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自适应信号处理 1 引言引言 2 LMS自适应横向滤波器自适应横向滤波器 3 LMS自适应格型滤波器自适应格型滤波器 4 最小二乘自适应滤波器最小二乘自适应滤波器 5 自适应滤波的应用自适应滤波的应用 自适应滤波器和维纳滤波器一样，都是符合某种准则的最佳滤波器。维纳滤波器的参数是固定的，适用于平稳随机信号的最佳滤波，但要设计这种滤波器，必须要求输入信号是平稳的，且必须信号和噪声自相关特性。在实际中，常常无法知道这些特性，且信号和噪声自相关函数还会随时间变化，因此实现最佳滤波是困难的。一、引一、引 言言 自适应信号处理 自适应滤波器的特点是：滤波器的参数可以按照某种准则自动地调整到满足最佳滤波的要求；实现时不需要任何关于信号和噪声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要，即具有学习和跟踪的性能。自适应滤波器发展很快，已广泛地用于系统模型识别，通信信道的自适应均衡，雷达与声纳的波束形成，减少或消除心电图中的周期干扰，噪声中信号的检测、跟踪、增强和线性预测等。一、引一、引 言言 自适应信号处理 LMS自适应滤波器是以均方误差最小作为最佳滤波准则的，原理框图如图2.1所示，图中x(n)称为输入信号，y(n)是输出信号，d(n)称为期望信号，或者称为参考信号、训练信号，e(n)是误差信号。图2.1自适应滤波器原理图e(n)=d(n)-y(n)二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 其中自适应滤波器H(z)的系数根据误差信号，通过一定的自适应算法，不断地进行改变,使输出y(n)最接近期望信号d(n),这里暂时假定d(n)是可以利用的，实际中，d(n)要根据具体情况进行选取,能够选到一个合适的信号作为期望信号，是设计自适应滤波器的一项重要的工作。如果真正的d(n)可以获得，我们将不需要做任何自适应滤波器。二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 图2.2 表示的是一个有N个权系数的自适应线性组合器，图中N个权系数w1,w2,wN受误差信号ej的自适应控制。对于固定的权系数，输出yj是输入信号x1j,x2j,xNj的线性组合，因此称它为线性组合器。图2自适应线性组合器二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 2.1.2.1.自适应滤波器的矩阵表示式自适应滤波器的矩阵表示式这里的x1j,x2j,xNj可以理解为是从N个不同的信号源到达的瞬时输入，是一个多输入系统，也可以是同一个信号源的N个序贯样本，如图3所示，因此它是一个单输入系统，实际上也是一个自适应横向滤波器。其输出y(n)用滤波器的单位脉冲响应表示成下式：二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 2.1.2.1.自适应滤波器的矩阵表示式自适应滤波器的矩阵表示式(2.1.1)图2.3自适应横向滤波器结构二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 2.1.2.1.自适应滤波器的矩阵表示式自适应滤波器的矩阵表示式二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 2.1.2.1.自适应滤波器的矩阵表示式自适应滤波器的矩阵表示式 这里称为滤波器单位脉冲响应，令：时间n用下标j表示，（）上式可以写成(2.1.2)这里也称为滤波器加权系数。二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 2.1.2.1.自适应滤波器的矩阵表示式自适应滤波器的矩阵表示式用上面公式表示其输出，适合于自适应线性组合器，也适合于FIR滤波器。将上式表示成矩阵形式：(2.1.3)式中误差信号表示为(2.1.4)误差信号被用来作为权系数的控制信号。下面采用均方误差最小的准则，求最佳权系数。由(2.1.4)式，均方误差为：(2.1.5)2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 令：2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理(2.1.7)(2.1.6)将(2.1.6)、(2.1.7)式代入(2.1.5)式，得到(2.1.8)称为dj与Xj的互相关矩阵，是一个维列矩阵；是输入信号的自相关矩阵。