3 X3=300X1+X2+X3=625END燕麦收益的少量提高对最优解的影响MAX 400 X1+200 X2+260 X3SUBJECT TO3 X1+X2+1.5 X3=10000.8 X1+0.2 X2+0.3 X3=300X1+X2+X3=625END新品种玉米这种玉米新品种需要较少的灌溉用水2.5英亩-英尺（而不是3.0）。MAX 400 X1+200 X2+250 X3SUBJECT TO2.5 X1+X2+1.5 X3=10000.8 X1+0.2 X2+0.3 X3=300X1+X2+X3=625END新增另一新的作物大麦一英亩大麦需要1.5英亩-英尺的水和0.25人-小时的劳力，预期可获得200美元的收益。用一个新的决策变量x4表示种植大麦的英亩数。MAX 400 X1+200 X2+250 X3+200 x4SUBJECT TO3 X1+X2+1.5 X3+1.5 x4=10000.8 X1+0.2 X2+0.3 X3+0.25 x4=300X1+X2+X3+x4=625END例3.5 运输问题一家大建筑公司正在三个地点开掘。同时又在其他4个地点建筑，这里需要土方的填充。在1，2，3处挖掘产生的土方分别为每天150，400，325立方码。建筑地点A,B,C,D处需要的填充土方为每天175，125，225，450立方码。也可以从地点4用每立方码5美元的价格获得额外的填充土方。填充土方运输的费用约为一货车容量（10立方码）每英里20美元。下表给出了各地点间距离的英里数。求使公司花费最少的运输计划。建筑地点间的距离挖掘地点接受填充土方的地点ABCD1526102457537644491062变量：xij=从地点i运到地点j的土方量（立方码）si=从地点i运出的土方量（立方码）rj=运到地点j的土方量（立方码）cij=从地点i运到地点j的土方运输费用（美元/立方码）dij=地点i到地点j的距离（英里）C=总运费（美元）假设s1=x1A+x1B+x1C+x1Ds2=x2A+x2B+x2C+x2Ds3=x3A+x3B+x3C+x3Ds4=x4A+x4B+x4C+x4DrA=x1A+x2A+x3A+x4ArB=x1B+x2B+x3B+x4BrC=x1C+x2C+x3C+x4CrD=x1D+x2D+x3D+x4DS1=150,s2=400,s3=175,rB=125,rC=225,rD=450;cij=2dij,i=1,2,3cij=2dij+5,i=4C=c1Ax1A+c1Bx1B+c1Cx1C+c1Dx1D +c2Ax2A+c2Bx2B+c2Cx2C+c2Dx2D +c3Ax3A+c3Bx3B+c3Cx3C+c3Dx3D +c4Ax4A+c4Bx4B+c4Cx4C+c4Dx4D目标：求目标：求C的最小值。的最小值。线性规划的标准形式Min y=10 x1A+4x1B+12x1C+20 x1D +8x2A+10 x2B+14x2C+10 x2D +14x3A+12x3B+8x3C+8x3D +23x4A+25x4B+17x4C+9x4D约束条件：x1A+x1B+x1C+x1D=150 x2A+x2B+x2C+x2D=400 x3A+x3B+x3C+x3D=175x1B+x2B+x3B+x4B=125x1C+x2C+x3C+x4C=225x1D+x2D+x3D+x4D=450 xij=0,i=1,2,3,4;j=A,B,C,D.问题求解MIN 10 x1A+4x1B+12x1C+20 x1D +8x2A+10 x2B+14x2C+10 x2D +14x3A+12x3B+8x3C+8x3D +23x4A+25x4B+17x4C+9x4DSUBJECT TOx1A+x1B+x1C+x1D=150 x2A+x2B+x2C+x2D=400 x3A+x3B+x3C+x3D=175x1B+x2B+x3B+x4B=125x1C+x2C+x3C+x4C=225x1D+x2D+x3D+x4D=450END稳健性分析MIN 10 x1A+4x1B+12x1C+20 x1D +8x2A+10 x2B+14x2C+10 x2D +14x3A+12x3B+8x3C+8x3D +23x4A+25x4B+17x4C+9x4DSUBJECT TOx1A+x1B+x1C+x1D=150 x2A+x2B+x2C+x2D=400 x3A+x3B+x3C+x3D=325x1A+x2A+x3A+x4A=175x1B+x2B+x3B+x4B=125x1C+x2C+x3C+x4C=225x1D+x2D+x3D+x4D=450END3.4 离散最优化例3.6 仍考虑农场问题。