四川大学线性代数课件第三章第一节_可逆矩阵教学教材.ppt

第一页，共43页。第二页，共43页。问题(wnt)的提出记 则有 在矩阵中我们推广了数的加、减、乘 运算，我们自然就会想到(xin do)矩阵是否有类似于数的运算除法呢？我们知道，所谓数的除法，就是给定一个非零的数a，存在唯一的b,使得 ab=ba=1第三页，共43页。于是我们自然会问，在矩阵运算中，对于(duy)任一非零矩阵A，是否存在唯一矩阵B，使 AB=BA=E？矩阵乘法(chngf)运算中的“1”第四页，共43页。逆矩阵(j zhn)的定义 定义 设A是一个n阶方阵，如果存在(cnzi)n阶方阵B，使得 则称A是可逆的，B称为(chn wi)A的逆矩阵，记为A-1，即 B=A-1由定义易知，如果方阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的，事实上，设B、C都是A的逆矩阵，即 AB=BA=E AC=CA=EAB=BA=E第五页，共43页。则B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C所以A的逆矩阵(j zhn)是唯一的.显然(xinrn)有单位矩阵E是可逆的，且E-1=E 满足(mnz)什么条件的方阵是可逆的？A A-1=A-1 A=E有设n阶方阵A可逆，由第六页，共43页。所以 ，即如果(rgu)方阵A可逆，有 ，反过来，设 作矩阵是矩阵(j zhn)A的伴随矩阵(j zhn)，其中Aij 是行列式 A 中元素aij 代数余子式.由行列式的展开定理，可得第七页，共43页。同理，由行列式展开(zhn ki)定理，可得第八页，共43页。由假设(jish)A 0，可得 即第九页，共43页。定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 例例1 下列下列(xili)矩阵矩阵A,B是否可逆是否可逆?若若可逆可逆,求其逆矩阵求其逆矩阵.第十页，共43页。同理可得A12=-3 A22=10 A32=-4A13=1 A23=-4 A33=2解 因为(yn wi)所以(suy)A-1存在。第十一页，共43页。得所以(suy)第十二页，共43页。如b1b2b30,B可逆,且求逆运算容易(rngy)出错,在求得A-1后,可验证AA-1=E,保证结果是正确的.第十三页，共43页。可逆矩阵(j zhn)的性质:（1）如果方阵A可逆，则其逆矩阵(j zhn)唯一。（2）第十四页，共43页。证明证明(zhngmng)证明证明(zhngmng)看P47选择题2第十五页，共43页。用伴随矩阵用伴随矩阵(j zhn)来求逆矩阵来求逆矩阵(j zhn)的方法，对我们来说运算量偏大，的方法，对我们来说运算量偏大，故常只用于求较低阶的矩阵故常只用于求较低阶的矩阵(j zhn)的逆，或用于证明中。的逆，或用于证明中。第十六页，共43页。解：解：例例2 2分块矩阵(j zhn)的逆矩阵(j zhn)第十七页，共43页。第十八页，共43页。第十九页，共43页。同理可得：同理可得：第二十页，共43页。例3 解线性方程组解 设则方程组可表示(biosh)为AX=B第二十八页，共43页。因为(yn wi)因而A-1存在(cnzi)，因此A-1AX=A-1B，即X=A-1B又第二十九页，共43页。所以(suy)为所求解(qi ji).第三十页，共43页。例例4 4：所以所以 可逆，且可逆，且证：证：所以所以 可逆，可逆，第三十一页，共43页。课后思考课后思考(sko)：设方阵满足设方阵满足(mnz)方程方程第三十二页，共43页。例例5：设方阵设方阵(fn zhn)B为幂等矩阵，为幂等矩阵，（即（即 ，从而对正整数，从而对正整数k，）证明证明(zhngmng)：A是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且证明证明(zhngmng)：第三十四页，共43页。例例6 设方阵设方阵(fn zhn)A，B，AB-E均可逆，证明：均可逆，证明：证：证：(1)(2)第三十五页，共43页。课后思考(sko)1、任何矩阵有逆矩阵和伴随(bn su)矩阵吗？2、设A为n阶可逆矩阵，则 （1）(A*)-1=(A 1)*（2）(AT)*=(A*)T 吗？3、设A、B为n阶方阵，则(AB)*=B*A*吗？第三十六页，共43页。4、设A为n(n 2)阶矩阵(j zhn)，则 （1）(kA)*=kA*（2）(A*)*=A 吗？5、设A、B为n阶矩阵(j zhn)，则 （1）(A+B)-1=A-1+B-1 （2）(A+B)*=A*+B*6、设A、B为n阶方阵，且满足(mnz)A+B=AB 证明A-E为可逆矩阵；第三十七页，共43页。