有限元分析的数学求解原理.ppt

第三章第三章 有限元分析的数学求解原理有限元分析的数学求解原理前一章针对任意形状变形体，基于物体内的微小体元前一章针对任意形状变形体，基于物体内的微小体元dxdydzdxdydz定义了描述弹性变形体的所有基本力学信息（定义了描述弹性变形体的所有基本力学信息（u ui i，ij ij，ij ij）、基本方程（平衡、几何、物理）及边界条件。接）、基本方程（平衡、几何、物理）及边界条件。接下来的任务就是对这些方程在具体的条件下进行求解，也下来的任务就是对这些方程在具体的条件下进行求解，也就是说在已知边界条件下，由基本方程求出相应的位移场、就是说在已知边界条件下，由基本方程求出相应的位移场、应力场和应变场。应力场和应变场。一般来说，求解方程的途径有两大类一般来说，求解方程的途径有两大类：（：（1 1）直接针对原）直接针对原始方程进行求解，方法有：解析法始方程进行求解，方法有：解析法(analytical method)(analytical method)、半逆、半逆解法解法(semi-inverse method)(semi-inverse method)、有限差分法、有限差分法(finite difference(finite difference method)method)等；（等；（2 2）间接针对原始方程进行求解，方法有：）间接针对原始方程进行求解，方法有：加权残值法、虚功原理、最小势能原理、变分方法等加权残值法、虚功原理、最小势能原理、变分方法等主要内容o3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解o3.2 虚功原理虚功原理o3.3 应用举例应用举例o3.4 基本步骤基本步骤3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解o1D拉杆问题拉杆问题有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力有一个左端固定的拉杆，其右端承受一外力P。该拉杆。该拉杆的长度为的长度为l，横街面积为，横街面积为A，弹性模量为，弹性模量为E，如图所示：，如图所示：(1)基本变量基本变量由于该问题视为沿由于该问题视为沿x方向的一维问题，因此只有沿方向的一维问题，因此只有沿x方向方向的变量，而其它变量为零。即：的变量，而其它变量为零。即：位移：位移：u(x)应变：应变：x(x)应力：应力：x(x)3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解(2)基本方程基本方程对原三维问题的所有基本方程进行简化，只保留沿对原三维问题的所有基本方程进行简化，只保留沿x方向方向的方程，得到该问题的三大类基本方程和边界条件的方程，得到该问题的三大类基本方程和边界条件平衡方程（无体力）平衡方程（无体力）几何方程几何方程物理方程物理方程3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解边界条件（边界条件（BC）上述方程中，力的边界条件为一种近似，因为在上述方程中，力的边界条件为一种近似，因为在x=l的端面，的端面，x x(x)(x)不应是均匀分布的。由圣维南原理（不应是均匀分布的。由圣维南原理（Saint-Venant Saint-Venant principleprinciple），在远离），在远离x=lx=l的截面，力的边界条件才较好的满的截面，力的边界条件才较好的满足。足。(3)求解求解对上述的方程直接求解，可以得到以下的结果：对上述的方程直接求解，可以得到以下的结果：3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解其中其中c c及及c c1 1为待定系数，由边界条件可以为待定系数，由边界条件可以求出上式中的常数为求出上式中的常数为c c1 1=0=0，c=P/Ac=P/A，因此，因此有最后的结果：有最后的结果：(4)讨论讨论1上述问题若用经验方法求解（如材料力学的方法），则上述问题若用经验方法求解（如材料力学的方法），则需要先作平面假设，即假设需要先作平面假设，即假设 x x为均匀分布，这样可以得到为均匀分布，这样可以得到再由再由HookeHooke定律算出：定律算出：再计算右端的伸长量为：再计算右端的伸长量为：3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解通过比较可以看出，经验方法求解的结果和弹性力学的通过比较可以看出，经验方法求解的结果和弹性力学的解析结果完全一致。解析结果完全一致。比较以上解析方法和经验可以看出：比较以上解析方法和经验可以看出：解析方法的求解过程严谨，可以得到物体内各点力学变解析方法的求解过程严谨，可以得到物体内各点力学变量的表达，是场变量。