有限元分析第2章1节直梁的有限元分析.ppt
李建宇李建宇天津科技大学天津科技大学有限元分析有限元分析Finite Element Analysis 内容内容 Chp.2 有限元法的直接刚度法有限元法的直接刚度法 2.1 直梁的有限元分析直梁的有限元分析要求要求 了解：了解：单元单元、节点节点的概念的概念 理解：梁单元理解：梁单元节点内力节点内力、节点载荷节点载荷的概念的概念 梁梁单元刚度矩阵单元刚度矩阵的概念的概念 掌握：梁单元刚度矩阵的建立办法掌握：梁单元刚度矩阵的建立办法 利用利用节点平衡节点平衡组装整体刚度组装整体刚度作业作业 超静定悬臂梁的有限元分析超静定悬臂梁的有限元分析2有限元分析有限元分析2-1上节回顾上节回顾有限元分析的基本思想 整体离散标准单元分析单元组装整体求解复杂工程结构如何离散？如何离散？分析什么？分析什么？如何组装？如何组装？求解什么？求解什么？复杂结构离散化途经 上节回顾上节回顾自然离散自然离散逼近离散逼近离散单元单元 1.直梁的离散化2.直梁的单元分析3.直梁的整体组装本节提要一个例题：MDCBAZ已知已知已知已知E E、I I、Z Z、M,AB=BC=CD=L,IM,AB=BC=CD=L,IACAC=2I,I=2I,ICDCD=I=I求求求求:(1)(1)A A、D D端约束反力；端约束反力；端约束反力；端约束反力；(2)C (2)C处的挠度和转角。处的挠度和转角。处的挠度和转角。处的挠度和转角。一、直梁的有限元模型 21节点：节点：节点：节点：1 1，2 2单元编号单元编号单元编号单元编号23节点：节点：节点：节点：2 2，3 3单元编号单元编号单元编号单元编号43节点：节点：节点：节点：3 3，4 4单元编号单元编号单元编号单元编号节点节点节点节点(nodenode):1,2,3,):1,2,3,4 4单元单元单元单元(elementelement):1,2,):1,2,3 3ZM4321Z划分单元的原则（设置节点的原则）几何形状发生改变处 外载荷规律发生改变处（含约束）边界点 计算关心的位置 单元尺寸要均匀M4321 二、单元分析M4321ijqimiqjmj截面法：截面法：截面法：截面法：单元节点内力向量：单元节点内力向量：单元节点内力向量：单元节点内力向量：二、单元分析单元节点位移向量：单元节点位移向量：单元节点位移向量：单元节点位移向量：jfifji单元变形：单元变形：单元变形：单元变形：二、单元分析jqimiqjmj单元受力：单元受力：单元受力：单元受力：jfifji单元变形：单元变形：单元变形：单元变形：力与变形的关系：力与变形的关系：力与变形的关系：力与变形的关系：由小变形、线弹性假设，得由小变形、线弹性假设，得由小变形、线弹性假设，得由小变形、线弹性假设，得线性函数：线性函数：线性函数：线性函数：二、单元分析线性函数：线性函数：线性函数：线性函数：矩阵表达：矩阵表达：矩阵表达：矩阵表达：梁单元刚度矩阵梁单元刚度矩阵梁单元刚度矩阵梁单元刚度矩阵K Ke e 二、单元分析单元刚度方程：单元刚度方程：符号名称：符号名称：符号名称：符号名称：单元：单元：单元：单元节点内力节点内力节点内力节点内力向量向量向量向量 ：单元：单元：单元：单元节点位移节点位移节点位移节点位移向量向量向量向量 ：单元：单元：单元：单元刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵 二、单元分析:刚度矩阵元素的力学含义刚度矩阵元素的力学含义刚度矩阵元素的力学含义刚度矩阵元素的力学含义考察考察考察考察a a11 11,a a2121,a,a3131,a,a4141的含义，令的含义，令的含义，令的含义，令a a1111：固定固定固定固定j j节点，使节点，使节点，使节点，使i i节点发生挠度为节点发生挠度为节点发生挠度为节点发生挠度为1 1，转角为，转角为，转角为，转角为0 0的节点内力的节点内力的节点内力的节点内力q qi i大小大小大小大小a21，a31，a41?i ij j 二、单元分析:刚度矩阵元素的力学含义刚度矩阵元素的力学含义刚度矩阵元素的力学含义刚度矩阵元素的力学含义a a11 11 a a2121 a a3131 a a4141的计算：的计算：a a1111：固定固定固定固定j j节点，使节点，使节点，使节点，使i i节点发生挠度为节点发生挠度为节点发生挠度为节点发生挠度为1 1，转角为，转角为，转角为，转角为0 0的节点内力的节点内力的节点内力的节点内力q qi i大小大小大小大小a a2121：固定固定固定固定j j节点，使节点，使节点，使节点，使i i节点发生挠度为节点发生挠度为节点发生挠度为节点发生挠度为1 1，转角为，转角为，转角为，转角为0 0的节点内力的节点内力的节点内力的节点内力mmi i大小大小大小大小i ij jq qi immi i由材料力学知识对悬臂梁分析，可得由材料力学知识对悬臂梁分析，可得由材料力学知识对悬臂梁分析，可得由材料力学知识对悬臂梁分析，可得i ij j考察考察考察考察a a12 12,a a2222,a,a3232,a,a4242的含义，的含义，的含义，的含义，令：令：令：令：a a1212：固定固定固定固定j j节点，使节点，使节点，使节点，使i i节点发生转角为节点发生转角为节点发生转角为节点发生转角为1 1，挠度为，挠度为，挠度为，挠度为0 0的节点内力的节点内力的节点内力的节点内力q qi i大小大小大小大小a22，a32，a42?