几何学的人生精选课件.ppt

关于几何学的人生关于几何学的人生第一页，本课件共有26页5.2.1 经验公式 古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积的古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积的方法方法 三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示 圆面积的计算公式是圆面积的计算公式是A=(8=(8d d/9)2/9)2，其中，其中d d是直径。是直径。这就等于取这就等于取为为3.16053.1605。四边形的面积公式：（四边形的面积公式：（a+c c）（b b+d d）/4（其中a a、b b、c c、d依次表示边长）。高为h h、底边长为 a a和和 b b的方棱锥的平头截体的体积公式：V V=(1/3)=(1/3)h h(a a2+2+ab ab+b b2)2)第二页，本课件共有26页5.2.2 求积方法 勾股术与图证勾股术与图证 插入图插入图插入图插入图5.5 5.5 5.5 5.5 “析理以辞，解体用图析理以辞，解体用图”“弦图弦图”插入图插入图插入图插入图5.7 5.7 5.7 5.7 大方大方 =弦方弦方 +2+2矩形，矩形，（1 1）大方大方 =勾方勾方 +股方股方 +2+2矩形，矩形，（2 2）比较（比较（1 1）与（）与（2 2），得），得 弦方弦方 =勾方勾方 +股方。股方。阿基米德的双重方法阿基米德的双重方法用力学原理发现公式，再用力学原理发现公式，再用穷竭法加以证明用穷竭法加以证明 插入图插入图插入图插入图5.11 5.11 5.11 5.11 如图如图5.115.11抛物线有内接三角形抛物线有内接三角形PQqPQq，其中，其中P P与与QpQp中点中点V V的的连线平行于抛物线的轴。阿基米德从物理的方法发现：连线平行于抛物线的轴。阿基米德从物理的方法发现：抛物线被抛物线被QpQp截得的抛物线弓形的面积，与三角形截得的抛物线弓形的面积，与三角形QPqQPq的面的面积之比是积之比是4 4：3 3。阿基米德进而使用穷竭法证明。阿基米德进而使用穷竭法证明第三页，本课件共有26页5.2.3 多边形数插入图插入图5.12 插入图插入图5.13 插入图插入图5.14 第四页，本课件共有26页最早的演绎几何学 几何原本几何原本（约公元前（约公元前300300年，古希年，古希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学理论腊数学家欧几里得）建立了第一个数学理论体系体系几何学。标志着人类科学研究的公理几何学。标志着人类科学研究的公理化方法的初步形成，化方法的初步形成，几何原本几何原本共十三卷，其中第一、三、共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我们今天熟知的平四、六、十一和十二卷，是我们今天熟知的平面几何和立体几何的知识，其余各卷则是数论面几何和立体几何的知识，其余各卷则是数论和（用几何方法论证的）初等代数知识。全书和（用几何方法论证的）初等代数知识。全书证明了证明了465465个命题。个命题。第五页，本课件共有26页5.3.1 原本的公理化体系 原本原本的公理化体系：全书先给的公理化体系：全书先给出若干条定义和公理，再按由简到繁的顺序出若干条定义和公理，再按由简到繁的顺序编排出一系列的定理编排出一系列的定理(465(465个命题)。使整个。使整个几何知识形成了一个演绎体系几何知识形成了一个演绎体系第六页，本课件共有26页 公设：（公设：（1 1）从任一点到任一点作直从任一点到任一点作直线是可能的。（线是可能的。（2）把有限直线不断循直线把有限直线不断循直线延长是可能的。（注意，这里所谓的直线，延长是可能的。（注意，这里所谓的直线，相当于今天我们所说的线段。）（相当于今天我们所说的线段。）（3 3）以任以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的。（能的。（4 4）所有直角彼此相等。（所有直角彼此相等。（5）若一直线与两直线相交，且若同侧所交两若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点（现今称为平行公后必相交于该侧的一点（现今称为平行公理）。理）。第七页，本课件共有26页 公理：公理：（1 1）跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。（2 2）等量加等量，总量仍相等。等量加等量，总量仍相等。（3 3）等量减等量，余量仍相等。等量减等量，余量仍相等。（4 4）彼此重合的东西是相等的。