量的表达，是场变量。经验方法的求解过程比较简单，但需要事先进行假定，经验方法的求解过程比较简单，但需要事先进行假定，往往只能得到一些特定位置的力学变量表达，而且只能应往往只能得到一些特定位置的力学变量表达，而且只能应用于一些简单情形。用于一些简单情形。3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解(5)讨论讨论2根据计算能量的方法，得到：根据计算能量的方法，得到：应变能应变能外力功外力功势能势能3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解o平面梁的弯曲问题平面梁的弯曲问题 假设有一个受分布载荷作用的简支梁如图所示，由于假设有一个受分布载荷作用的简支梁如图所示，由于简支梁的厚度较小，外载沿厚度方向无变化，那么该问简支梁的厚度较小，外载沿厚度方向无变化，那么该问题可以认为是一个题可以认为是一个oxy平面内的问题平面内的问题3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解1.基本方程基本方程 有两种方法来建立基本方程。有两种方法来建立基本方程。方法一：采用一般建模及分析方法，即从对象取出方法一：采用一般建模及分析方法，即从对象取出dxdy微元体进行分析，建立最一般的基于（微元体进行分析，建立最一般的基于（ui，i ij，ij ij）描述的）描述的方程，类似于方程，类似于2D问题的基本变量及方程，这样，所用的变问题的基本变量及方程，这样，所用的变量较多，方程复杂。量较多，方程复杂。方法二：采用特征建模（方法二：采用特征建模（characterized modeling）的简）的简化方法来推导的三大方程，其基本思想是采用工程宏观特化方法来推导的三大方程，其基本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的描述。征量来进行问题的描述。3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解应此简支梁问题的特征为：应此简支梁问题的特征为：梁为细长梁梁为细长梁(long beam)(long beam)，因此可只用因此可只用x x坐标来刻画；坐标来刻画；主要形变为垂直于主要形变为垂直于x x的挠度，的挠度，可只用挠度（可只用挠度（deflectiondeflection）来描述位移场。）来描述位移场。3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解补充概念：挠度（补充概念：挠度（deflectiondeflection ），弯曲变形时横截面形），弯曲变形时横截面形心沿与轴线垂直方向的线位移称之为挠度。简言之，心沿与轴线垂直方向的线位移称之为挠度。简言之，就是指梁、桁架等受弯构件在载荷作用下的最大变形，就是指梁、桁架等受弯构件在载荷作用下的最大变形，通常指竖向，就是构件的竖向变形通常指竖向，就是构件的竖向变形针对这两个特征，可以做出以下假定：针对这两个特征，可以做出以下假定：l直法线假定直法线假定l小变形与平面假定小变形与平面假定该问题的三类基本变量：该问题的三类基本变量：位移：位移：（中层性挠度）（中层性挠度）应力：应力：（采用（采用 x x，其他应力分量很小，不考虑），该变其他应力分量很小，不考虑），该变量对应于梁截面上的弯矩量对应于梁截面上的弯矩MM应变：应变：（采用（采用 x x，满足直线假设），满足直线假设）3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解下面取具有全高度梁的下面取具有全高度梁的dx“微段微段”来推导三大类方程来推导三大类方程3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解平衡方程平衡方程首先是首先是x方向的合力平衡方向的合力平衡然后是然后是y方向的合力平衡方向的合力平衡y为距梁中性为距梁中性层的坐标层的坐标最后是弯矩平衡最后是弯矩平衡几何方程几何方程 由变形后的几何关系，可得到由变形后的几何关系，可得到其中，其中，y为距中性层的坐标，为距中性层的坐标，k为梁挠度的曲率，即：为梁挠度的曲率，即：3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解物理方程物理方程 由由Hooke定律有：定律有：对上述方程整理，就得到了平面简支梁弯曲问题的基本对上述方程整理，就得到了平面简支梁弯曲问题的基本方程：方程：3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解式中，式中，为梁截面的惯性为梁截面的惯性矩（矩（moment of inertia）。