二、单元分析:刚度矩阵元素的力学含义刚度矩阵元素的力学含义刚度矩阵元素的力学含义刚度矩阵元素的力学含义 二、单元分析:刚度矩阵元素的力学含义刚度矩阵元素的力学含义刚度矩阵元素的力学含义刚度矩阵元素的力学含义a a12 12 a a2222 a a3232 a a4242的计算：的计算：a a1212：固定固定固定固定j j节点，使节点，使节点，使节点，使i i节点发生转角为节点发生转角为节点发生转角为节点发生转角为1 1，挠度为，挠度为，挠度为，挠度为0 0的节点内力的节点内力的节点内力的节点内力q qi i大小大小大小大小a a2222：固定固定固定固定j j节点，使节点，使节点，使节点，使i i节点发生转角为节点发生转角为节点发生转角为节点发生转角为1 1，挠度为，挠度为，挠度为，挠度为0 0的节点内力的节点内力的节点内力的节点内力mmi i大小大小大小大小由材料力学知识对悬臂梁分析，可得由材料力学知识对悬臂梁分析，可得由材料力学知识对悬臂梁分析，可得由材料力学知识对悬臂梁分析，可得i ij jq qi immi i 二、单元分析单元刚度矩阵的具体表达单元刚度矩阵的具体表达对称矩阵对称矩阵 二、单元分析单元分析小结：单元分析小结：单元变形分析单元变形分析单元变形分析单元变形分析单元内力分析单元内力分析单元内力分析单元内力分析单元刚度方程单元刚度方程单元刚度方程单元刚度方程单元分析的任务：单元内力用单元变形表达单元分析的任务：单元内力用单元变形表达单元分析的任务：单元内力用单元变形表达单元分析的任务：单元内力用单元变形表达 三、单元组装利用单元分析技术，对各单元有：单元单元单元单元1 1：2q11m11q21m211单元单元单元单元2 2：3q22m22q32m322单元单元单元单元3 3：4q33m33q43m433 三、单元组装组装原理：组装原理：位移协调条件位移协调条件节点平衡条件节点平衡条件位移协调条件：各单元共享节点位移相等 三、单元组装节点平衡条件：各节点满足平衡条件M4321节点节点节点节点1 1Z1M1m11q11节点节点节点节点2 2节点节点节点节点4 4Z4M4m43q43Z2M2m22q22q21m21Z3M3m33q33q32m32节点节点节点节点3 3节点节点节点节点1 1Z1M1m11q11节点节点1平衡方程：平衡方程：节点节点2平衡方程：平衡方程：Z2M2m22q22q21m21同理，可列出节点同理，可列出节点3、4平衡方程。平衡方程。节点节点节点节点4 4Z4M4m43q43Z3M3m33q33q32m32节点节点节点节点3 3整体刚度方程 将节点将节点1 1、2 2、3 3、4 4的平衡方程整合为一个矩阵方程的平衡方程整合为一个矩阵方程结构整体刚度方程结构整体刚度方程结构整体刚度方程结构整体刚度方程 其中，其中，为整个结构的为整个结构的节点载荷向量节点载荷向量（外载、约束力）（外载、约束力）为整个结构的为整个结构的节点位移向量节点位移向量 为结构的整体刚度矩阵，也称总刚度矩阵为结构的整体刚度矩阵，也称总刚度矩阵对称，稀疏，奇异，主对角元恒正四、总体刚度方程的求解力的边界条件力的边界条件力的边界条件力的边界条件位移边界条件位移边界条件位移边界条件位移边界条件四、总体刚度方程的求解对称，稀疏，非奇异，主对角元恒正 五、回代求解未知载荷求解得解得解得解得解将节点位移代入各节点平衡方程，求得未知外载荷。将节点位移代入各节点平衡方程，求得未知外载荷。将节点位移代入各节点平衡方程，求得未知外载荷。将节点位移代入各节点平衡方程，求得未知外载荷。节点位移向量节点位移向量节点位移向量节点位移向量本节课小结有限元法求直梁基本过程第一步，对直梁进行离散化，划分为有限个单元。第二步，对各结点和单元进行编码。第三步，进行单元分析，形成单元刚度矩阵。第四步，进行整体分析，形成整体刚度矩阵。第五步，引入边界条件。边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性。第六步，求解方程组，计算结构的整体结点位移。第七步，求单元内力，未知外载荷。作作 业业MCBAZ2 2、已知、已知、已知、已知E E、I I、Z Z、M,AB=BC=LM,AB=BC=L有限元法求有限元法求有限元法求有限元法求:(1)(1)A A、B B端约束反力；端约束反力；端约束反力；端约束反力；(2)C (2)C处的挠度和转角。处的挠度和转角。处的挠度和转角。处的挠度和转角。1 1 1 1、自学教材自学教材P17P17，例，例2-12-1。再再 见见
