正弦定理和余弦定理的综合应用.ppt

三角形性质三角形性质2、大边对大角，大角对大边、大边对大角，大角对大边4、如无特别说明，、如无特别说明，ABC的边的边BC、AC、AB分别用分别用a、b、c 表示。表示。知识小结知识小结1.正、余弦定理是应用十分广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生联系，为求三角形的有关量，如面积、外接圆或内切圆的半径等提供了理论基础，也是判定三角形的形状，证明三角形中有关等式的重要依据.2.三角形中的恒等式或三角形的形状判断等问题，要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理.一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理.CAB同理可证：同理可证：在在ABC中，若中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断，判断ABC的形状的形状a2b2c20或或a2b2，故三角形故三角形为为等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形【变式变式3】法二法二由正弦定理，原等式可化为由正弦定理，原等式可化为(sin Asin Ccos B)sin B(sin Bsin Ccos A)sin A，sin Bcos Bsin Acos A，sin 2Bsin 2A，2B2A或或2B2A，AB或或AB ，故故ABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形 在在ABC中，内角中，内角A，B，C的的对边长对边长分分别为别为a，b，c，已知，已知a2c22b，且，且sin Acos C3cos Asin C，求，求b.解法一解法一在在ABC中，中，sin Acos C3cos Asin C，则则由正弦定理及余弦定理有：由正弦定理及余弦定理有：2(a2c2)b2.又由已知又由已知a2c22b，4bb2.解得解得b4或或b0(舍舍)【变式变式4】法二法二由余弦定理得：由余弦定理得：a2c2b22bccos A.又又a2c22b，b0.所以所以b2ccos A2.又又sin Acos C3cos Asin C，sin Acos Ccos Asin C4cos Asin C，sin(AC)4cos Asin C，即即sin B4cos Asin C，由正弦定理得由正弦定理得sin B sin C，故，故b4ccos A由由解得解得b4.例例.判断满足下列条件的三角形的形状判断满足下列条件的三角形的形状例例.已知三角形的三边为已知三角形的三边为1 1，2 2，a,a,若三角形为锐角若三角形为锐角三角形，求三角形，求a a的范围。的范围。