2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理(2.1.8)式表明，当输入信号和期望信号是平稳随机信号时,均方误差信号是权系数的二次函数，即将该式展开时，公式中的权系数均以它的一次幂或二次幂出现。如果只有一个权系数,则是的口向上的抛物线；如果有两个权系数,则是它们的口向上的抛物面；对于两个权系数以上的情况，则属于超抛物面性质，它具有唯一的极小点。2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 在自适应信号处理中是一个重要的函数，经常称它为性能函数。为选择权系数，使性能函数到达它的最小点，一些有用的自适应方法都是基于梯度法的，用表示 的梯度向量，它是用对每个权系数求微分而形成的一个列向量，用公式表示如下：(2.2.1)2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 可以用(2.1.8)式对W求导得到：(2.2.2)令上式等于0,得到最佳权矢量 表达式：(2.2.3)对比前面维纳滤波器的最佳解，结果是一样的。上式也称为维纳权矢量。在维纳滤波器中，当滤波器的单位脉冲响应取最佳值时，其误差信号和输入信号是正交的；这里也有相同的结果，当权矢量取最佳值时，梯度为0。2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 当自适应滤波器的权系数满足上式时，均方误差将取最小值。将(3.2.11)式代入(3.2.8)式得到最小均方误差：(2.2.4)2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 或者将上式取转置，用下式表示：通过式子(2.1.12)可以准确的求出 ，但在权的数目N很大或输入数据率很高的时候，用这种方法直接求解会遇到很大困难，它不仅需要计算NN矩阵的逆，还需要测量或估算N(N+1)/2个自相关或互相关函数才能得到 和 的各矩阵元素。不仅如此，当输入统计特性发生某种变化时，还必须重新作相应的计算，这样就存在收敛速度慢的问题。所以，推出了更有实用价值的递推估计等算法。(2.2.5)2.2.2.2.用用LMSLMS准则求最佳权系数和最小均方误差准则求最佳权系数和最小均方误差二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 从非负二次均方误差函数的几何性质来看，权向量从某一初始值出发，通过不断调整自身数值使均方误差达到最小。最陡下降法就是下一个权矢量为现在权矢量加上一个正比于梯度的负值变化量，即(2.3.1)2.3.1 2.3.1 递推公式递推公式2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 是一个控制稳定性和收敛速度的参量，是调整步长的一个常数，也称为步长因子。某一点的梯度方向即为该点变化率最大的方向，也是下降最快的方向，因此这种方法被称为最陡下降法。2.3.1 2.3.1 递推公式递推公式2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 按(3.2.14)式，当时，将以的方向，即最陡下降的方向向W*靠拢，靠拢步距由确定。当达到的最小点时，即：2.3.1 2.3.1 递推公式递推公式2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 由最陡下降法的递推公式不难分析出它的收敛条件，即当迭代次数j趋于时，权系数收敛最佳时的条件。得出只有当：(2.3.2)(2.3.3)满足时，才能得到：。2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 2.3.2 2.3.2 收敛条件收敛条件(2.3.3)式即是最陡下降法的收敛条件，式中 是 的最大特征值。为保证收敛，不能取得太大，受限于最大特征值。如果特征值比较分散时，即 和 相差很大时，使最陡下降法的收敛性能很差。值对收敛过程影响很大，当选择得太大时，即使收敛条件满足，也可能形成振动性的过渡特性。在图2.4中，图(a)是较小时的情况；图(b)是较大时的情况，此时过渡过程已发生振荡。2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 2.3.2 2.3.2 收敛条件收敛条件图 2.4 值的影响(a)较小时的情况；（b）较大时的情况2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 2.3.2 2.3.2 收敛条件收敛条件权矢量的平均值可以收敛到它的最佳值，但权矢量变化过程是随机的，即使其平均值收敛到最佳值，它仍然按 。