可）。可以看出：将原始基本变量定位以看出：将原始基本变量定位中性层的挠度中性层的挠度v(x),则可以求出则可以求出其他参数其他参数边界条件边界条件 该简支梁的边界为梁的两端，作用在梁上的该简支梁的边界为梁的两端，作用在梁上的q(x)已在已在平衡方程中考虑，因此不作为力的边界条件。平衡方程中考虑，因此不作为力的边界条件。两端位移：两端位移：两端力（弯矩）：两端力（弯矩）：将弯矩以挠度的二阶导数来表示，即：将弯矩以挠度的二阶导数来表示，即：3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解2.求解求解 若用基于若用基于dxdy微体所建立的原始方程（即原平面应力微体所建立的原始方程（即原平面应力问题中的三大类方程）进行直接求解，比较麻烦，并且问题中的三大类方程）进行直接求解，比较麻烦，并且很困难，若用基于简化的很困难，若用基于简化的“特征建模特征建模”方法所得到的基方法所得到的基本方程进行直接求解则比较简单，对简支梁问题求解，本方程进行直接求解则比较简单，对简支梁问题求解，其方程为：其方程为：3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解对上述的常微分方程，其解的形式有：对上述的常微分方程，其解的形式有：其中其中c0c3为待定系数，可由四个边界条件为待定系数，可由四个边界条件BC求出，有求出，有结果：结果：3.1 简单问题的解析求解简单问题的解析求解3.2 虚功原理虚功原理o虚位移与虚功原理虚位移与虚功原理如图所示的平衡力系，由于该系统处于如图所示的平衡力系，由于该系统处于平衡状态，则有：平衡状态，则有：假想在该平衡力系上作用有微小的扰动假想在该平衡力系上作用有微小的扰动（不影响原平衡条件），且外力所作用（不影响原平衡条件），且外力所作用的位置产生了微小的位移变化，即的位置产生了微小的位移变化，即 A A ，B B。该假想的位移如果不影响原平衡。该假想的位移如果不影响原平衡条件，应满足以下几何关系：条件，应满足以下几何关系：进进一一步步分分析析。当当杠杠杆杆处处于于平平衡衡状状态态时时，A和和B这这两两个个位位移移是是不不存存在在的的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足这种关系。但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足这种关系。将将这这个个客客观观存存在在的的关关系系抽抽象象成成一一个个普普遍遍的的原原理理，去去指指导导分分析析和和计计算算结结构。构。对对于于在在力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的任任何何物物体体，不不用用考考虑虑它它是是否否真真正正发发生生了了位位移移，而而假假想想它它发发生生了了位位移移，(由由于于是是假假想想，故故称称为为虚虚位位移移)，那那么么，物物体体上上所所有有的的力力在在这这个个虚虚位位移移上上的的总总功功必必定定等等于于零零。这这就就叫叫做做虚虚位位移移原原理理，也称虚功原理。也称虚功原理。在在图图a中中的的PA和和PB所所作作的的功功就就不不是是发发生生在在它它本本身身(状状态态a)的的位位移移上上，(因因为为它它本本身身是是平平衡衡的的，不不存存在在位位移移)，而而是是在在状状态态(b)的的位位移移上上作作的的功功。可可见见，这个位移对于状态这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。假象的位移。3.2 虚功原理虚功原理 必必须须指指出出，虚虚功功原原理理的的应应用用范范围围是是有有条条件件的的，它它所所涉涉及及到到的的两两个个方方面面，力力和和位位移移并并不不是是随随意意的的。对对于于力力来来讲讲，它它必必须须是是在在位位移移过过程程中中处处于于平平衡衡的的力力系系；对对于于位位移移来来讲讲，虽虽然然是是虚虚位位移移，但但并并不不是是可可以以任任意意发发生生的的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。还还要要注注意意，当当位位移移是是在在某某个个约约束束条条件件下下发发生生时时，则则在在该该约约束束力力方方向向的的位位移移应应为为零零，因因而而该该约约束束力力所所作作的的虚虚功功也也应应为为零零。这这时时该该约约束束力力叫叫做做被被动动力力。(如如图图中中的的反反力力RcRc由由于于支支点点C C没没有有位位移移，故故RcRc所所作作的的虚虚功功对对于于零零)。反反之之，如如图图中中的的P PA A和和P PB B是是在在位位移移过过程程中中作作功功的的力力，称称为为主主动动力力。