二次型及其规范形精选课件.ppt

关于二次型及其规范形第一页，本课件共有15页定理定理 任一秩为任一秩为r的二次型的二次型 均可经过适当的可逆线性替换均可经过适当的可逆线性替换 化为化为 其中其中 ，。第二页，本课件共有15页 推论推论 任一秩为任一秩为r的对称矩阵均合同于一个下列形式的对称矩阵均合同于一个下列形式的对角矩阵的对角矩阵 其中其中 。第三页，本课件共有15页设设 是是 n元二次型，且元二次型，且 秩秩(A)=r：1f 是是复复二次型二次型 存在可逆复线性替换存在可逆复线性替换 把把 f 化为化为 其中其中 。再令再令 第四页，本课件共有15页则则 f 被进一步变为被进一步变为 称上式为称上式为复复二次型的二次型的规范形规范形。定理定理 任意复二次型均可经过适当的可逆复线性任意复二次型均可经过适当的可逆复线性替换化为规范形且规范形唯一。替换化为规范形且规范形唯一。推论推论 对任意一个秩为对任意一个秩为r的的n阶复对称矩阵阶复对称矩阵A，必存，必存在在n阶可逆复矩阵阶可逆复矩阵C，使得，使得 第五页，本课件共有15页 例例 设设A、B均为均为n阶复对称矩阵，则阶复对称矩阵，则 A与与B在复数域在复数域上合同的充分必要条件是上合同的充分必要条件是 2f 是是实实二次型二次型 存在可逆实线性替换存在可逆实线性替换 把把 f 化为化为 其中其中 。第六页，本课件共有15页再令再令 则则 f 被进一步变为被进一步变为称上式为称上式为实实二次型的二次型的规范形规范形。定理定理（惯性定理惯性定理）任意实二次型均可经过适当的任意实二次型均可经过适当的 可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一。可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一。第七页，本课件共有15页 推论推论 对任意一个秩为对任意一个秩为r的的n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，一定，一定存在存在n阶可逆实矩阵阶可逆实矩阵C，使得，使得 其中其中p由由A唯一确定。唯一确定。定义定义 在秩为在秩为r的实二次型的实二次型f的规范形中，系数是的规范形中，系数是1(或或-1)的平方项个数的平方项个数 p(或或 r-p)称为称为 f 的的正正(或或负负)惯惯性指数性指数，称，称 2p-r为为 f 的的符号差符号差。第八页，本课件共有15页 注注 实二次型的任一标准形中，系数大于实二次型的任一标准形中，系数大于(小于小于)零零的平方项个数即为正的平方项个数即为正(负负)惯性指数。惯性指数。例例 已知实对称矩阵已知实对称矩阵 与下述三个对角矩阵与下述三个对角矩阵 之一合同，试确定之。之一合同，试确定之。第九页，本课件共有15页解解 考虑二次型考虑二次型 对其作可逆线性替换对其作可逆线性替换 则则 第十页，本课件共有15页由此得由此得 f 的正、负惯性指数均为的正、负惯性指数均为1。而二次型而二次型 中，只有中，只有 的正、负惯性指数均为的正、负惯性指数均为1。所以，。所以，f 只能只能通过非退化线性变换为通过非退化线性变换为 ，即，即 A只能与只能与 合同。合同。例例 设设 A是是n阶实对称矩阵且阶实对称矩阵且n为奇数。证明：若为奇数。证明：若 ，则存在，则存在n维非零列向量维非零列向量 ，使，使第十一页，本课件共有15页证明证明 考虑考虑 n元二次型元二次型 用正交替换用正交替换 把其化为标准型把其化为标准型 则则第十二页，本课件共有15页 因因 ，且，且 n为奇数，所以为奇数，所以 均不为零且至少有一个大于零。不妨设均不为零且至少有一个大于零。不妨设 。取取 n维列向量维列向量 ，则，则 第十三页，本课件共有15页 令令 。因。因 可逆，故可逆，故 且且 第十四页，本课件共有15页感谢大家观看第十五页，本课件共有15页