正多面体与欧拉定理.ppt
定义：每个面都是有相同边数的定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做棱数的凸多面体，叫做正多面体正多面体正多面体：正多面体：正多面体有且仅有五种：正四正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体二面体、正二十面体 正多面体有且仅有五种：正四面正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体体、正二十面体 正多面体的展开图正多面体的展开图 著名的数学家，瑞士人，大部分时间著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过他在俄国和法国度过他1717岁获得硕士学岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家在世发表论文上最高产的作家在世发表论文700700多篇，多篇，去世后还留下去世后还留下100100多篇待发表其论著几多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分支他首先使用乎涉及所有数学分支他首先使用f(x)表表示函数，首先用示函数，首先用表示连加，首先用表示连加，首先用i表表示虚数单位在立体几何中多面体研究示虚数单位在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式中，首先发现并证明欧拉公式欧拉欧拉欧拉公式及其应用欧拉公式及其应用讨论讨论问题问题1：（1）数出下列四个多面体的顶点数）数出下列四个多面体的顶点数V、面数、面数F、棱数、棱数E 并填表并填表(1)（2）（3）图形编号图形编号顶点数顶点数V面数面数F棱数棱数E（1）（2）（3）（4）规律规律：V+F-E=2 464 8612 6812201230(4)(6)问题问题1：（2）数出下列多面体的顶点数）数出下列多面体的顶点数V、面数面数F、棱数、棱数E 并填表并填表讨论讨论(5)5857812图形编号图形编号顶点数顶点数V面数面数F棱数棱数E（5）（6）121224（7）(7)多面体多面体简单多面体简单多面体表面经过连续变形表面经过连续变形能变成一个能变成一个球面的多面体球面的多面体V+F-E=2简单多面体简单多面体欧拉公式欧拉公式欧拉示性数欧拉示性数问题问题2 2：如何证明欧拉公式如何证明欧拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1讨论讨论压缩成压缩成平面图形平面图形问题问题2 2：如何证明欧拉公式如何证明欧拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1讨论讨论压缩成压缩成平面图形平面图形1、（、（1）一个简单多面体的各面都）一个简单多面体的各面都是三角形，则它的顶点数是三角形，则它的顶点数V和面数和面数F的关系为的关系为_。欧拉公式的应用欧拉公式的应用(2)一个简单多面体的各个顶点都有一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数三条棱，则顶点数V与面数与面数F满足的满足的关系为关系为_。欧拉公式的应用欧拉公式的应用2、简单多面体的每个面都是五简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱条棱，求这个多面体的面数和棱数数4、一个凸多面体的棱数是、一个凸多面体的棱数是30，面，面数为数为12，则它的各面多边形内角，则它的各面多边形内角的总和为的总和为_。5 5、是是否否存存在在这这样样的的多多面面体体，它它有有奇奇数数个个面面，且且每每一一个个面面都都有有奇数条边奇数条边欧拉公式的应用欧拉公式的应用3、1996年的诺贝尔化学奖授予对发年的诺贝尔化学奖授予对发现现C60有重大贡献的三位科家有重大贡献的三位科家C60是有是有60 个个C原子组成的分子，它结原子组成的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体构为简单多面体形状这个多面体有有60个顶点，从个顶点，从每个顶点都引出每个顶点都引出3条条棱棱，各面的形状分别为，各面的形状分别为五边形或六边形五边形或六边形两种两种计算计算C60分子中形状为分子中形状为五边形和六边形的面五边形和六边形的面各有多少？各有多少？小结小结猜想猜想证证明明应用应用空间问题平面化空间问题平面化V+F-E=2欧拉公式欧拉公式（方法二）以四面体（方法二）以四面体 为例来说明：为例来说明：将它的一个面将它的一个面 去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数数 、棱数、棱数 与剩下的面数与剩下的面数 变形后都没有变。因此，要变形后都没有变。因此，要研究研究 、和和 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形既可。既可。对平面图形，我们来研究：对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面）去掉一条棱，就减少一个面 例如去掉例如去掉 ，就减少一个面就减少一个面，同理去掉棱，同理去掉棱 、也就各减少一个面也就各减少一个面 、因此，因此，、的值都不变，的值都不变，因此因此 的值也不变。的值也不变。（2）再从剩下的）再从剩下的树树枝形中，去掉一条棱，就减少一个枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶顶点点例如去掉例如去掉 ，就减少一个顶点，就减少一个顶点 ，同理，去掉，同理，去掉 就减少就减少一个顶点一个顶点 ，最后剩下，最后剩下在此过程中在此过程中 的值不变，但这时面数的值不变，但这时面数 是是0。所以所以 的值也不变。的值也不变。最后只剩下最后只剩下 ，所以，所以 最后加上去掉的一个面，就得到最后加上去掉的一个面，就得到例例1.由由欧欧拉拉定定理理证证明明：正正多多面面体体只只有有正正四四面面体体、正正六六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种证明：设正多面体的每个面的边数为证明：设正多面体的每个面的边数为n n，每个顶点连有，每个顶点连有m m条棱，条棱，令这个多面体的面数为令这个多面体的面数为F F，每个面有，每个面有n n条边，故共有条边，故共有nFnF条边，条边，由于每条边都是两个面的公共边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数故多面体棱数 （2 2）令这个多面体有个令这个多面体有个V V顶点，每一个顶点处有顶点，每一个顶点处有m m条棱，故共有条棱，故共有mVmV条棱条棱,由于每条棱有两个顶点，由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数故多面体棱数 （1 1）由（由（1 1）（）（2 2）得：）得：，代入欧拉公式：代入欧拉公式：即即 （3 3），），又又 ，但，但m,nm,n不能同时大于不能同时大于3 3，（若（若 ，则有，则有 ，即，即 这是不可能的）这是不可能的）m,nm,n中至少有一个等于中至少有一个等于3 3令令 ，则，则 ，同样若同样若 可得可得