因因此此，在在平平衡衡力力系系中中应应当当分分清清楚楚哪哪些些是是主主动动力力，哪哪些些是是被被动动力力，而而在在写写虚虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。3.2 虚功原理虚功原理虚功原理表述如下：虚功原理表述如下：在在力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的体体系系，当当发发生生与与约约束束条条件件相相符符合合的的任任意意微微小小的的刚刚体体位位移移时时，体体系系上上所所有有的的主主动动力力在在位位移移上所作的总功上所作的总功(各力所作的功的代数和各力所作的功的代数和)恒对于零。恒对于零。虚功原理用公式表示为：虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中这就是虚功方程，其中P P和和 相应的代表力和虚位移。相应的代表力和虚位移。3.2 虚功原理虚功原理虚虚功功方方程程是是按按刚刚体体的的情情况况得得出出的的，即即假假设设图图示示杠杠杆杆是是绝绝对对刚刚性性，没没有有任任何何的变形，因而在方程中没有的变形，因而在方程中没有内功项内功项出现，而只有外功项。出现，而只有外功项。将将虚虚功功原原理理用用于于弹弹性性变变形形时时，总总功功WW要要包包括括外外力力功功(T)(T)和和内内力力功功(U)(U)两两部部分分，即即：W W=T T-U U ；内内力力功功(-U)(-U)前前面面有有一一负负号号，是是由由于于弹弹性性体体在在变变形形过过程程中中，内内力力是是克克服服变变形形而而产产生生的的，所所有有内内力力的的方方向向总总是是与与变变形形的的方方向向相相反反，所所以以内力功取负值。内力功取负值。根据虚功原理，总功等于零得：根据虚功原理，总功等于零得：T -U=0T -U=0 外力虚功外力虚功 T T =内力虚功内力虚功 U U 弹弹性性力力学学中中的的虚虚功功原原理理可可表表达达为为：在在外外力力作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的弹弹性性体体，如如果果发发生生了了虚虚位位移移，那那么么所所有有的的外外力力在在虚虚位位移移上上的的虚虚功功(外外力力功功)等等于于整整个个弹性体内应力在虚应变上的虚功弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功内力功)。3.2 虚功原理虚功原理虚应变能虚应变能虚应变分量虚应变分量外力虚功外力虚功内力虚功即应力在虚应变上做的的虚功，也称虚应变能内力虚功即应力在虚应变上做的的虚功，也称虚应变能外力虚功即作用于弹性体上的外力在虚位移上做的功外力虚功即作用于弹性体上的外力在虚位移上做的功由于虚位移是微小的，可认为在虚位移发生过程中外力保持由于虚位移是微小的，可认为在虚位移发生过程中外力保持为常量，则上式的变分符号可提到积分号外。为常量，则上式的变分符号可提到积分号外。3.2 虚功原理虚功原理最小势能原理：最小势能原理：表明在满足位移边界条件的所有可能位移中，实表明在满足位移边界条件的所有可能位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实际发生的际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功原理完全等位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功原理完全等价。价。最小势能原理最小势能原理 在有限元的理论中，最小势能原理是在所有满足给定边界条件的在有限元的理论中，最小势能原理是在所有满足给定边界条件的位移时，满足平衡微分方程的位移使得势能取得最小值。位移时，满足平衡微分方程的位移使得势能取得最小值。最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值 3.2 虚功原理虚功原理虚功原理的矩阵表示虚功原理的矩阵表示i i点外力分量点外力分量j j点外力分量点外力分量外力分量用外力分量用 表示；表示；引起的应力分量用引起的应力分量用 表示表示3.2 虚功原理虚功原理假设发生了虚位移假设发生了虚位移虚位移分量为虚位移分量为用用 表表示示；引引起起的的虚虚应应变变分分量量 用用 表示表示虚功原理的矩阵表示虚功原理的矩阵表示3.2 虚功原理虚功原理虚功原理的矩阵表示虚功原理的矩阵表示在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：式中式中 是是 的转置矩阵。的转置矩阵。