随机地进行变化，从而导致权矢量仍在最佳值附近随机变化，这种起伏意味着：即使调整到了平衡状态的权矢量,均方误差仍大于最小均方误差，这是由于用代替产生梯度估计误差（梯 度 噪 声）。归 一 化 后 的 超 量 均 方 误 差 称 为 失 调 量：(2.3.4)2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 2.3.3 2.3.3 失调系数失调系数可以推出失调系数为：（）或（）式中，N是滤波器的阶数，是输入信号功率。上式说明和输入功率加大都会增加失调系数。在保证收敛的情况下加大，会提高收敛速度，但为了减小失调系数，应该适当选择收敛速度，以保证收敛速度和失调系数都满足要求。2.3.最陡下降法最陡下降法二、二、LMS 自适应横向滤波器自适应横向滤波器 自适应信号处理 2.3.3 2.3.3 失调系数失调系数 LMS横向滤波器的优点结构简单，但收敛速度较慢，而LMS格型滤波器克服了这种不足。一一个个阶格型滤波器由p个反射系数表示：是阶前向预测误差 与延迟一拍的阶后向预测误差 之间的相关系数。当反射系数为实数时，格型滤波器的基本方程表示为：三、三、LMS自适应格型滤波器自适应格型滤波器 自适应信号处理 如图3.1所示,为阶格型预测误差滤波器图3.1阶格型预测误差滤波器格型预测误差滤波器前后各级的输出误差是正交的，且它们的均方误差是相等的，其均方误差为：（）三、三、LMS自适应格型滤波器自适应格型滤波器 自适应信号处理 如果输入过程 是平稳的，那么在一组合理的反射系数 下，预测误差系列 和 也是平稳的，由于可以证明：即：其中：三、三、LMS自适应格型滤波器自适应格型滤波器 自适应信号处理 由于不依赖于，jp，因此可以依次进行对的最小化运算()，从而得到最小的各反射系数的最佳值,其式子如下：可见，是和之间的互相关函数与的自相关函数之比。三、三、LMS自适应格型滤波器自适应格型滤波器 自适应信号处理 各阶反射系数可依次按如下的递推方程作自适应调整最终得到格型自适应算法的公式:是第p级的自适应增益，它的收敛范围是：三、三、LMS自适应格型滤波器自适应格型滤波器 自适应信号处理 格型预测误差滤波器前后各阶输出误差是相互正交的，使滤波器前后级互相解耦，对于系统最小化问题化为一系列独立的对每一级局部最小化问题。用作自适应滤波时，各级可选用不同的自适应步长，使收敛速度提高。另外，为提高线性预测性能，需要增加一节或几节，可以只对新增加的级进行独立的调节，达到输出均方误差最小，无需再调节前面的系数。三、三、LMS自适应格型滤波器自适应格型滤波器 自适应信号处理 本节讨论另外一种以误差的平方和最小作为最佳准则的误差准则最小二乘(Least Square)准则。定义(4.1.1)式中,是误差信号的平方和；是j 时刻的误差信号：是j 时刻的期望信号，是j 时刻的输入信号构成的向量，W表示滤波器的权系数构成的向量。四、最小二乘自适应滤波四、最小二乘自适应滤波自适应信号处理 通过选择W，使取得最小值的滤波称为最小二乘(LeastSquare,简称LS)滤波，而满足取得最小值的滤波称为LMS滤波。和LMS滤波相比，LS滤波对非平稳信号的适应性要强许多，这是由于LS滤波总是采用新的准则，在每一个时刻对所有已输入信号而言，重新评估使其误差的平方和最小，因此具有更精确的含义，属于精确分析法。而LMS滤波是以集合平均为基础的，属于统计分析的方法。四、最小二乘自适应滤波四、最小二乘自适应滤波自适应信号处理 基本RLS自适应算法所遵循的准则是确定这样的W，它使：（）的加权平方和（）最小。其中称为遗忘因子四、最小二乘自适应滤波四、最小二乘自适应滤波自适应信号处理 为了使加权平方和最小，令即有四、最小二乘自适应滤波四、最小二乘自适应滤波自适应信号处理 若令当R(k)是非奇异的,则可以得到求解滤波器参数的公式：通过的推导，可以得将基本RLS的自适应算法综合如下：四、最小二乘自适应滤波四、最小二乘自适应滤波自适应信号处理 假设自适应噪声对消系统的原始输入端用dj表示，dj=sj+n0,n0是要抵消的噪声，并且与s不相关，参考输入端用xj表示，这里xj=n1。n1是与n0相关、与s不相关的噪声信号，系统的输出用z表示，zj=dj-yj，如图所示。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.1.对消原理图5.1自适应对消系统 五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.1.对消原理其中，滤波器的传输函数可以根据某一信号（这里为系统的输出信号）自动调整，假定s,n0,n1是零均值的平稳随机过程。