彼此重合的东西是相等的。（5 5）整体大于部分。整体大于部分。从现代公理化方法的角度来分析，从现代公理化方法的角度来分析，原本原本的公理化体系的公理化体系存在着以下一些缺陷。存在着以下一些缺陷。没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上 原本原本的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得在推的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念.但是建立但是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的 例如例如,每一个三角形都是等腰的每一个三角形都是等腰的“证明证明”插入图插入图插入图插入图5.185.185.185.18第八页，本课件共有26页5.3.2 原本中的几何方法 原本原本在证明相关结论中使用了多种几在证明相关结论中使用了多种几何方法，如何方法，如,叠合法叠合法,归谬法归谬法,代数式的几何证法,等等。这些方法是人类早期研究图形性质等等。这些方法是人类早期研究图形性质的数学方法，在现代基础教育中仍发挥着积极的数学方法，在现代基础教育中仍发挥着积极的作用。的作用。举例如下：举例如下：毕德哥拉斯定理，毕德哥拉斯定理，原本原本使用几何的证法如使用几何的证法如下：下：如图如图5.195.19，先证明，先证明ABDABDFBCFBC，推得矩形推得矩形BL与与正方形正方形GBGB等积。同理推得矩形等积。同理推得矩形CLCL与正方形AKAK等积。等积。第九页，本课件共有26页5.4 三大作图问题与圆锥曲线三个作图问题：倍立方，即求作一立方体的边，使该立倍立方，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍；方体的体积为给定立方体的两倍；三等分角，即分一个给定的任意角为三三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分；个相等的部分；化圆为方，即作一正方形，使其与一化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。给定的圆面积相等。第十页，本课件共有26页直到直到1919世纪，才证实了只用圆规和直尺来求世纪，才证实了只用圆规和直尺来求解这三个作图题的不可能性，然而对这三个解这三个作图题的不可能性，然而对这三个问题的深入探索引出大量的发现。问题的深入探索引出大量的发现。其中包括 圆锥曲线理论圆锥曲线理论 梅内克缪斯（约公元前4 4世纪）最先发现世纪）最先发现了圆锥曲线：了圆锥曲线：插入图插入图插入图插入图5.245.245.245.24 阿波罗尼斯的阿波罗尼斯的圆锥曲线论圆锥曲线论将圆锥曲线的性质全部囊括 其中圆锥曲线的定义方法如下：其中圆锥曲线的定义方法如下：插入图插入图插入图插入图5.255.25第十一页，本课件共有26页5.5 坐标几何与曲线方程思想 1717世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。这两位数学家敏锐地看到欧氏几何方法的局限性，认识到利用代数方法来研究几何问题，是改变传统方法的有效途径。并为此开始了各自的研究工作，把代数方程和曲线、曲面的研究联系在一起第十二页，本课件共有26页笛卡尔的工作笛卡尔的工作 几何学几何学是笛卡尔哲学思想方法实践的重要结果是笛卡尔哲学思想方法实践的重要结果首先运用代数方法解决作图的问题，指出，几何作图首先运用代数方法解决作图的问题，指出，几何作图实质是对线段作加减乘除或平方根的运算，所以它们都可以用实质是对线段作加减乘除或平方根的运算，所以它们都可以用代数的术语表示。假定某几何问题归结为寻求一个未知长度代数的术语表示。假定某几何问题归结为寻求一个未知长度x x，经过代数运算知道，经过代数运算知道x x满足满足x x=，他画出他画出x x的方法如下：如图的方法如下：如图5.275.27作直角三角形作直角三角形NLMNLM，其中，其中LM=bLM=b,NL=a NL=a/2,/2,延长延长MNMN到到O O，使使NONO=NLNL=a a/2/2。于是。于是x x就是就是OM OM 的的长度。长度。插入图插入图插入图插入图5.275.275.275.27曲线与方程的思想明确指出：几何曲线可以用唯一的曲线与方程的思想明确指出：几何曲线可以用唯一的含含x x和和y y有限次代数方程来表示的曲线有限次代数方程来表示的曲线第十三页，本课件共有26页费马的工作费马的工作 费马关于曲线与方程的思想，源于对阿费马关于曲线与方程的思想，源于对阿波罗尼兹圆锥曲线的研究。波罗尼兹圆锥曲线的研究。