同同样样，在在虚虚位位移移发发生生时时，在在弹弹性性体体单单位位体体积积内内，应应力力在在虚虚应应变变上上的的虚虚功是：功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：根据虚功原理得到：根据虚功原理得到：这这就就是是弹弹性性变变形形体体的的虚虚功功方方程程，它它通通过过虚虚位位移移和和虚虚应应变变表表明明外外力力与与应应力力之间的关系。这是以后推导有限元方程的基础。之间的关系。这是以后推导有限元方程的基础。3.3 应用实例应用实例A1,l1A2,l2R31.离散化1232.位移函数A,lijF i uiF j ujxx2.位移函数A,lijF i uiF j uj（单元内位移线性分布）（单元内位移线性分布）形函数矩阵形函数矩阵 3.3 应用实例应用实例343.单元刚度矩阵方程单元刚度矩阵方程A 虚功原理 外力虚功虚应变能应变应力应变矩阵弹性矩阵3.3 应用实例应用实例单元刚度矩阵单元的刚度方程单元刚度矩阵ElementElement3.3 应用实例应用实例36B 最小势能定理 外力虚功虚应变能由势能变分原理（势能最小原理）得势能变分，整理得平衡方程3.3 应用实例应用实例4 整体分析整体分析 整体分析就是建立整个离散结构所有节点位移与外力之间整体分析就是建立整个离散结构所有节点位移与外力之间的关系，实现未知节点位移的求解的关系，实现未知节点位移的求解整体平衡方程整体平衡方程整体刚度方程可基于势能变分原理建立，也可根据节点整体刚度方程可基于势能变分原理建立，也可根据节点的静力平衡来实现（即每个节点静力平衡）。的静力平衡来实现（即每个节点静力平衡）。节点节点i i的平衡为的平衡为三个节点三个自由度，即三个节点三个自由度，即3.3 应用实例应用实例（A A）扩充单元刚度方程法）扩充单元刚度方程法位移协调性位移协调性载荷的叠加性载荷的叠加性A1,l1A2,l2R31233.3 应用实例应用实例整体刚度方程3.3 应用实例应用实例A1,l1A2,l2P123（B B）“对号入座对号入座”法法 （方便编程）（方便编程）i j 1 2 1 2 2 3 2 3Total1 2 31 2 31 1 2 2 3 33.3 应用实例应用实例5.引入边界条件求解A1,l1A2,l2R3123边界条件支反力3.3 应用实例应用实例o结构离散o单元分析o整体分析3.4 基本步骤为三大步骤基本步骤为三大步骤1、结构离散、结构离散:就是用假想的线或面将连续物体分割成有限就是用假想的线或面将连续物体分割成有限个单元组成的集合体且单元之间仅在节点处连接，单元个单元组成的集合体且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递之间的作用仅由节点传递。（基本要求）。（基本要求）注意的问题注意的问题o单元：满足一定几何特性和物理特性的最小结构域单元：满足一定几何特性和物理特性的最小结构域o节点：单元与单元间的连接点节点：单元与单元间的连接点o节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力o节点载荷：作用于节点上的外载节点载荷：作用于节点上的外载3.4 基本步骤为三大步骤基本步骤为三大步骤2 2单元分析单元分析:1:1），选择插值（位移）函数；），选择插值（位移）函数；2 2），构造位移函数。），构造位移函数。插值函数插值函数：用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）：用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。数称为位移函数。选择位移函数的一般原则选择位移函数的一般原则o位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；连续的）；o所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。位移函数一般采用多项式形式，在单元内选适当阶次的多位移函数一般采用多项式形式，在单元内选适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解项式可得到与真实解接近的近似解3.4 基本步骤为三大步骤基本步骤为三大步骤构造位移函数：如平面问题位移函数的一般形式为构造位移函数：如平面问题位移函数的一般形式为1.1.多项式项数越多，则逼近真实位移的精度越高，项数的多多项式项数越多，则逼近真实位移的精度越高，项数的多少由单元的自由度数决定。少由单元的自由度数决定。2 2多项式选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单多项式选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元精度。元精度。3.3.