（）输出信号的均方值（）五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.1.对消原理由于s与n0,n1不相关，因此s与yj也不相关，则：(5.1.3)自适应过程就是自动调节W，使均方值最小。Esj2表示信号的功率,它与W无关。由上面的表达式可以看出，要使输出信号的均方值为最小，就要求E(n0-yj)2取得最小值，由（）式推出等价的条件就是要求E(zj-sj)2取得最小值，即要求输出信号与有用信号的误差的均方值为最小。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.1.对消原理单信道噪声对消器的性能，可以用输出端信噪比与原始输入端的信噪比来评价，该比值称为系统的增益G。图5.2是所要研究的自适应噪声对消系统。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.2.性能分析图 5.2 自适应对消系统的性能分析 五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.2.性能分析可 以 看 出，在 原 始 输 入 端，输 入 信 号 为d(n)=s(n)+n(n)+m0(n)，参 考 输 入 端 的 信 号 为x(n)=m1(n)+n(n)*h(n)，系统的输出为(n)，假定s(n)与n(n)、m0(n)、m1(n)均不相关，所有信号都是实信号，当自适应过程收敛时，最小均方的解存在，其稳态解为维纳解，因此自适应滤波器的传输函数 五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.2.性能分析其中自适应对消器的传输函数（）用pri,out,ref分别表示原始输入端、输出端、参考输出端的信号。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.2.性能分析噪声抵消前，原始输入端的噪声功率谱为（）噪声抵消后，输出端噪声功率谱为 五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.2.性能分析 当有信号分量泄漏到参考输入中时，如图5.3所示，噪声的抵消能力可以通过比较输入端的信噪比、参考输入端的信噪比及输出端的信噪比数值大小来评价，其中输入端的信噪比为：（）五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.2.性能分析图5.3参考输入中有信号分量的自适应噪声抵消器 五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.2.性能分析参考输入端的信噪比为：（）输出端的信噪比为：五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.2.性能分析（）参考输入端的总功率为 利用相关卷积定理，参考输入端与原始输入端的互功率为：（）（）五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.2.性能分析这样,一个自适应对消器的稳态解为（）五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.2.性能分析 1)消除心电图中的电源干扰在心电图记录中，市电干扰是常见的问题，引起市电干扰的原因是多种多样的，如电磁感应、导线或人体的位移电流等等。克服干扰的常用办法是良好的接地、用带电屏蔽导线等，比较好的方法是采用自适应滤波，即将有电源干扰的心电图信号作为抵消器的原始输入信号，将电源信号作为参考信号，就可在输出端获得消除了电源干扰的心电图信号。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.3.应用2)在有他人讲话的背景中提取他人讲话可将靠近所需要的讲话人的扩音器的输出送至原始输入端，而将远离讲话人而靠近干扰源（其他人的讲话）的扩音器的输出送至参考输入端，则在抵消器的输出端可以提取消除了干扰的讲话。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.3.应用 3)胎儿心电监护 监测胎儿心音，需要将母亲的心音及背景干扰去除。母亲的心音强度通常是胎儿心音的2倍到10倍，肌肉活动及胎儿运动产生的背景干扰也常常大于胎儿心音的强度。可以采用自适应对消的方法来监护胎儿心电图。将母亲胸部的信号作为参考输入，主要包括母亲心音和背景噪声,也有胎儿的心音信号。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.3.