这个家庭有625英亩的土地用来种植。有5块每块120英亩的土地和另一块25英亩的土地。这家人想在每块地上种植一种作物：玉米、小麦或燕麦。与前面一样，有1000英亩-英尺可用的灌溉用水，每周农场工人可提供300小时的劳力。其他数据下表给出。求应在每块地中种哪种植物，从而使总收益达最大。农场问题的有关数据条件（每英亩）作物玉米小麦燕麦灌溉用水（英亩-英尺）3.01.01.5劳力（人-小时/周）0.80.20.3收益（美元）400200250变量x1=种植玉米的120英亩地块数x2=种植小麦的120英亩地块数x3=种植燕麦的120英亩地块数x4=种植玉米的25英亩地块数x5=种植小麦的25英亩地块数x6=种植燕麦的25英亩地块数w=需要的灌溉用水（英亩-英尺）l=需要的劳力（人-小时/周）t=种植作物的总英亩数y=总收益（美元）假设w=120(3.0 x1+1.0 x2+1.5x3)+25(3.0 x4+1.0 x5+1.5x6)l=120(0.8x1+0.2x2+0.3x3)+25(0.8x4+0.2x5+0.3x6)t=120(x1+x2+x3)+25(x4+x5+x6)y=120(400 x1+200 x2+250 x3)+25(400 x4+200 x5+250 x6)w=1000,l=300,t=625x1+x2+x3=5,x4+x5+x6=1,x1,x6为非负整数。目标：求y最大值。整数规划的标准形式：maxy=48000 x1+24000 x2+30000 x3+10000 x4+5000 x5+6250 x6s.t.375x1+125x2+187.5x3+75x4+25x5+37.5x6=1000100 x1+25x2+37.5x3+20 x4+5x5 +7.5x6 =300 x1 +x2 +x3 =5 x4 +x5 +x6 =1x1,x6为非负整数.问题求解MAX 48000 x1+24000 x2+30000 x3+10000 x4+5000 x5+6250 x6SUBJECT TO375x1+125x2+187.5x3+75x4+25x5+37.5x6=1000100 x1+25x2+37.5x3+20 x4+5x5+7.5x6=300 x1+x2+x3=5x4+x5+x6=1ENDGIN 6灵敏性分析有100英亩-英尺的额外灌溉水量可用。只要灌溉水量不低于1000-25=975，最优解不会改变。可用水量只有950时，又如何？以上灵敏性分析显示，IP问题解的不可预期的特点。稳健性分析最小地块尺寸0125102050100125150200250300500玉米（英亩）187.542188451906020020012515020025000小麦（英亩）437.51436104304040040025030040025000燕麦（英亩）0582057005200025015000600500收益（美元）162500162500162400162500162000162000160000160000162500157000160000150000150000125000例如最小地块为2时，问题为：Max y=800 x1+400 x2+500 x3s.t.6.0 x1+2.0 x2+3.0 x3=10001.6x1+0.4x2+0.6x3=300 x1+x2+x3=312x1,x2,x3为非负整数。问题求解MAX 800 x1+400 x2+500 x3SUBJECT TO6.0 x1+2.0 x2+3.0 x3=10001.6x1+0.4x2+0.6x3=300 x1+x2+x3=312ENDGIN 3例3.7 仍考虑例3.5中的土方问题。在使用10立方码载重量的卡车运输的情况下，公司已经确定了最优的运输方案。公司又有3辆更大的卡车可用于运输，载重量为20立方码。使用这些车辆可能会在运输中节省一些资金。载重10立方码的卡车平均用20分钟装车，5分钟卸车，每小时平均开20英里，费用为每英里单位重量20美元。