选取多项式时，还应使所选取的多项式具有坐标的对称性，选取多项式时，还应使所选取的多项式具有坐标的对称性，即按即按PascalPascal（帕斯卡）三角形来选择（帕斯卡）三角形来选择3.4 基本步骤为三大步骤基本步骤为三大步骤位移函数构造方法：位移函数构造方法：1.广义坐标法：广义坐标法：2.插值函数法：即将位移函数表示为各个节点位移与已知插插值函数法：即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和值基函数积的和3.4 基本步骤为三大步骤基本步骤为三大步骤3.单元特性分析：单元特性分析的基本任务就是建立单元的单元特性分析：单元特性分析的基本任务就是建立单元的平衡方程，也称为刚度方程。在选择了单元类型和相应的位移平衡方程，也称为刚度方程。在选择了单元类型和相应的位移函数后，即可按弹性力学的几何方程、物理方程导出单元应变函数后，即可按弹性力学的几何方程、物理方程导出单元应变与应力的表达式，最后利用虚位移原理或最小势能原理或直接与应力的表达式，最后利用虚位移原理或最小势能原理或直接法或加权残值法建立单元的平衡方程，即单元节点力与节点位法或加权残值法建立单元的平衡方程，即单元节点力与节点位移间的关系。移间的关系。3.4 基本步骤为三大步骤基本步骤为三大步骤3.4 基本步骤为三大步骤基本步骤为三大步骤整体分析整体分析整体分析的基本任务包括建立整体平衡方程，引入边整体分析的基本任务包括建立整体平衡方程，引入边界条件，完成整体方程求解。界条件，完成整体方程求解。整体平衡方程的建立有多种方法，可基于能量原理整体平衡方程的建立有多种方法，可基于能量原理（势能变分或虚位移原理）推导，也可基于节点力平衡（势能变分或虚位移原理）推导，也可基于节点力平衡得到。得到。在引入边界条件之前，整体平衡方程是奇异的，这意在引入边界条件之前，整体平衡方程是奇异的，这意味着整体方程是不可解的。味着整体方程是不可解的。方程求解包括边界条件引入和数值计算，一旦利用适方程求解包括边界条件引入和数值计算，一旦利用适当的数值方法求出未知的节点位移，则可按前述的应力当的数值方法求出未知的节点位移，则可按前述的应力应变公式计算出各个单元的应变、应力等物理量。应变公式计算出各个单元的应变、应力等物理量。3.4 基本步骤为三大步骤基本步骤为三大步骤o刚度由使其产生单位变形所需的外力值来量度，刚度是刚度由使其产生单位变形所需的外力值来量度，刚度是指零件在载荷作用下抵抗弹性变形的能力。指零件在载荷作用下抵抗弹性变形的能力。o单元的刚度矩阵：单元刚度矩阵反应的是单元节点力与单元的刚度矩阵：单元刚度矩阵反应的是单元节点力与单元节点位移的关系；单元节点位移的关系；o总刚度矩阵反应的是整体的节点力与节点位移的关系；总刚度矩阵反应的是整体的节点力与节点位移的关系；刚度矩阵将总体坐标下的节点位移与整个结构的总体力刚度矩阵将总体坐标下的节点位移与整个结构的总体力联系在一起。联系在一起。补充实例（刚度矩阵的理解）补充实例（刚度矩阵的理解）o单元刚度矩阵行数等于位移向量的分量个数，列数等于单元刚度矩阵行数等于位移向量的分量个数，列数等于为位移的列向量的分量个数，由于两者相等所以单刚是为位移的列向量的分量个数，由于两者相等所以单刚是个方阵。个方阵。o结构的总体刚度矩阵即结构的原始刚度矩阵，每结构的总体刚度矩阵即结构的原始刚度矩阵，每1 1个元个元素的物理意义就是当其所在列对应的节点位移分量等于素的物理意义就是当其所在列对应的节点位移分量等于单位位移（其余结点位移分量为单位位移（其余结点位移分量为0 0）时，其所在行对应）时，其所在行对应的节点力的数值。的节点力的数值。表示由于第表示由于第j j个自由度的单位位移个自由度的单位位移d dj j在第在第i i个自由度需要的力个自由度需要的力补充实例（刚度矩阵的理解）补充实例（刚度矩阵的理解）单元的刚度矩阵的性质单元的刚度矩阵的性质 a.a.单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积有关。仅与单元的横截面积A A、惯性矩、惯性矩I I、单元长度单元长度l l、单元的弹性模量单元的弹性模量E E有关。有关。b.b.单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等，即，根对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定理。据是反力互等定理。c.c.单元刚度矩阵是一个奇异阵。单元刚度矩阵是一个奇异阵。d.d.单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理意义。确定的物理意义。整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵的性质 整体刚度矩阵整体刚度矩阵 中位于主对角线上的子块中位于主对角线上的子块 ，称，称为主子块，其余为主子块，其余 为副子块。