他使用了倾斜他使用了倾斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数表述式。坐标系，建立了圆锥曲线的代数表述式。第十四页，本课件共有26页5.6 罗巴切夫斯基几何学 在欧几里得几何学中第五公设（即平在欧几里得几何学中第五公设（即平行公理）的研究过程中，人们不自觉地将行公理）的研究过程中，人们不自觉地将得到了许多第五公设的等价命题。发现了得到了许多第五公设的等价命题。发现了罗巴切夫斯基几何学罗巴切夫斯基几何学第十五页，本课件共有26页5.6.1 第五公设及其等价命题等价命题等价命题 普莱菲尔的平行公理：过直线外一点只能作普莱菲尔的平行公理：过直线外一点只能作一条直线平行于该直线三角形三个内角之和等一条直线平行于该直线三角形三个内角之和等于两个直角；于两个直角；每个三角形的内角和都相同；每个三角形的内角和都相同；通过一角内任一点可以作与此角两边相交的截通过一角内任一点可以作与此角两边相交的截线；线；存在两个相似而不全等的三角形；存在两个相似而不全等的三角形；毕达哥拉斯定理；毕达哥拉斯定理；过不在一直线上的三点可作一圆；过不在一直线上的三点可作一圆；圆内接正六边形的一边等于此圆的半径；圆内接正六边形的一边等于此圆的半径；四边形的内角和等于四个直角；四边形的内角和等于四个直角；第十六页，本课件共有26页5.7.3 5.7.3 爱尔兰根纲领1919世纪初，运用欧几里得综合方法，创造出与世纪初，运用欧几里得综合方法，创造出与解析几何相媲美的射影几何学解析几何相媲美的射影几何学爱尔兰根纲领（克莱因，爱尔兰根纲领（克莱因，18721872年）：所谓几年）：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何只是不变的性质的学问，或者说任何一种几何只是研究与特定的变换群有关的不变量。研究与特定的变换群有关的不变量。克莱因以射影几何为基础、对几何学做了如下克莱因以射影几何为基础、对几何学做了如下的分类：的分类：射影几何射影几何 仿射几何仿射几何 单重椭圆几何单重椭圆几何 双重双重椭圆几何椭圆几何 双曲几何双曲几何 （黎曼几何）（黎曼几何）（罗（罗巴切夫斯基几何）巴切夫斯基几何）抛物几何抛物几何 其他仿射几其他仿射几何何 （欧几里得几何）（欧几里得几何）第十七页，本课件共有26页 利用不变性研究图形的性质，为初等几何的研究利用不变性研究图形的性质，为初等几何的研究利用不变性研究图形的性质，为初等几何的研究利用不变性研究图形的性质，为初等几何的研究提供了新的方法。提供了新的方法。提供了新的方法。提供了新的方法。例如，由于在仿射交换下椭圆可以变成圆，例如，由于在仿射交换下椭圆可以变成圆，相应地椭圆中心变为圆心，椭圆的切线变为圆的切相应地椭圆中心变为圆心，椭圆的切线变为圆的切线。我们不妨将原命题应用仿射变换转化为相应的线。我们不妨将原命题应用仿射变换转化为相应的圆的命题：设圆的命题：设ABCABC为圆内接三角形，以其顶点作为圆内接三角形，以其顶点作切线构成了切线三角形切线构成了切线三角形A A1 1B B1 1C C1 1。如果。如果A A1 1B B11ABAB.B B1 1C C11BCBC。那么。那么A A1 1C C11ACAC。一旦我们证明了这个。一旦我们证明了这个有关圆的命题，再利用仿射变换下有关圆的命题，再利用仿射变换下“平行平行”为为不变性，便可知原命题成立。不变性，便可知原命题成立。第十八页，本课件共有26页5.8 几何基础与公理化方法5.8.1 5.8.1 5.8.1 5.8.1 公理化方法公理化方法公理化方法公理化方法非欧几何、非交换代数（如四元数）的出现，使数学家注非欧几何、非交换代数（如四元数）的出现，使数学家注意到古希腊把公理当作自明的真理的局限性。分析的算术意到古希腊把公理当作自明的真理的局限性。分析的算术化研究不断深入，逐渐形成了科学的公理化方法。化研究不断深入，逐渐形成了科学的公理化方法。公理集合的性质公理集合的性质 相容性，即由公理导出的定理，没有哪两个是相互相容性，即由公理导出的定理，没有哪两个是相互矛盾的；矛盾的；完备性，即理论系统中的定理都可以从公理导出完备性，即理论系统中的定理都可以从公理导出 独立性，即由公理导出的定理中中没有一个是另一个独立性，即由公理导出的定理中中没有一个是另一个的逻辑的逻辑 结果。在任何一个公理系中，不加定义的概结果。在任何一个公理系中，不加定义的概念念例如几何学中的例如几何学中的“点点”和和“线线”，它们在物理领域中的，它们在物理领域中的“意义意义”或关系，在数学上是非本质的。它们被当作纯粹抽象的东西，或关系，在数学上是非本质的。