载重量20立方码的卡车30分钟装车，5分钟卸车，每小时平均开20英里，费用为每英里单位重量30美元，为最大限度地节省运输费用，应如何安排车辆的使用？第一步，提出问题路线从到英里数运量11B212522A417533C422543D410054D4350哪条路上使用哪种卡车？假设每条路上只使用一种类型的卡车。由于大卡车运量是小卡车的2倍，而费用却不到小卡车的2倍，因此，我们希望将这些卡车安排到能节约资金最多的路线上。计算每条路上使用不同类型的卡车能节约的费用。例如路线1：从1到B运125立方码，距离2英里。小卡车一次装车20分钟，卸车5分钟，每小时20英里要开6分钟，因此运一次需要31分钟。125立方码的土需要运13次，共需13*31=403分钟。假设一个工作日是8小时，这样每辆卡车工作时间不超过480分钟。因此，路线1用一辆卡车就足够。小卡车运输费用：13（次）*2（英里/次）*20（美元/英里）=520美元如果线路1用大卡车，运一次需要30+5+6=41分钟，为运走125立方码的土，需要7次，共需7*41=287分钟，因此一辆大卡车足够。大卡车运输费用为420美元，比用小卡车节省100美元。类似计算其他路线上的情况路线2：需要大卡车1辆，节约费用360美元路线3：需要大卡车2辆，节约费用400美元路线4：需要大卡车1辆，节约费用200美元路线5：需要大卡车2辆，节约费用640美元变量及假设变量：xi=1 如果在路线i上使用大卡车xi=0 如果在路线i上使用小卡车T=用的大卡车总数y=节约的总费用（美元）假设T=1x1+1x2+2x3+1x4+2x5y=100 x1+360 x2+400 x3+200 x4+640 x5T=3目标：求y的最大值第二步，选择建模方法二值整数规划-BIP第三步，将问题表为标准形式MAX y=100 x1+360 x2+400 x3+200 x4+640 x5s.t.1x1+1x2+2x3+1x4+2x5=3xi取0或1，i=1，2，3，4，5.第四步，模型求解MAX 100 x1+360 x2+400 x3+200 x4+640 x5subject to 1x1+1x2+2x3+1x4+2x5=3endint 5Report OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)1000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 -100.000000 X2 1.000000 -360.000000 X3 0.000000 -400.000000 X4 0.000000 -200.000000 X5 1.000000 -640.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)0.000000 0.000000 NO.ITERATIONS=5 BRANCHES=0 DETERM.=1.000E 0灵敏性分析可能节约的资金与大卡车数量的关系公司可能有额外的大卡车，或可以租用大卡车，这里需要考虑的是是否值得的问题。可用大卡车数量的灵敏性卡车数路线节省的费用(美元)节省的边际费用(美元)123603602564028032,5100036042,4,5120020052,3,5140020062,3,4,516002007all1700100分析：线路上节省的费用变化对最优解的影响T=1x1+1x2+2x3+1x4+2x5 y=100 x1+360 x2+400 x3+200 x4+640 x5路线1：一辆大卡车一天节约100美元；路线2：360美元；路线3，4：200美元；路线5：320美元路线5节约的费用的小改变，不会影响我们的最优决策：在2，5使用大卡车。实际上，任何大于400的数（每辆大卡车节约200）都会得到同样的最有决策，小于400的值会使我们将大卡车安排到线路2，3上。稳健性分析二值约束可用来限制可能的决策。情形一：由于政治原因，大卡车不能用在线路2上。情形二：由于类似的政治原因，管理层决定在线路4上使用大卡车，那么在线路3上也要使用大卡车。作业：习题3.5 6，7，10，12，15，21，22