为副子块。a.a.中主子块中主子块 由结点由结点i i的各相关单元的主子块扩的各相关单元的主子块扩展之后叠加求得，即展之后叠加求得，即 b.b.当结点当结点i i、j j为单元为单元e e的相关结点时，的相关结点时，中副子块中副子块 为该单元为该单元e e相应的副子块，即相应的副子块，即 。c.c.当结点当结点i i、j j为非相关结点时，为非相关结点时，中副子块中副子块 为为零子块，即零子块，即 。d.d.仅与各单元的几何特性、材料特性，即仅与各单元的几何特性、材料特性，即A A、I I、l l、E E等因素有关。等因素有关。e.e.为对称方阵，为对称方阵，f.f.为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。g.g.为稀疏矩阵，整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度为稀疏矩阵，整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度与结点编号有关，非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内，与结点编号有关，非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内，称为带状分布规律，见图称为带状分布规律，见图a a。在包括对角线元素在内的区域中，每。在包括对角线元素在内的区域中，每行所具有的元素个数叫做把半带宽，以行所具有的元素个数叫做把半带宽，以d d表示。表示。最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加 1 1 与结点自由度数的乘与结点自由度数的乘积积，结点号差越大半带宽也就越大。计算机以半带宽方式存储，结点号差越大半带宽也就越大。计算机以半带宽方式存储，见图见图b b。半带宽越窄，计算机的存储量就越少，而且可以大幅度减。半带宽越窄，计算机的存储量就越少，而且可以大幅度减少求解方程所需的运算次数。其效果对大型结构显得尤为突出。少求解方程所需的运算次数。其效果对大型结构显得尤为突出。图图 整体刚度矩阵存储方法整体刚度矩阵存储方法 h.h.整体刚度矩阵稀疏阵。整体刚度矩阵稀疏阵。故整体刚度矩阵不能求逆，必须作故整体刚度矩阵不能求逆，必须作约束处理方能正确地将结点位移求出，进而求出结构的应力场。约束处理方能正确地将结点位移求出，进而求出结构的应力场。(a)带状分布规律(b)带状存储 约束处理及求解约束处理及求解 约束处理的必要性约束处理的必要性 建立结构原始平衡方程式建立结构原始平衡方程式 时，并未考时，并未考虑支承条件（约束），也就是说，将原始结构处理成虑支承条件（约束），也就是说，将原始结构处理成一个自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构。整一个自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。可以参照体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。可以参照第第 2 2 章的原则，结合实际工程结构引入支承条件，即章的原则，结合实际工程结构引入支承条件，即对结构原始平衡方程式对结构原始平衡方程式 做约束处理。做约束处理。约束处理后的方程称为基本平衡方程。约束处理后的方程称为基本平衡方程。统一记为统一记为 约束处理方法约束处理方法 约束处理常用方法有填约束处理常用方法有填0 0置置1 1法和乘大数法。采用这法和乘大数法。采用这两种方法不会破坏整体刚度矩阵的对称性、稀疏性及两种方法不会破坏整体刚度矩阵的对称性、稀疏性及带状分布等特性。带状分布等特性。1 填填0置置1法法 将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部置换成1，相应行和列上的其它元素均改为0。同时，所在同一行上的载荷分量替换成0，则有1 填填0置置1法法 也可简便地采用划行划列的办法。在整体刚度矩阵中将与约束位移为 0 的行和列划掉，包括相关的所在行的位移和载荷向量。2 乘大数法乘大数法将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部乘以一个大数N，一般取 。同时，将相应同一行上的载荷分量替换成 N 乘以其主对角刚度系数和给定的强迫位移（包括零位移）。补充实例（势能原理的应用）补充实例（势能原理的应用）3根弹簧弹性系数分别为k1、k2、k3,在弹簧2末端施加一个F的力，利用势能原理推导系统的刚度矩阵。