它们被当作纯粹抽象的东西，它们在演绎系统中的性质，完全用公理的形式加以界定它们在演绎系统中的性质，完全用公理的形式加以界定第十九页，本课件共有26页5.8.2 欧氏几何公理体系的严密化希尔伯特几何公理体系被划分为五组，用五组公希尔伯特几何公理体系被划分为五组，用五组公理联结三种对象及其间的三种关系（六个原始概理联结三种对象及其间的三种关系（六个原始概念）。如果在这个公理体系中去掉第三种几何基念）。如果在这个公理体系中去掉第三种几何基本对象（本对象（“平面平面”）以及与它有关的各条公理，）以及与它有关的各条公理，余下来的公理和五个原始概念就可以构成一个余下来的公理和五个原始概念就可以构成一个“平面几何的公理系统平面几何的公理系统”。希尔伯特公理集可以排除欧氏几何证明中的希尔伯特公理集可以排除欧氏几何证明中的直观成分。直观成分。第二十页，本课件共有26页 例如，用公理例如，用公理IVIV给出下述命题的证明：给出下述命题的证明：命题：联接圆内的一点命题：联接圆内的一点A A与圆外一点与圆外一点B B的直线段与该圆周有一的直线段与该圆周有一个公共点。个公共点。图图5.33 5.33 圆内外两点连线必与圆相交的证明圆内外两点连线必与圆相交的证明事实上，令事实上，令O O为给定圆的圆心，为给定圆的圆心，r r为半径，为半径，C C为从为从O O到到ABAB线段的垂线。线段线段的垂线。线段ABAB上的点上的点可被分为两类：对于一些点可被分为两类：对于一些点P P，OPOPr r，和对于一些点和对于一些点Q Q，OQOQr r。可证明：对每。可证明：对每一种情况，一种情况，CPCPCQCQ。根据戴德金的公设。根据戴德金的公设，在，在ABAB上存在一个点上存在一个点R R，使得：所有位，使得：所有位于它之前的点属于第一类，并且所有位于它之前的点属于第一类，并且所有位于它之后的点属于第二类。于是于它之后的点属于第二类。于是OROR不小于不小于r r，否则我们能在，否则我们能在R R和和B B之之间选间选ABAB上的点上的点S S，使得，使得RSRSr rOROR，但是，因为，但是，因为OSOSOROR+RSRS，这意味着谬论：，这意味着谬论：OSOSr r。类似地，能证明：。类似地，能证明：OROR不大于不大于r r。因此，我们必定有因此，我们必定有OR=rOR=r，于是定理得证。，于是定理得证。第二十一页，本课件共有26页5.8.3 公理集合的相容性形式公理体系的相容性证明的模型方法形式公理体系的相容性证明的模型方法 例如，平面几何公理系统的解析模型例如，平面几何公理系统的解析模型罗巴切夫斯基几何学的模型相对相容性的解决方法罗巴切夫斯基几何学的模型相对相容性的解决方法选用一个，大家都相信它具有逻辑相容性的领域选用一个，大家都相信它具有逻辑相容性的领域（比如上面这个代数领域），用这里的材料来保证（比如上面这个代数领域），用这里的材料来保证陌生公理体系的相容性。陌生公理体系的相容性。厐加莱不无挪揄的指出：为了防止狼，牧羊人修起厐加莱不无挪揄的指出：为了防止狼，牧羊人修起了栅栏了栅栏，但却不知道羊圈里是否还有狼但却不知道羊圈里是否还有狼第二十二页，本课件共有26页5.9 学校中欧氏几何的教育 中学欧氏几何的教学的目的，主要有两种类型：发展学生的演绎推理的能力，培养空间想象和空间推理能力第二十三页，本课件共有26页5.9.1 5.9.1 几何逻辑思维发展的培养模式u平面几何的课程体系就成为逻辑思维发展的主要思维材料u课程体系要适应几何思维发展的需要u在整合状态下实现概念、定理的认知发展u注意数学方法的中介作用u组织问题解决的思维训练第二十四页，本课件共有26页5.9.2 空间观念的培养策略 空间能力主要包括空间定向和空间想象能力空间能力主要包括空间定向和空间想象能力 前者是理解空间中对象的相互位置关系，并能对其进行操前者是理解空间中对象的相互位置关系，并能对其进行操作，例如能够在大楼里或街道之间顺利地行进。空间想象是作，例如能够在大楼里或街道之间顺利地行进。空间想象是指能够在二、三维空间的条件下对想象的物体运动，如反射、指能够在二、三维空间的条件下对想象的物体运动，如反射、平移、旋转等操作平移、旋转等操作 对周围的环境直接感知的基础上观察、想象、比较、综合、对周围的环境直接感知的基础上观察、想象、比较、综合、抽象分析等众多思维方法，达到对空间与平面相互关系的理解和抽象分析等众多思维方法，达到对空间与平面相互关系的理解和把握。把握。物化那些感知到的、在直观的水平上有所把握的物化那些感知到的、在直观的水平上有所把握的“转化转化”关系关系 运用图形形象的描述问题，利用直观进行思考。直观思考是运用图形形象的描述问题，利用直观进行思考。直观思考是没有经过严格演绎推理的没有经过严格演绎推理的“形象化形象化”的推理，是结合情景进行的的推理，是结合情景进行的思考思考 重视现实世界中有关的空间与图形的问题重视现实世界中有关的空间与图形的问题第二十五页，本课件共有26页感谢大家观看12/10/2022第二十六页，本课件共有26页