应用 3)胎儿心电监护如图3.5.5(a)所示；从母亲腹部取出的信号作为原始输入，包括母亲心音、胎儿心音和背景干扰，如图3.5.5(b)所示，可以看出，这个系统是一个有信号分量泄漏到参考输入端的自适应对消系统。对消后的输出如图3.5.5(c)所示，可以看到，母体的心电信号的强度小于胎儿的心电信号，并且胎儿的心电信号比较清楚。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.3.应用图 3.5.5 胎儿心电的监护（a）胸部导联心电（参考输入）；（b）腹部导联的心电（原始输入）；(c)自适应对消器的输出 4)用来作为天线阵的自适应旁瓣抑制器 假定干扰的来向已定，首先将天线阵的主瓣对准拟接受的信号来源，此时，从点干扰源来的干扰通过天线方向图旁瓣与信号一起进入接收机，将它作为自适应抵消器的原始输入。然后，取天线阵中的若干根，组成的方向图正好在信号的入射方向有一个零响应谷点，这个组合只能得到干扰而得不到信号。于是，将后一组合的输出作为参考输入，根据抵消器的原理，就达到抑制干扰的目的。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 5.1.自适应对消自适应对消 自适应信号处理 5.1.3.应用作为自适应抵消器的一个应用，当需要抵消掉的噪声是单色干扰（即单一频率的正弦波干扰）时，这样的系统称为自适应陷波器(NotchFilter,简称NF)，又称为点阻滤波器。自适应陷波器能够自动跟踪干扰频率，消噪能力强，并且容易控制带宽。要消掉单色干扰，需要在参考输入端输入同频率的正弦干扰，并且需要两个权系数的自适应滤波器，分别跟踪干扰的相位和幅度的变化。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 自适应信号处理 5.2.自适应噪声抵消器作为陷波器（自适应噪声抵消器作为陷波器（NF）的例子）的例子在图5.6中，任意信号与单频率的干扰叠加后，送入原始输入端，故经过采样后，d(n)=s(n)+cos(0nT)，参考输入端是一个单频率的余弦信号，经过采样后送到x1(n)和x2(n)端，后者经过一个90相移，系统中有两个权系数，使得组合后的正弦波的振幅和相角都可以调整，达到与原始输入端的干扰分量相同的目的，实现对消。具体的工作原理见图5.6。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 自适应信号处理 5.2.自适应噪声抵消器作为陷波器（自适应噪声抵消器作为陷波器（NF）的例子）的例子图5.6自适应单频率噪声抵消器 五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 自适应信号处理 5.2.自适应噪声抵消器作为陷波器（自适应噪声抵消器作为陷波器（NF）的例子）的例子在数字传输系统中，接收到的信号要受到噪声干扰、信道衰落的影响，加上信道的码间干扰，使得接收的信号与实际发送的信号并不完全一致。为了提高接收的准确性，把整个信道看作是系统，让系统的输出再通过一个滤波器（如图5.7所示），该滤波器称为均衡器，用以补偿信道干扰的影响，使得接收到的信号与发送的信号完全一致。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 自适应信号处理 5.3.5.3.自适应逆滤波自适应逆滤波图5.7自适应均衡器 五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 自适应信号处理 5.3.5.3.自适应逆滤波自适应逆滤波这样，就要求均衡器与信道的特性正好相反，即均衡器的单位脉冲响应与信道冲击响应的取样值的卷积为一个常数，就可以保证收发信息的一致性。我们知道,信道受诸多因素的影响，信道的传输特性很难用数学表达式来表示或者根本就不能完全确定。要求均衡器与信道的传输特性严格匹配，就是要求均衡器随着信道的传输特性的改变而变化，即均衡器具有自适应的功能，是信道的逆系统。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 自适应信号处理 5.3.5.3.自适应逆滤波自适应逆滤波在自适应滤波器的应用当中，都涉及到选择滤波器的长度问题。一般来讲，滤波器的最佳长度与输入信号的统计特性有关。在均方误差最小的准则下，假设自适应滤波器是用有限长度(FIR)的横向滤波器来实现的，失调量是与滤波器的长度成正比的，而且滤波器的长度还影响收敛的步长因子，因此在设计滤波器时，应综合考虑快速收敛、失调量及谱分辨率等因素。五、五、自适应滤波的应用自适应滤波的应用 自适应信号处理